Когда мы говорим, что 1 : 3 = 1/3, мы просто утверждаем, что «единица, деленная на 3, равна единице, деленной на 3».
Это звучит обескураживающе. Вы можете спросить: а что такое эта единица, которую мы делим на 3? Ответ совсем прост: а какая разница, что это. Если мы можем манипулировать с величиной 1/3 как с обычным числом, то этого вполне достаточно.
Эти доли единицы назвали дробями (от слова «дробить»). В отличие от дробей те числа, с которыми мы имели дело раньше, называются целыми.
Теперь рассмотрим, какие действия можно осуществлять с дробями. Надо выяснить, как складывать и вычитать дроби. Предположим, нам надо сложить 1/3 и 1/3. На словах это очень легко объяснить. Одна треть и одна треть вместе дадут две трети (так же как одно яблоко плюс одно яблоко равно двум яблокам).
Затем надо решить, как записать это действие при помощи арифметических символов. Поскольку одна треть — это 1/3, логично предположить, что две трети — это 2/3. Но что означает эта величина? Как мы разделим 2 на 3? Предположим, у нас два куска пирога, а детей — трое. Тогда каждый кусок пирога делим на 3, получаем 6 маленьких кусочков. Теперь каждому ребенку можно дать по два кусочка. Таким образом, каждый ребенок получает по 2/3.
Рассуждая таким образом, мы можем показать, что результат любого деления может быть представлен в виде дроби. Сорок три пирога, разделенные между семидесятью тремя людьми, дадут результат 43/73, то есть каждый человек получит по 43/73 части пирога.
Вернемся к сложению и умножению. Мы показали, чему равно 1/3 +1/3, также можно показать, что 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5, а 3/5 - 2/5 = 1/5.
Мы вывели общее правило. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями (знаменателем называется та часть дроби, которая записана под чертой) необходимо вычесть числитель одной дроби из числителя другой.
То же правило распространяется на умножение дроби на целое число. Умножается только числитель дроби. Произведение 1/7 на 6 равно 6/7; 18/23, деленное на 9, равно 2/23. Точно так же, как с яблоками: одно яблоко, умноженное на 6, — это 6 яблок, а 18 яблок, поделенных на 9, — это 2 яблока.
В процессе сложения может оказаться, что числитель достигнет величины знаменателя. Например, 1/3 + 1/3 + 1/3= 3/3, или 1/3 × 3. Чему равно 3/3?
Очевидно, если вы разделите единицу на три части, а потом сложите снова все эти три части, вы получите первоначальное число, то есть единицу. Другими словами, 3/3 = 1, и это выражение соответствует нашему определению дроби, то есть 3 : 3 = 1.
Точно так же 2/2, 4/4, 27/27, 109476/109476 равны единице.
А что, если нам надо 1/3 умножить на 4? Мы получим ответ 4/3, а что означает такое выражение? Дробь 4/3 может быть представлена в виде 1 + 1/3. или 11/3, или одна целая и одна треть.
В школе учеников обычно приучают к тому, чтобы выделять максимально возможную целую часть из дроби. То есть превращать 4/3 в 11/3, 27/5 в 52/5 и так далее. Однако делать это преобразование не всегда необходимо. На самом деле арифметические действия с 4/3 и 27/5 производить удобнее, чем с 11/3 и 52/5.
По существу, в большинстве случаев стремление выделить целую часть дроби вызвано только природным консерватизмом, а не соображениями целесообразности.
Дроби, меньшие 1, то есть дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями. И наоборот, дроби, у которых числитель больше знаменателя, называют неправильными, то есть даже название этих дробей имеет оттенок неодобрения.
Тем не менее не следует забывать, что действия со всеми дробями производят по одним и тем же правилам. И с математической точки зрения и те и другие дроби равным образом правильные.
Рассмотрим дробь 6/3. Ее величина равна 2, так как 6/3 = 6 : 3 = 2.
