она не в состоянии ни доказать, ни опровергнуть. Иначе говоря, теория чисел, например, «неполна» в том смысле, что существуют истинные постулаты теории чисел, которые нельзя доказать методами, основанными на теории чисел. Чтобы доказать их, мы вынуждены перескочить в другую систему, богаче и выше уровнем, где опять же можно сформулировать истинные постулаты, которые нельзя доказать, не выходя из ее рамок, и так до бесконечности. Специалист по информатике и писатель Дуглас Р. Хофштадтер сухо сформулировал это в своей блистательной книге «Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда»: «Понятие доказуемости у́же понятия истины». В этом отношении никогда не будет формального способа определить, взяв конкретное математическое утверждение, абсолютно ли оно истинно – точно так же как невозможно определить, верна ли та или иная физическая теория. Роджер Пенроуз, математик из Оксфорда, принадлежит к тем, кто уверен, что теоремы Гёделя – мощный довод в пользу существования платонического математического мира. В своей чудесной книге «Тени разума», которая подталкивает к интереснейшим размышлениям, Пенроуз говорит: «Гёдель доказал не то, что математика… – это произвольные поиски, направление которых определяется прихотью Человека; он доказал, что математика – это нечто абсолютное, и в ней мы должны не изобретать, но открывать… ни одна система “искусственных” правил не способна сделать это за нас». И добавляет: «Такая платоническая точка зрения была существенна для Гёделя» (Пер. А. Р. Логyнова и Н. А. Зубченко). Английский математик XX века Г. Г. Харди также был убежден, что функция человека – «открывать или наблюдать» математику, а не изобретать ее. Иначе говоря, абстрактный пейзаж математики существовал всегда и только и ждал, когда исследователи-математики его обнаружат.
Одна из предлагаемых разгадок этой тайны – почему математика так хорошо объясняет явления природы – опирается на интереснейшую модификацию идей Платона. Этот «модифицированный платонизм» отстаивает ту точку зрения, что законы физики выражаются математическими уравнениями, структура вселенной фрактальна, галактики самоорганизуются в логарифмические спирали и т. д. потому, что математика есть язык вселенной. А конкретнее, по-прежнему предполагается, что математические объекты существуют объективно и зависят отнюдь не от наших знаний о них, однако вместо того, чтобы выводить математику целиком и полностью в какой-то мифический абстрактный план, сторонники этой точки зрения считают, что она хотя бы отчасти находится в реальном мироздании. Если мы хотим наладить общение с разумными цивилизациями, от которых до нас 10 000 световых лет, нам нужно всего-навсего передать им число 1,6180339887… – и можно не сомневаться, что они поймут, что мы имеем в виду, поскольку Вселенная, несомненно, навязала и им точно такую же математику. Да, Бог – математик.
Такой модифицированный платонизм был, очевидно, присущ и Кеплеру (хотя у него он был подкрашен религиозностью), и именно его он выражал, когда писал, что геометрия «снабдила Бога образцами для сотворения мира и передала их Человеку наравне с образом и подобием Божиим, и воспринята она была, по сути дела, не глазами». Подобные же мысли были и у Галилео Галилея:
Философия записана в этой великой книге – я имею в виду Вселенную – которая постоянно раскрыта у нас перед глазами, однако понять ее невозможно, если не научиться прежде понимать язык и толковать буквы, которыми она написана. А написана она на языке математики, и буквы ее – треугольники, круги и прочие геометрические фигуры, без которых человек никогда не сможет понять ни единого слова, без них будто блуждаешь в темном лабиринте.
Несколько другое представление о боге-математике было у мистика, поэта и художника Уильяма Блейка. Блейк питал глубочайшее презрение к научному объяснению природы. Для него Ньютон и его ученые последователи создали заговор с целью расплести радугу, подчинить правилам все тайны человеческого бытия. Вот и на мощной гравюре Блейка «Ветхий днями» (рис. 128, хранится в Библиотеке Пьерпонта Моргана, Нью-Йорк) изображен злой Бог, который при помощи циркуля не учреждает вселенский порядок, а скорее подрезает крылья воображению.
Рис. 128
Однако Кеплер и Галилей были вовсе не последними из математиков, принявших «модифицированное» платоновское мировоззрение, и подобные взгляды отнюдь не ограничивались кругом тех, кто, подобно Ньютону, воспринимал существование Божественного Разума как данность. Великий французский математик, астроном и физик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) писал в 1812 году в своей «Аналитической теории вероятностей» (Pierre-Simon de Laplace. Théorie Analitique des Probabilités):
Если бы нам был хотя бы на мгновение дарован разум, который понимает, какие силы движут природой и каково взаимное расположение сущностей, ее составляющих, и если бы этот разум обладал к тому же достаточной широтою, чтобы подвергнуть эти данные анализу, он охватил бы одной единой формулой движение и крупнейших тел во вселенной, и легчайшего атома.
