Числа: от арифметики до высшей математики — страница 2 из 23

А теперь договоримся, что нижний ряд косточек — это единицы, над ним — десятки. Выше — сотни, а над сотнями — тысячи. Теперь попробуем представить число 7524 при помощи счетов. На нижнем ряду надо передвинуть направо 4 косточки, на следующем — 2, на следующем — 5, и, наконец, на ряду, расположенном еще выше, — 7.

1 — счеты; 2 — счеты, на которых отложено число 7524

Разумеется, гораздо удобнее пользоваться счетами, чем показывать числа на пальцах. Преимуществ у счетов несколько, и они достаточно серьезные. Во-первых, нет необходимости засорять память тем, как нужно расположить пальцы и ладони, когда изображаешь какое-то число. Во-вторых, можно показать все число, даже если это десятки или сотни тысяч, целиком, а не по частям. Не нужно запоминать, сколько было тысяч, сотен и десятков. В-третьих, когда пользуешься счетами, можно добавлять сколько угодно рядов и, таким образом, изобразить в принципе сколь угодно большое число. И наконец, счеты позволяют изобразить одновременно два числа и выполнить с ними какие-то действия.

Считаем на счетах

Человеку еще в доисторические времена было необходимо складывать и вычитать числа. Предположим, что вы приобрели у соседа несколько наконечников для стрел и вам нужно знать, сколько у вас теперь всего в запасе наконечников. Или, скажем, ваши овцы принесли по несколько ягнят — вы должны знать, сколько голов в вашем стаде после этого прибавления.

Самый простой способ — посчитать. Предположим, у вас было пять наконечников, и вы приобрели еще два. Вы складываете их вместе, считаете — и у вас получается семь. Но постепенно приобретается опыт счета, вы уже знаете, что пять плюс два — это семь.

Однако наша память не беспредельна, и когда нужно сложить большие числа, например двадцать три и пятьдесят четыре, ответ найти уже гораздо труднее. Представьте себе древнего пастуха, у которого в стаде было пятьдесят четыре овцы, а потом прибавилось еще двадцать три. И вот он их долго и нудно пересчитывает, сбивается, начинает сначала, опять сбивается… и приходит в ярость от собственного бессилия. Пожалуй, от человека, занимающегося подсчетами по такой методике, лучше держаться подальше.

Вот тут на помощь могут прийти счеты. Это очень удобное приспособление, которое помогает подсчитать сумму этих двух чисел, не делая никаких особых интеллектуальных усилий. Теперь совсем не нужно находиться рядом с этими глупыми овцами, которые не могут стоять на месте и все время перемещаются. Можно уйти в дом и считать там.

Если нужно прибавить двадцать три к пятидесяти четырем, то сначала на счетах на нижнем ряду, то есть на ряду единиц, мы откладываем четыре. На следующем ряду, на ряду десятков, — пять. Теперь на нижнем ряду откладываем еще три, а на следующем — два. И в результате получаем семьдесят семь. Правда, при счете сумма ни разу не равнялась десяти или большему числу.

Точно так же без особых проблем можно складывать и очень большие числа. Например, нам нужно сложить двести пятьдесят три тысячи сто двенадцать и сто двадцать шесть тысяч восемьсот тридцать один. Используя счеты, мы легко определим сумму, которая равна триста семидесяти девяти тысячам девятисот сорока трем. Однако эта легкость отчасти определяется тем, что ни на одном ряду при сложении мы не получали числа, большего десяти.

А теперь представьте себе, что надо на счетах сложить семь и восемь. Как ни странно, это даже трудней, чем получить сумму от сложения нескольких сотен тысяч, что мы только что сделали.

Посмотрите на рисунок.

Складываем 7 и 8 на счетах

Сначала на нижнем ряду вы переводите направо восемь костяшек. Теперь нужно к ним прибавить еще семь, но у нас на нижнем ряду свободны только две костяшки. Что же делать? Все очень просто. Сначала передвигайте оставшиеся две. Теперь у вас есть целый десяток. Вы делаете замену, десять костяшек на нижнем ряду заменяете на одну костяшку на следующем ряду, то есть откладываете в ряду десятков один десяток. Теперь вы можете закончить сложение, ведь ряд единиц у вас свободен. Нам нужно было передвинуть семь костяшек. Две мы уже передвинули. Значит, осталось передвинуть еще пять. Передвигаем пять костяшек на нижнем ряду влево и получаем результат: один десяток и пять единиц, то есть пятнадцать.

Такая замена десяти костяшек на одну в следующем верхнем ряду годится для всех рядов. Десять десятков можно заменить на одну сотню, десять сотен на одну тысячу и так далее.

