Когда речь заходит о бесконечном, в нашем воображении возникает нечто огромное и вечное, непонятное и, пожалуй, бесполезное.
Однако, даже если мы имеем дело с малыми числами, совершенно неожиданно в нашем поле зрения вновь возникает понятие «бесконечность». Предположим, нам надо разделить 1 на 1/10.Мы помним правило обратных величин и знаем, что разделить число на 1/10 это все равно что умножить его на 10. Таким образом, 1 : 1/10 = 10, 1 : 1/100 = 100, 1 : 1/1000 = 1000.
То есть чем меньше делитель при одном и том же делимом, тем больше частное от деления.
И действительно, если делить единицу или любое другое число на ряд чисел, последовательно убывающих, то есть становящихся все меньше и меньше, мы получим ряд чисел (частных от деления), которые становятся все больше и больше. А когда делитель становится бесконечно малой величиной, то частное от деления превращается в бесконечно большую величину.
Вы можете спросить: что же это такое «бесконечно малая величина»? Конечно, самой малой величиной является ноль. Но малая величина может представлять собой
дробь. Скажем, 1/10 — это малая величина, 1/100 — еще меньше, 1/1000 — еще меньше, а 1/10000 — еще меньше. Не существует предела, до которого можно уменьшать величины. Но как бы вы ни увеличивали количество нулей в знаменателе, вы никогда не достигнете нуля. Таким образом, когда вы делите единицу или какое либо другое число на последовательность бесконечно возрастающих чисел, вы получаете последовательность бесконечно убывающих чисел. Когда делитель становится бесконечно большим числом, частное становится бесконечно малым.
Обратите внимание, что мы не можем делить числа на ноль. Эта операция в математике не рассматривается, и причина очень проста. Скажем, какое частное мы получим от деления 6 на 0? Другими словами, на какое число надо умножить 0, чтобы получить 6? Такого числа нет, значит, операция 6 : 0 невозможна. Любое число, умноженное на ноль, дает ноль. Это означает, что мы не можем ни одно число разделить на ноль.
Промежуток между двумя числами, скажем, между единицей и двойкой, можно разделить на любое количество долей, на миллион, триллион и так далее, бесконечно. То же самое можно проделать и с меньшим интервалом, скажем, с интервалом между ¼ и ½ или между 0,0000001 и 0,00000001.
Математики доказали, что все возможные дроби (то есть все рациональные числа) можно расположить таким образом, чтобы получить взаимно однозначную последовательность по отношению к последовательности целых чисел.
Для каждого целого числа будет существовать соответствующая дробь, и, наоборот, не может быть дроби без соответствующего целого числа. Таким образом, последовательности всех возможных дробей являются счетными последовательностями.
Рассмотрим бесконечную последовательность дробей:
1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, 1/512...
Обратите внимание на то, что каждая следующая дробь равна половине предыдущей, поскольку знаменатель каждый раз удваивается. (Если взять любую дробь и разделить ее на 2, например 1/128 : 2, то это то же самое, что умножить ее на 1/2, то есть 1/128 : 2 = 1/128 × 1/2, а это значит, что знаменатель удваивается.)
Хотя дроби постоянно уменьшаются, эта последовательность также является бесконечной, ведь любую сколь угодно малую дробь из этой последовательности можно разделить на два и получить еще меньшую. Знаменатель дроби увеличивается бесконечно, но сама дробь никогда не достигнет нуля, поскольку для этого надо, чтобы знаменатель достиг бесконечности, а это невозможно.
А теперь давайте выясним, чему равна сумма этой бесконечной последовательности. С точки зрения простого здравого смысла может показаться, что сумма такой последовательности должна быть бесконечно большой величиной. Но мы уже знаем, насколько обманчив бывает так называемый «здравый смысл».
Сначала к 1/2 прибавляем 1/4, получаем 3/4, затем к 3/4 прибавляем 1/8, получаем 7/8, затем к 7/8 прибавляем 1/16, получаем 15/16, прибавляем 1/32, получаем 31/32 и так далее. Обратите внимание, что чем больше членов последовательности мы добавляем, тем ближе сумма последовательности приближается к 1. Когда мы складываем первые два члена ряда, до единицы остается 1/4, прибавляем следующий член, и до единицы остается 1/8, и так далее можно дойти до одной миллионной или до одной триллионной, но единица так никогда и не будет достигнута.
Математики так формулируют это положение: «Сумма бесконечной последовательности дробей 1/2, 1/4, 1/8… приближается к единице, которая является пределом суммы данной последовательности».
Это пример сходящейся последовательности, то есть последовательности, состоящей из бесконечного числа членов, сумма которых приближается к какому-либо конечному числу как к пределу.
Еще в Древней Греции математики обнаружили сходящиеся бесконечные последовательности, но они были столь поражены тем, что количество членов последовательности бесконечно, что даже не могли предположить, что сумма таких последовательностей может быть не бесконечной величиной. Греческий математик и философ Зенон поставил ряд задач, называемых парадоксами, которые, казалось бы, опровергают совершенно очевидные постулаты. Один из его парадоксов служил доказательством того, что движение в принципе невозможно. Эти парадоксы считались неразрешимыми на протяжении столетий, до тех пор, пока не выяснилась правда о сходящихся бесконечных последовательностях.
Самый знаменитый парадокс Зенона называется «Ахилл и черепаха». Древнегреческий герой Ахилл славился как прекрасный бегун, а черепаха известна тем, что передвигается чрезвычайно медленно. Тем не менее Зенон продемонстрировал, что Ахилл никогда не сможет догнать черепаху в соревновании по бегу, если изначально у черепахи будет преимущество.
Предположим, что Ахилл бегает в десять раз быстрее черепахи, но к началу соревнований у черепахи будет преимущество в 100 ярдов. В несколько прыжков Ахилл преодолеет расстояние в 100 ярдов, но за это время черепаха, которая двигается в десять раз медленнее Ахилла (что очень неплохо для черепахи), пройдет 10 ярдов. Ахилл пробегает и эти 10 ярдов, но черепаха удаляется от него на 1 ярд. Тогда Ахилл пробегает один ярд, но черепаха удаляется от него на 1/10 ярда, и так далее до бесконечности.
Вот видите, что происходит. Ахилл продолжает движение, но и черепаха движется, и Ахилл не может ее догнать. И более того, повторяя это рассуждение для другого первоначального разрыва между черепахой и Ахиллом, мы можем сказать, что, каким бы малым ни было изначальное преимущество черепахи, будь это один фут или один дюйм, ничего не изменится. Ахилл никогда не сможет добиться никакого преимущества, а это, в свою очередь, означает невозможность движения вообще.
Конечно, вы прекрасно знаете, что Ахилл может догнать черепаху и движение возможно, следовательно, доказательство Зенона несет в себе противоречие, то есть является парадоксом.
А теперь рассмотрим подробно задачу Зенона. Где ошибка в его рассуждениях? Предположим, Ахилл бежит со скоростью 10 ярдов в секунду, а черепаха движется со скоростью 1 ярд в секунду. Ахилл пробегает первые 100 ярдов за 10 секунд. За это время черепаха проходит 10 ярдов. Ахилл преодолевает 10 ярдов за одну секунду, а черепаха за это время проходит 1 ярд. Ахилл преодолеет этот ярд за 0,1 секунды, а черепаха удалится от него на 0,1 ярда.
Иными словами, время, которое нужно Ахиллу для того, чтобы догнать черепаху, представляет собой убывающую последовательность 100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001, 0,00001…
Сколько времени понадобится Ахиллу для того, чтобы преодолеть бесконечную последовательность уменьшающихся расстояний? Зенон считал, что раз число членов в последовательности бесконечно, то и сумма должна быть бесконечной. Он не мог себе представить, что последовательность бесконечного количества чисел может быть сходящейся и иметь конечную сумму.
Например, если мы сложим первые два члена последовательности Зенона, мы получим 11, сумма первых трех членов равна 11,1, первых четырех — 11,11, первых пяти — 11,111, первых шести 11,1111. А если представить себе сумму всего бесконечного ряда, то мы получим 11,11111111111111111… И так до бесконечности.
А что такое 11,111111111…? Это десятичный эквивалент числа 111/9. Если перевести 111/9 в десятичную дробь, мы получим как раз 11,11111111111111111…
Таким образом, сумма последовательности в задаче Зенона составляет 111/9 секунды. Это то самое время, которое понадобится Ахиллу, чтобы преодолеть все последовательно убывающие расстояния, на которые удаляется от него черепаха. А это значит, во-первых, что Ахилл в конце концов догонит черепаху, во-вторых, что движение возможно, ну а в-третьих, что и мы можем наконец расслабиться.
Последовательности могут стремиться к пределу, который является бесконечной десятичной дробью, причем не повторяющейся. Такие последовательности можно составлять для отображения иррациональных чисел. Прибавляя все новые и новые члены к такой последовательности, мы все ближе подходим к величине иррационального числа, хотя никогда не сможем ее достичь. Такие же сходящиеся последовательности используют для определения иррациональных чисел, например таких, как логарифмы.
Но все ли бесконечности бесконечны одинаково? Можно ли представить себе бесконечную последовательность, которая не была бы счетной бесконечной последовательности целых чисел?
Да, в общем, возможно. Представьте себе линию с делениями через равные интервалы, обозначающими числа, к такой линии мы обращались несколько раз по мере изложения материала в нашей книге. А теперь представьте себе, что все интервалы между числами разбиты на все возможные дроби. То есть интервалы между целыми числами плотно наполнены третьими долями, седьмыми долями, тысячным