И это тот самый Лаплас, который на замечание Наполеона Бонапарта, что в большой книге Лапласа о небесной механике ни словом не упомянут творец, ответил: «Сир, мне нет нужды в подобной гипотезе»!
Совсем недавно математик компании IBM и автор книг Клиффорд А. Пиковер в своей увлекательной книге «Божий ткацкий станок» (Clifford A. Pickover. The Loom of God) писал: «Не знаю, математик ли Бог, однако именно математика – тот ткацкий станок, на котором Господь ткет ткань вселенной… Тот факт, что эту реальность можно описать и достаточно точно вычислить при помощи простых математических выражений, по-моему, означает, что в основе природы заложена математика».
Сторонники «модифицированного платонического представления» о математике любят подчеркивать, что на протяжении столетий математики создавали (либо «открывали») многочисленные чисто математические объекты, не имея в виду никакого практического применения. Проходили десятилетия, и оказывалось, что эти математические конструкции и модели помогают решить физические задачи. Прекрасные свидетельства подобных процессов, когда математика неожиданно для всех вносила свой вклад в физику, – это плитки Пенроуза и неевклидовы геометрии, однако таких историй на самом деле гораздо больше.
Кроме того, есть много случаев и обратной связи между физикой и математикой, когда физическое явление вдохновляло на создание какой-то математической модели, а потом оказывалось, что эта модель объясняет совершенно иное физическое явление. Превосходный пример – феномен под названием «броуновское движение». В 1827 году английский ботаник Роберт Броун (1773–1858) заметил, что если развести пыльцу в воде, отдельные пылинки начинают оживленно двигаться. Этот эффект объяснил Эйнштейн в 1905 году: броуновское движение – результат столкновений коллоидных частиц с молекулами окружающей жидкости. Каждое столкновение в отдельности настолько слабенькое, что им можно пренебречь, поскольку частички пыльцы в миллионы раз массивнее молекул воды, однако постоянная бомбардировка оказывает кумулятивное воздействие. Так вот, представьте себе, что ту же модель мы обнаруживаем в движении звезд в звездных скоплениях! Там броуновское движение вызвано кумулятивным воздействием множества звезд, проходящих мимо данной конкретной звезды – и каждый проход чуть-чуть влияет на ее движение (посредством гравитации).
Однако существует и совершенно иное – не такое, как «модифицированное платоническое» – представление о природе математики и о причине ее могущества. Согласно этому представлению (оно сложным образом связано с догмами, которые в философии математики клеймят «формализмом» и «конструктивизмом»), математика существует исключительно в человеческом сознании. Математика, какой мы ее знаем, не более чем человеческое изобретение, а разумные цивилизации в других уголках Вселенной вполне могли разработать совершенно иные концепции. Математические объекты в объективной реальности не существуют, это плоды воображения. По словам великого немецкого философа Иммануила Канта, конечная истина математики лежит в вероятности, что ее концепции способен сконструировать человеческий разум. Иначе говоря, в математике Кант подчеркивает свободу– свободу постулировать и изобретать структуры и закономерности.
Подобное представление о математике как об изобретении человека особенно распространено у современных психологов. Например, французский писатель и исследователь Станислас Дехене в своей интересной книге «Чувство числа» (Stanislas Dehaene. The Number Sense, 1997) пишет, что «интуиционизм [для автора – синоним человеческого изобретения], как мне кажется, лучше всего описывает отношения между арифметикой и мозгом человека». О чем-то подобном говорит и последнее предложение книги лингвиста Джорджа Лакоффа и психолога Рафаэля Э. Нуньеса «Откуда взялась математика», которую издал Калифорнийский университет в Беркли в 2000 году (George Lakoff, Rafael E. Nüсez. Where Mathematics Comes From): «У портрета математики человеческое лицо». В основном эти выводы основываются на результатах психологических экспериментов и на неврологических исследованиях функционирования мозга. Эксперименты показывают, что у младенцев есть врожденные механизмы распознавания небольших наборов чисел и что дети спонтанно овладевают простыми арифметическими навыками даже без специального обучения. Кроме того, выявлено, что кора теменной доли головного мозга отвечает за способность обрабатывать числа и символы и обладает соответствующей нейронной структурой. Эта область в обоих полушариях анатомически расположена в месте, где пересекаются нервные связи осязания, зрения и слуха. Существует редкая форма эпилепсии, при которой припадки у больных случаются при попытке совершать арифметические действия, она так и называется epilepsia arithmetices, и электроэнцефалограмма у таких больных показывает аномалии именно в коре теменной доли. А повреждение этого участка влияет на способности к математике, письму и ориентации в пространстве.