Иначе говоря, Кеплер обнаружил, что отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению. По сути дела, он открыл и еще одно интересное свойство чисел Фибоначчи – что квадрат любого члена последовательности отличается не более чем на 1 от произведения двух соседних членов последовательности. Например, поскольку последовательность Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …, то если мы рассмотрим 32 = 9, то 9 лишь на 1 отличается от произведений двух членов последовательности, соседних с 3: 2 × 5 = 10. Подобным же образом 132 = 169 отличается на 1 от 8 × 21 = 168 и т. д. Это качество чисел Фибоначчи подводит нас к удивительному парадоксу, который первым обнаружил великий изобретатель математических головоломок Сэм Лойд (1841–1911).
Рассмотрим квадрат со стороной 8 (с площадью 82 = 64) на рис. 63. Теперь разрежем его на четыре части по намеченным линиям. Из этих четырех кусочков можно составить прямоугольник (рис. 64) со сторонами 13 и 5 – то есть с площадью 65! Откуда взялся дополнительный квадратик?! Ответ на этот парадокс состоит в том, что на самом деле детали головоломки не сходятся идеально вдоль длинной диагонали прямоугольника, получается длинный узкий параллелограмм, которого не видно из-за жирной линии, обозначающей длинную диагональ на рис. 64, и его площади как раз хватает на площадь одного квадратика-единицы. Само собой, 8 – число Фибоначчи, и его квадрат 82 = 64 отличается на 1 от произведения двух соседних чисел Фибоначчи (3 × 5 = 65): свойство, которое открыл Кеплер.
Рис. 63
Рис. 64
Наверное, вы уже заметили, что Кеплер именует золотое сечение «божественной пропорцией, как называют ее нынешние геометры». Все научные изыскания Кеплера окрашены сочетанием рациональных рассуждений с христианскими убеждениями. Кеплер был естествоиспытателем-христианином и считал своим долгом понять не только устройство Вселенной, но и намерения ее Творца. Свою гипотезу о Солнечной системе он строил под влиянием сильной тяги к числу 5, перенятой у пифагорейцев, и о золотом сечении писал следующим образом:
Особенность этого соотношения заключается в том, что похожую пропорцию можно построить из целого и большей части, и то, что раньше было большей частью, теперь становится меньшей, а то, что раньше было целым, теперь становится большей частью, а сумма их обладает соотношением целого. Так происходит до бесконечности, а божественная пропорция всегда сохраняется. Я полагаю, что эта геометрическая пропорция и послужила идеей Творцу, когда Он творил подобное из подобного по образу и подобию Своему – и это тоже происходит до бесконечности. Число пять я вижу почти во всех цветках, которые прокладывают путь плодам, то есть творению, и которые существуют не ради себя самих, а ради того, чтобы за ними последовали плоды. Сюда можно включить почти все цветы плодовых деревьев; следует, вероятно, исключить лимоны и апельсины, хотя я не видел их цветов и сужу лишь по плодам или ягодам, которые поделены не на пять, а на семь, одиннадцать или девять долек. Однако воплощение числа пять в геометрии, то есть правильный пятиугольник, строится посредством божественной пропорции, которую мне бы хотелось [предположительно считать] прототипом Творения. Более того, [она] наблюдается и между движением Солнца (или, как я полагаю, Земли) и Венеры, которая стоит на вершине порождающей способности соотношения 8 и 13, которое, как мы еще услышим, подходит очень близко к божественной пропорции. Наконец, согласно Копернику, сфера Земли расположена посередине между сферами Марса и Венеры. Пропорцию между ними можно получить из додекаэдра и икосаэдра, оба из которых в геометрии производятся из божественной пропорции – однако акт творения происходит именно на нашей Земле.
Теперь рассмотрим, как из божественной пропорции проистекают изображения мужчины и женщины. На мой взгляд, размножение растений и продолжение рода у животных состоят в том же соотношении, что и геометрическая пропорция, пропорция, выраженная частями отрезка, или арифметическая или численно выраженная пропорция.
Проще говоря, Кеплер искренне верил, что золотое сечение послужило для Бога фундаментальным инструментом сотворения Вселенной. Из этого отрывка следует также, что Кеплер знал о проявлениях золотого сечения и чисел Фибоначчи в расположении лепестков растений.
Относительно спокойный и плодотворный с профессиональной точки зрения период жизни в Праге кончился для Кеплера в 1611 году, когда его постигла череда несчастий. Сначала умер от оспы его сын Фридрих, затем от заразной лихорадки, которую принесли австрийские оккупанты, скончалась его жена Барбара. В конце концов, император Рудольф отрекся от престола в пользу своего брата Матиаса, известного нетерпимым отношением к протестантам. Поэтому Кеплер был вынужден перебраться в Линц, на территорию современной Австрии.
Венцом трудов Кеплера, созданных в Линце, стала публикация в 1619 году его второй главной работы по космологии – «Harmonice Mundi» («Гармония мира»).