Таким образом, когда мы используем счеты, нам не надо отсчитывать больше десяти костяшек. На самом деле достаточно считать до пяти. Ведь если вы передвинули направо больше пяти костяшек, нужно только подсчитать количество костяшек в левой части, их всегда будет меньше пяти, чтобы узнать, сколько их в правой части. Скажем, если слева осталась одна костяшка, значит, справа их девять.

Когда костяшек пять или меньше, нам легко определить их количество с первого взгляда, не считая. Поэтому опытный работник, которому приходилось постоянно считать на счетах, мог производить операции сложения и вычитания с большой скоростью, гораздо быстрее, чем это делается по обычной методике, на бумаге, складывая и вычитая в столбик. Самым выдающимся специалистам по работе со счетами удавалось даже обогнать электрические настольные счетные машины.

Используя счеты, вы легко можете показать, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Неважно, какое число вы первым выставили на счетах. Вы можете сначала отложить семь, а потом восемь, или наоборот, сумма останется той же самой. Это пятнадцать. Так что запомните это правило хорошенько: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Изображаем числа при помощи букв

Итак, мы выяснили, какая полезная и удобная вещь — счеты. Но ведь результаты вычислений надо как-то записывать. И в Древнем Вавилоне, и в Древнем Египте велись систематические записи налогов, податей, запасов, поступивших в закрома правителей, и многого другого. Конечно, можно записывать числа словами, как это сделано в начале главы, например двести пятьдесят три тысячи сто двенадцать. Такую запись можно было сделать на любом языке, но это довольно утомительно и неудобно. На помощь пришли сокращения и обозначения.

Уже в древности писцы использовали различные знаки, символы и буквы алфавита для записи чисел. Мы с вами рассмотрим систему буквенных изображений чисел, которую использовали древние римляне. Она используется до сих пор. Римские цифры мы можем увидеть на памятниках, на общественных зданиях, на циферблатах часов, в дипломах и юбилейных грамотах, так что они всем нам хорошо знакомы.

Число один в римской системе обозначалось как I, два —II, три — III, четыре — IIII, пять — V (возможно, это схематичное изображение ладони с отведенным в сторону большим пальцем), шесть — VI, семь — VII, восемь — VIII, девять — VIIII, десять — X (возможно, этот значок обозначал две ладони с отведенными большими пальцами, одну с пальцами, направленными вверх, другую — с пальцами вниз). Дальше идет пятьдесят — L, сто — С, пятьсот — D, тысяча — М.

Так число тысяча девятьсот пятьдесят восемь в римской системе записи будет выглядеть как MDCCCCLVIII (то есть одна тысяча + пятьсот + сто + сто + сто + сто + пятьдесят + пять + один + один  + один).

Обратите внимание, в римской системе записи чисел определенный символ всегда обозначал одно и то же число, независимо от того места в строке, которое он занимал. Скажем, вместо MDCCCCLVIII можно написать CLCDIIVCMCI, и это будет то же самое число. Единственная причина, которая заставляла писцов располагать символы в порядке убывания справа налево, — это удобство считывания числа. Примерно так же, как при игре в бридж — значимость карты всегда остается постоянной, но игроки раскладывают их в порядке убывания справа налево.

В наши дни используют немного измененную систему обозначения. Меньший символ ставят перед большим, когда его надо вычесть из большего. Например, мы привыкли число четыре записывать как IV, а не IIII, а девятьсот как СМ, а не DCCCC. Это усовершенствование древнеримской системы записи чисел было введено уже в Средние века с целью сокращения записи, и древние римляне им не пользовались.

Итак, в римской системе записи значение символа не зависело от его положения, то есть эта система отличается от системы обозначения на счетах, где значение числа зависит от того, в каком ряду оно находится.

Тем не менее и в римской системе обозначения чисел можно производить действия сложения. Например, нам надо сложить MDCCCCLVIII и MMCCCCLXXII. Запишем новое число, записав знаки обоих чисел вместе. Мы получим:

MMMDCCCCCCCCLLXXVIIIII.

Теперь упростим это выражение:

Пять единиц или IIIII — это V, а два раза по пятьдесят (LL) — это сто (С).

Произведем замену и получим: MMMDCCCCCCCCCXXVV.

Но две пятерки (VV) — это десять, а пять сотен (ССССС) — это пятьсот (D). Произведем еще одну замену и получим следующий результат:

MMMDDCCCCXXX.

Но пятьсот и пятьсот (DD) — это тысяча (М), проводим последнюю возможную замену и получаем окончательный результат: