Как я уже говорил, греки любили разгадывать разные числовые головоломки и выискивать закономерности. Например, они вычисляли суммы сомножителей, на этот раз включая единицу, для разных чисел и смотрели, что же получается. Они выяснили, что суммы сомножителей могут быть меньше, Или больше самого числа, или равны самому числу. Например, сумма сомножителей 10 (1, 2 и 5) равна только 8. Число 10 называется неполным числом. Сумма сомножителей числа 12 (1, 2, 3, 4 и 6) равна 16, то есть она больше самого числа. Такие числа, как 12, называются избыточными.
Сумма сомножителей числа 6 (1, 2 и 3) равна самому числу, то же самое относится и к числу 28 (1, 2, 4, и 7). Такие числа греки называли совершенными.
Есть еще одна забавная закономерность. Сумма сомножителей числа 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110) равна 284, и в то же время сумма сомножителей числа 284 (1, 2, 4, 71, 142) равна 220. Такие числа греки называли содружественными числами.
Разделение чисел на простые, совершенные, содружественные и так далее не имеет большой практической ценности, но в течение тысячелетий числовые закономерности вызывали восторг и любопытство математиков. Интерес к ним не угас и в наши дни.
До сих пор мы с вами имели дело с обычными числами, при помощи которых можно пересчитывать различные объекты: 1, 2, 3… Очень часто нам и не требуются другие числа.
Например, подобным числом может быть определено количество мальчиков в классной комнате. В комнате может быть 4 мальчика, 5 мальчиков или другое число мальчиков. В любом случае это будет вполне определенное число. Но вы никак не можете заявить: «Ну, я все тщательно подсчитал, и выяснилось, что в комнате больше чем 4 мальчика, но меньше чем 5. Я думаю, их какое-то промежуточное число, между 4 и 5».
Если вы считаете какие-то объекты, то между 4 и 5 для вас нет никаких других чисел. В комнате либо 4 мальчика, либо 5, но нет никакого промежуточного числа. Если в комнату, где уже находится 5 мальчиков, войдет еще 1, то в комнате окажется б мальчиков, причем ровно 6, а не около б или чуточку больше 6.
Однако если вы поинтересуетесь, сколько времени мальчики посвятили занятиям, вы можете получить приблизительный ответ: «Они занимались больше одного часа, я не уверен, но, по-моему, меньше двух часов».
В данном случае ответ не лишен смысла, поскольку существует отрезок времени, больший одного часа, но меньший двух часов. Время — это то, что измеряют, а не пересчитывают.
Пересчет и измерение — это разные процессы. При пересчете вы имеете дело с отдельными, или дискретными объектами. Те числа, которые мы с вами изучали в начале книжки, также являются отдельными, или дискретными, и они хорошо соответствуют дискретным объектам. При рассмотрении дискретных объектов нам и не нужны никакие другие числа.
Если же нам приходится измерять что- либо, что не состоит из отдельных объектов, задача сразу же усложняется. Теперь мы имеем дело с протяженностью, или с континуумом, то есть с продолжительностью времени какого-то процесса или длиной какой-нибудь линии.
Обычные дискретные числа не соответствуют протяженным величинам, и их нельзя использовать для измерения таких величин, не рискуя допустить неточность.
Для того чтобы избежать такого несоответствия, следует вставить в ряд дискретных чисел какие-то промежуточные числа. Когда мы это сделаем, числа 1, 2, 3, 4… становятся только малой частью бесконечной системы, которая соответствует таким понятиям, как время, длина, или любому другому континууму.
Со следующей главы мы начнем изучать такие числа, выясним их происхождение и освоим правила расчетов при помощи таких чисел.
Глава 4РАЗБИТЫЕ ЧИСЛА
Человечество не могло согласиться с ограничениями в делении. Предположим, надо разделить два яблока между четырьмя детьми. Совершенно бесполезно объяснять им, что такое деление невозможно, поскольку нет такого числа, которое после умножения на 4 даст 2. И ни одна мать так не сделает. Она попросту разрежет каждое из яблок пополам и даст каждому из детей половину (или приготовит из этих яблок пюре).
Следуя этой системе, человечество уже давно научилось разбивать основные единицы измерения на более мелкие и присваивать этим новым единицам собственные названия. Например, в американской системе измерения объема существует единица, называемая кварта, если кварту разделить пополам, получим две новые единицы, пинты. Если у вас есть две кварты пива, на которое претендуют четыре человека, то каждый получит по одной пинте.
Можно делить единицы и на числа, большие 2. Например, бушель (еще одна американская мера объема) можно разделить на 4 пека, а пек — на 8 кварт. Один фунт можно разделить на 16 унций, а 1 кварту на 32 жидкие унции. Все эти числа являются результатом деления какой-то величины на две части, затем каждую из этих частей снова делили пополам и так далее.
Можно, например, разделить 1 кварту между двумя людьми, если каждому дать по 16 жидких унций (а это как раз 1 пинта). А если надо разделить одну кварту между четырьмя людьми, то каждому можно дать по 8 жидких унций (то есть по полпинты). Если же у нас 8 человек, то каждому достанется по 4 жидкие унции (или по 1 джиллу).
Все это замечательно, но что делать, если надо разделить что-то между тремя? Мы не можем разделить кварту, в которую входят 32 унции, на три, поскольку 32 не делится на 3. Кварту удобно делить между 16 или 32.
Следовательно, было бы полезно выбрать какую-нибудь единицу, которая содержала бы максимальное количество сомножителей. Одним из таких чисел является 12. В одном футе 12 дюймов, 12 тройских унций содержится в тройском фунте, а 12 — это, как известно, дюжина.
Обратите внимание на дюжину, это очень полезная единица. Если у вас есть дюжина яблок, вы можете поделить их на две группы по 6, на 3 группы по 4, на 4 группы по 3, на 6 групп по 2, и на 12 групп по одному. Очень важно, что 12 делится не только на 2 и 4, но также и на 3.
Дюжины раньше часто использовали в торговле, ведь дюжину легко разбить на несколько более мелких частей различными путями. Существовала также единица, которая являлась дюжиной дюжин (это гросс), которая равнялась 12 × 12 или 144. У числа 144 много сомножителей. Это 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48 и 72.
Такая система удобна и практична, ее легко применять в повседневной жизни, и кое- кто даже жалеет о том, что в основе нашей системы исчисления лежит 10, а не 12. У числа 190 есть только два множителя, это 2 и 5. Десять не делится ни на 3, ни на 4. Единственная причина, по которой в основе системы оказалось число 10, — это то, что у нас по 5 пальцев на каждой руке. А вот если бы их было бы по 6…
У числа 10 есть одно преимущество перед 12. Число 10 делится на 5, а 12 — нет. Древние вавилоняне пытались соединить в одном числе все достоинства чисел 10 и 12. Такое число должно делиться не только на 2, 3, и 4, но и на 5. Наименьшим таким числом является 60. Это число используется и в астрономии. Год составляет 365 дней и несколько часов. Год — это то время, за которое Солнце совершает свой (кажущийся) круговой путь по небу относительно неподвижных звезд. Если полный круг разделить на величину пути, которое Солнце проходит за день (то есть на «путь-день»). Мы получим 365 долей круга.
У вавилонян год равнялся 360 дням (либо они неправильно вычислили продолжительность года, либо просто округлили 365 до 360 для удобства вычислений). С этим числом удобно работать, поскольку 360 — это 60 × 60. Поэтому они делили небесную сферу и другие круги на 360 равных частей, которые мы в наши дни называем градусами. Затем каждый градус они делили на 60 частей, которые мы называем минутами, а каждую минуту еще на 60 частей, на 60 секунд.
Мы до сих пор придерживаемся вавилонской системы. Более того, поскольку время измеряется по движению крупных небесных тел на небосклоне, наш час разделен на 60 минут, а минута — на 60 секунд.
При подсчете времени мы находим также следы системы, основанной на 12. День и ночь разделены на 12 часов. В древности, до того как были изобретены часы, длина часа менялась в зависимости от времени года. Зимой дневные часы были короче, чем летом, а ночные длиннее. В наши дни продолжительность часа принята постоянной, поэтому летом светлое время длится дольше, чем зимой, ночное, наоборот, — короче.
Тем не менее на циферблате наших часов только 12 чисел, и, следовательно, мы определяем время между 1 часом ночи и 1 часом дня. (В армии принято считать время после 12 как 13, 14 и так далее часов, но обычно в быту мы не используем таких обозначений.)
То, что обычный человек сделал с обычными единицами измерения, смогут сделать математики со своими абстрактными числами.
Почему бы не разделить единицу на две равные части, на три, на четыре и так далее? Для того чтобы такое деление не было бесполезным, надо присвоить этим частям единицы собственные названия. Затем надо найти удобный символ для этих частей единицы. И наконец, надо разработать систему, которая позволит оперировать с этими частями и производить обычные арифметические операции.
Далее, если с долями чисел можно манипулировать так же, как с обычными числами, это означает, что части чисел можно рассматривать как обычные числа как в практической, так и в теоретической сфере применения.
Названия для частей чисел пришли из обыденной речи. Две равные части называют половинами. Части, которые получаются при делении числа на какое-то количество долей, называются в соответствии с количеством этих долей, то есть третьи, четвертые, пятые и так далее.
Половина — это то, что получается при делении единицы на 2 части. Другими словами, это 1 : 2. При таком делении мы не получим обычного целого числа, и бессмысленно его искать. Нужно просто выбрать обозначение для данной арифметической операции. Таким обозначением стало у ½. Его можно прочесть как одна вторая, или половина. Если мы делим 1 на 3, то получаем соответственно одну третью часть, или одну треть. Если делим на 5, то получаем одну пятую, и так далее. Мы не пытаемся решить эти примеры, 1/2, 1/3, 1/5 — это просто обозначения.