Вспомним, что для Пифагора и пифагорейцев музыка и гармония была первым доводом в пользу того, что космические явления можно описать математически. Созвучные тоны порождали лишь те струны, длины которых соответствовали простым дробям. Соотношение 2:3 звучало как квинта, 3:4 как кварта и т. д. Считалось, что похожее гармоническое расположение планет также порождает «музыку сфер». Кеплер был хорошо знаком с этой концепцией, поскольку прочитал почти всю книгу отца Галилео Галилея Винченцо «Диалоги о древней и современной музыке», хотя и не был согласен с некоторыми идеями Винченцо. Поскольку он был также убежден, что создал исчерпывающую модель Солнечной системы, то смог даже рассчитать небольшие «мотивы» для разных планет (рис. 65).
Рис. 65
Поскольку Кеплер был уверен, что «еще до начала вещей геометрия была столь же вечной, сколь и Божественный Разум», «Гармония мира» была по большей части посвящена геометрии. Один аспект этого труда был особенно важен для истории золотого сечения – я имею в виду изыскания Кеплера в области геометрического паркета.
Паркетом в геометрии называют узор или структуру, состоящую из «плиток» одной или нескольких форм, которые полностью покрывают плоскость, не оставляя промежутков – подобно мозаике из плиток на полу. В главе 8 мы увидим, что некоторые математические концепции, наблюдаемые в таких «паркетах», теснейшим образом связаны с золотым сечением. Хотя Кеплер не знал обо всех математических тонкостях паркетов, интерес к отношениям между разными геометрическими фигурами и почитание правильного пятиугольника, который воплощает божественную пропорцию нагляднее всего, позволил ему создать интересную работу о паркете. Особенно Кеплера занимала конгруэнтность («подогнанность» друг к другу) геометрических фигур и тел вроде многогранников и многоугольников. На рис. 66 показан пример из «Гармонии мира». Этот узор паркета составлен из четырех фигур – и все они связаны с золотым сечением: это правильные пятиугольники, пентаграммы, десятиугольники и сдвоенные десятиугольники. Для Кеплера это воплощение «гармонии», поскольку по-гречески это слово означает «соответствие друг другу».
Рис. 66
Интересно, что интерес к паркетам проявляли до Кеплера еще два человека, также сыгравшие важную роль в истории золотого сечения (и уже упоминавшиеся на страницах нашей книги): это Абу-л-Вафа и художник Альбрехт Дюрер. Оба они рассматривали узоры из фигур с пятилучевой симметрией (пример из набросков Дюрера приведен на рис. 67).
Рис. 67
В пятой книге «Гармонии мира» содержится самый значительный результат астрономических исследований Кеплера – Третий закон движения планет. Здесь сполна выразились все его мучительные раздумья по поводу размеров орбит разных планет и периодов их обращения вокруг Солнца. Двадцать пять лет работы сконцентрировались в поразительно простом законе: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет, и это отношение одинаково для всех планет (большая полуось – это половина длинной оси эллипса, см. рис. 62). Кеплер открыл этот основополагающий закон, послуживший Ньютону отправной точкой для формулировки закона всемирного тяготения, когда «Гармония мира» была уже в печати. Не в силах сдержать ликования, ученый объявил: «Я похитил золотые сосуды египтян, чтобы вдали от Египта выстроить жертвенник Господу моему». Суть закона естественно следует из закона всемирного тяготения: сила тяготения тем больше, чем ближе планета к Солнцу, вот почему планеты, которые ближе к нему, вынуждены вращаться быстрее, иначе они упадут на Солнце.
Рис. 68
В 1626 году Кеплер переехал в Ульм и завершил там работу над «Рудольфовыми таблицами» – на тот момент это были самые подробные и точные астрономические таблицы в истории. Когда я в июне 2001 года был в Венском университете, мне показали первое издание таблиц, хранящееся в библиотеке обсерватории (до наших дней дошло 147 экземпляров). На фронтисписе книги (рис. 68) символически изображена история астрономии, а в левом нижнем углу, возможно, находится единственный автопортрет Кеплера (рис. 69). На нем Кеплер трудится при свете свечи под виньеткой, где перечислены главные его публикации.
Рис. 69
Умер Кеплер в полдень 15 ноября 1630 года и похоронен в Регенсбурге. Судьба и после смерти не оставила его в покое, будто бы мало было бурной жизни: войны стерли с лица земли его могилу. К счастью, сохранился набросок надгробия, который выполнил друг Кеплера, и на нем есть и эпитафия ученому:
Я небеса измерял, ныне тени Земли измеряю.
Дух мой на небе жил, здесь же тень тела лежит.
В наши дни, пожалуй, невозможно представить себе ученого, столь оригинального и плодовитого, как Кеплер. Надо понимать, что на долю этого человека выпали невообразимые страдания: в частности, в 1617–1618 году он меньше чем за полгода потерял троих детей. Наверное, лучше всего о нем сказал английский поэт Джон Донн (1572–1631) в памфлете «Игнатий и его конклав»: Кеплер «вменил себе в обязанность сл