Мятется, как далекий рой планет;
Он нам велит идти, искать, стремиться…
Золотое сечение есть продукт геометрии, которую изобрели люди. Однако люди не представляли себе, в какую волшебную страну заведет их это изобретение. Если бы мы не изобрели геометрию, то, вероятно, вообще не знали бы ничего о золотом сечении. Однако – кто знает? – возможно, мы получили бы его в результате работы короткой компьютерной программы.
Приложение 1
Мы хотим доказать, что для любых целых чисел p и q, таких, что p >q, три числа: p2 – q2; 2pq; p2 + q2 формируют пифагорову тройку. Иначе говоря, нам надо доказать, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего.
Для этого мы обратимся к общим формулам сокращенного умножения, справедливым для любых a и b:
(a + b)2 = (a + b) × (a + b)= a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = (a – b) × (a – b)= a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab – b2.
На основании этих формул квадрат первого числа равен
(p2 – q2)2 = p4 – 2p2q2 + q4.
Сумма первых двух квадратов равна
p4 – 2p2q2 + q4 + 4p2q2 = p4 + 2p2q2 + q4.
Квадрат третьего числа равен
(p2 + q2)2 = p4 + 2p2q2 + q4.
Итак, мы видим, что квадрат третьего числа равен сумме квадратов первых двух чисел независимо от значений p и q.
Приложение 2
Мы хотим доказать, что диагональ и сторона правильного пятиугольника несоизмеримы, то есть у них нет общей меры.
Общий принцип доказательства по методу reductio ad absurdum приведен в конце главы 2.
Обозначим сторону правильного пятиугольника ABCDE как s1, а диагональ – как d1. Из свойств равнобедренных треугольников легко вывести, что AB = AH и HC = HJ. Теперь обозначим сторону меньшего правильного пятиугольника FGHIJ как s2 и его диагональ как d2. Очевидно, что
AC= AH + HC= AB + HJ.
Следовательно,
d1 = s1 + d2 или d1 – s1 = d2.
Если у d1 и s1есть какая-либо общая мера, значит, и d1, и s1представляют собой целое произведение этой общей меры. Следовательно, существует также общая мера d1 – s1, то есть d2. Подобным же образом равенства
AG= HC= HJ
AH=AB
и
AH= AG+ GH
AB= HJ+ GH
дают нам
s1 = d2 + s2
или
s1 – d2 = s2.
Поскольку на основании нашего предположения общая мера для s1 и d1 представляет собой также общую меру для d2, последнее равенство доказывает, что она же еще и общая мера для s2. Поэтому мы обнаруживаем, что та единица, которая измеряет s1 и d1, измеряет также s2and d2. Продолжать этот процесс можно до бесконечности, рассматривая правильные пятиугольники все меньшего и меньшего размера. Тогда мы получим, что та же единица, которая служит общей мерой стороны и диагонали первого правильного пятиугольника, служит общей мерой и для всех других пятиугольников, сколь бы крошечными они ни становились. Поскольку очевидно, что так быть не может, следовательно, наше первоначальное предположение, что у стороны и диагонали правильного пятиугольника есть общая мера, ложно, что и доказывает, что s1 и d1 несоизмеримы.
Приложение 3
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к основанию. У треугольника TBC основание BC равно 2а, а высота ТА равна с. Следовательно, площадь треугольника равна с × а. Мы хотим показать, что если квадрат высоты пирамиды h2 равен площади ее треугольной стороны s × a, то s/a равно золотому сечению.
Дано, что
h2 = s× a.
Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику TOA, получаем
s2 = h2 + a2.
Теперь подставим значение h2 из первого равенства и получим
s2 = s× a + a2.
Разделим обе части на a2 и получим
(s/a)2 = (s/a)+ 1.
Иными словами, если мы обозначим s/a как x, у нас получится квадратное уравнение
x2 = x+ 1.
В главе 4 показано, что именно это уравнение и описывает золотое сечение.
Приложение 4
Одна из теорем в «Началах» доказывает, что если у двух треугольников одинаковые углы, эти треугольники подобны. А это значит, что форма у этих треугольников совершенно одинаковая и длины сторон соответственно пропорциональны. Если одна сторона одного треугольника вдвое длиннее соответствующей стороны второго треугольника, то это справедливо и по отношению к остальным сторонам.
Треугольники ADB и DBC подобны, поскольку у них одинаковые углы. Следовательно, отношение AB/DB, то есть отношение сторон треугольников ADB и DBC, равно DB/BC, то есть отношению оснований этих треугольников.
AB/DB= DB/BC.
Однако эти треугольники также равнобедренные, поэтому
DB= DC= AC.
Из вышеприведенных равенств следует, что
AC/BC= AB/AC,
Что означает (согласно определению Евклида), что точка C делит отрезок AB в золотом сечении. Поскольку AD = AB и DB = AC, получаем также, что AD/DB = φ.
Приложение 5
Квадратные уравнения – это уравнения, имеющие вид
ax2 + bx+ c= 0,
где a, b, c – произвольные числа. Например, в уравнении 2x2 + 3x+ 1 = 0 имеем a = 2, b = 3, c = 1.
Общая формула для поиска двух корней уравнения:
В вышеприведенном примере
В уравнении, описывающем золотое сечение,
x2 – x – 1 = 0,
a = 1, b = –1, c = –1, следовательно, корни:
Приложение 6
Задачу о дележе наследства можно решить следующим образом. Обозначим все наследство как E, а долю каждого из сыновей в безантах – как x (по условию, все они делят наследство поровну).
Первый сын получил
Второй сын получил
Приравниваем их доли:
Упрощаем:
x/7 = 6/7
x= 6.
Следовательно, каждому из сыновей досталось по 6 безантов.
Подставив эту величину в первое равенство, получаем:
Сумма наследства составила 36 безантов. Следовательно, количество сыновей 36/6 = 6.
А вот как выглядит решение Фибоначчи.
Сумма наследства должна представлять собой такое число, чтобы если прибавить к нему 1 раз по 6, одно делилось бы на 1 плюс 6, то есть на 7, а если прибавить к нему 2 раза по 6, оно делилось бы на 2 плюс 6, то есть на 8, если же прибавить к нему 3 раза по 6, оно делилось бы на 3 плюс 6, то есть на 9, и т. д. Такое число – 36. 1/7 от (36 – 1/7) – это 35/7, плюс 1 – это 42/7, или 6, и это и есть сумма, которую получил каждый из сыновей; общая сумма наследства, поделенная на долю каждого из сыновей, дает нам число сыновей, то есть 36/6 равно 6.
Приложение 7
Отношение между количеством субобъектов n, коэффициентом сокращения длины f и числом измерений D равно
Если положительное число А записывается в виде А = 10L, то L мы называем логарифмом (по основанию 10) числа А и записываем это так: L = log A. Иначе говоря, равенства А = 10L и L = log A тождественны. Правила логарифмов таковы:
1. Логарифм произведения есть сумма логарифмов:
log (A × B) = log A+ log B.
2. Логарифм отношения есть разность логарифмов
log ( A/B ) = log A – log B.
3. Логарифм степени числа – это степень, умноженная на логарифм числа:
log Am=