А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? 6/3 × 2 = 12/6. Очевидно, величина дроби не изменилась, так как 12/6 также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить 18/9, или на 27 и получить 162/81, или на 101 и получить 606/303. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что величина дроби не изменилась.
Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби 120/60 (равной 2) разделить на 2 (результат 60/30), или на 3 (результат 40/20), или на 4 (результат 30/15) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.
Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу.
Если числитель и знаменатель дроби 1/3 умножить на 2, мы получим 2/6, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа 1/3 и 2/6 идентичны.
Сформулируем общее правило. Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется. Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.
Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби 126/189 на 63 и получить дробь 2/3, с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример.
Числитель и знаменатель дроби 155/31 можем разделить на 31 и получить дробь 5/1, или 5, поскольку 5 : 1 = 5.
В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1. Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть 273/1 равно 273; 509993/1 равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на целые и дробные, поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: 15/1 + 15/1 = 30/1; 4/1 × 3/1 = 12/1.
Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами.
Сначала умножим числитель и знаменатель дроби 1/3 на 5. Получим 5/15, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби 1/5 на 3. Получим 3/15, опять величина дроби не изменилась. Следовательно,
1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15.
Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.
Нам надо сложить 3 + 1/3 + 11/4. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: 3/1 + 1/3 + 5/4. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем 36/12 + 4/12 + 15/12, что равно 55/12. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби, ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей:
55/12 = 48/12 + 7/12, или 47/12.
Все правила, позволяющие проводить операции с дробями, которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1 : 3, можно записать как -1/3, а 1 : (-3) как 1/-3.
Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при делении положительного числа на отрицательное в результате мы получаем отрицательные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть (-1) : 3 = -1/3 или 1 : (-3) = 1/-3. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.
С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как -1/-3, а поскольку при делении отрицательного числа на отрицательное число мы получаем положительное число, то можно записать как +1/3.
Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дробей. Например, что такое 1- 11/3? Представим оба числа в виде дробей и получим 1/1 - 4/3. Приведем дроби к общему знаменателю и получим (1×3)/(1×3) - 4/3, то есть 3/3 - 4/3, или -1/3.
Глава 5РАЗБИВАЕМ НА ДЕСЯТКИ
Продолжаем разбираться с дробями. Мы уже выяснили, как умножать и делить дроби на целые числа. А как умножить дробь на дробь или разделить дробь на дробь?
Предположим, нам надо разделить- на 2
части. Все три третьих части вместе составят единицу. Если каждую из этих частей разделить пополам, получим частей, которые вместе также составляют 1. Поскольку каждая из этих меньших частей составляет одну шестую, мы можем утверждать, что одна вторая от одной третьей равна одной шестой. Рассуждая таким же образом, мы можем показать, что одна вторая от одной четвертой равна одной восьмой, а одна третья от одной четвертой — соответственно одной двенадцатой.
Действия с дробями удобно записывать в такой форме:
1/3 × 1/2 = 1/6; 1/4 × 1/2 = 1/8; 1/3 × 1/4 = 1/12.
Мы используем знак «×», поскольку правильный ответ мы получаем при перемножении знаменателей. А как обстоит дело с числителями? На первый взгляд кажется, что числитель не изменяется, но ведь 1 × 1 = 1. Поэтому, чтобы ответить на этот вопрос, надо выяснить, как обстоит дело с дробями, числитель которых отличается от 1. Предположим, нам надо разделить 10 на пять равных частей. Каждая часть будет равна одной пятой от 10. Поскольку 10 : 5 = 2, следовательно, одна пятая часть от десяти составляет 2. Выражение «одна пятая от десяти» записывается как 1/5 × 10. Теперь попробуем представить это выражение в виде дроби. Во первых, 1/5 может быть преобразована в 2/10, если числитель и знаменатель дроби умножить на 2. Затем 10 можно представить как 10/1, умножить числитель и знаменатель на 3 и получить 30/3.