m× log A.
Поскольку 100 = 1, по определению логарифма log 1 = 0. Поскольку 101 = 10, 102 = 100 и так далее, получаем, что log 10 = 1, log 100 = 2 и т. д. Следовательно, логарифм любого числа от 1 до 10 – это число от 0 до 1, логарифм любого числа от 10 до 100 – это число от 1 до 2 и т. д.
Если мы возьмем логарифм (по основанию 10) обеих частей вышеприведенного равенства (описывающего отношения между n, f и D), то получим
Если теперь поделить обе части на log f, мы получим
Скажем, в случае снежинки Коха каждая кривая содержит четыре «подкривые» в одну треть длины, поэтому n = 4, f = 1/3, и получаем
Приложение 8
Рассмотрим рис. 116, а, и увидим, что условие соприкосновения двух веток состоит в простом требовании, чтобы сумма всех горизонтальных длин постоянно уменьшающихся веток с длинами начиная от f 3 была равна горизонтальной составляющей большой ветки длиной f. Все горизонтальные составляющие – это общая длина, умноженная на косинус угла, величиной 30 градусов. Поэтому получаем
f× cos 30° = f3 × cos 30° + f4 × cos 30° + f5 × cos 30° + …
Поделим это выражение на cos 30° – и получим
f= f3 + f4 + f 5 + f6 + …
Сумма правой части – это сумма бесконечной геометрической прогрессии, то есть каждый ее член равен предыдущему, умноженному на константу, в которой первый член – это f 3, а отношение двух последовательных членов равно f. В целом сумма S бесконечной геометрической прогрессии с первым членом а и отношением последовательных членов q равна
Например, сумма прогрессии
где a = 1 и q = 1/2, равна
В нашем случае из вышеприведенного уравнения следует
Делим обе части на f и получаем
Умножаем на (1–f), сокращаем и получаем квадратное уравнение
f2 + f – 1 = 0,
положительный корень которого равен
То есть 1/φ.
Приложение 9
Согласно закону Бенфорда, вероятность P, что цифра D появится на первом месте, составляет (логарифм по основанию 10)
P= log (1 + 1/D).
Следовательно, для D = 1
P= log (1 + 1) = log 2 = 0,30.
Для D = 2
P= log (1 + 1/2) = log 1,5 = 0,176,
И так далее. Для D = 9,
P= log (1 + 1/9) = log (10/9) = 0,046.
Согласно обобщенной формулировке закона вероятность того, что первые три цифры будут, к примеру, 1, 5 и 8, равна
P= log (1 + 1/158) = 0,0027.
Приложение 10
Доказательство Евклида, что существует бесконечное множество простых чисел, основано на методе reductio ad absurdum. Сначала Евклид предполагает, что верно противоположное: простых чисел существует лишь ограниченное множество. Однако, если это правда, одно из них должно быть самым большим простым числом. Обозначим самое большое простое число как P. Затем Евклид выводит новое простое число по следующему алгоритму: он перемножает все простые числа, начиная с 2 и до (включая) Р, и прибавляет к произведению единицу. Получается новое число
2 × 3 × 5 × 7 × 11 × … × P+ 1.
Согласно первоначальному предположению, это должно быть не простое, а составное число, поскольку оно, очевидно, больше Р, а мы решили, что Р – самое большое простое число. Следовательно, это число должно делиться по крайней мере на одно из существующих простых чисел. Однако из его конструкции следует, что если мы разделим его на любое простое число вплоть до (и включая) Р, получится остаток 1. А следовательно, если бы это число и в самом деле составное, оно должно делиться на какое-то простое число больше Р. Однако это предположение противоречит первоначальному утверждению, что Р – самое большое простое число, и мы, таким образом, доказали, что простых чисел бесконечно много.
Рекомендуемая литература
Только пустые, ограниченные люди не судят по внешности. Подлинная тайна жизни заключена в зримом, а не в сокровенном…
Большинство книг и статей из этого списка – популярные, а не специальные. Те немногие, которые можно отнести к специальной литературе, отобраны за какие-то особые качества. Кроме того, я отобрал несколько веб-сайтов, где можно найти интересный материал.
Ackermann, F. “The Golden Section”, Mathematical Monthly, 2 (1895): 260–264.
Dunlap, R. A. The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. Singapore: World Scientific, 1997.
Fowler, D. H. “A Generalization of the Golden Section”, Fibonacci Quarterly, 20 (1982): 146–158.
Gardner, M. The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions. Chicago: University of Chicago Press, 1987.
Ghyka, M. The Geometry of Art and Life. New York: Dover Publications, 1977.
Grattan-Guinness, I. The Norton History of the Mathematical Sciences. New York: W. W. Norton & Company, 1997.
Herz-Fischler, R. A Mathematical History of the Golden Number. Mineola, NY: Dover Publications, 1998.
Hoffer, W. “A Magic Ratio Occurs Throughout Art and Nature”, Smithsonian (December 1975): 110–120.
Hoggatt, V. E., Jr. “Number Theory: The Fibonacci Sequence”, in Yearbook of Science and the Future. Chicago: Encyclopaedia Britannica, 1977, 178–191.
Huntley, H. E. The Divine Proportion. New York: Dover Publications, 1970.
Knott, R. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/ R. Knott/Fibonacci/fib.html.
Knott, R. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/ R. Knott/Fibonacci/fibnet2.html.
Markowski, G. “Misconceptions about the Golden Ratio”, College Mathematics Journal, 23 (1992): 2–19.
Ohm, M. Die reine Elementar-Mathematik. Berlin: Jonas Veilags-Buchhandlung, 1835.
Runion, G. E. The Golden Section. Palo Alto: Dale Seymour Publications, 1990.
http://search.britannica.com/search?query=fibonacci.
Barrow, J. D. Pi in the Sky. Boston: Little, Brown and Company, 1992.
Beckmann, P. A History of π. Boulder, CO: Golem Press, 1977.
Boulger, W. “Pythagoras Meets Fibonacci”, Mathematics Teacher, 82 (1989): 277–282.
Boyer, C. B. A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, 1991.
Burkert, W. Lore and Science in Ancient Pythagoreanism. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1972.
Conway, J. H., and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Copernicus, 1996.
Dantzig, T. Number: The Language of Science. New York: The Free Press, 1954.
de la Füye, A. Le Pentagramme Pythagoricien, Sa Diffusion, Son Emploi dans le Syllaboire Cuneiform. Paris: Geuthner, 1934.
Guthrie, K. S. The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids, MI: Phanes Press, 1988.
lfrah, G. The Universal History of Numbers. New York: John Wiley & Sons, 2000.
Maor, E. e: The Story of a Number. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.
Paulos, J. A. Innumeracy. New York: Vintage Books, 1988.
Pickover, C. A. Wonders of Numbers. Oxford: Oxford University Press, 2001.
Schimmel, A. The Mystery of Numbers. Oxford: Oxford University Press, 1994.
Schmandt-Besserat, D. “The Earliest Precursor of Writing”, Scientific American (June 1978): 38–47.
Schmandt-Besserat, D. “Reckoning Before Writing”, Archaeology, 32–33 (1979): 22–31.
Singh, S. Fermat’s Enigma. New York: Anchor Books, 1997.
Stanley, T. Pythagoras. Los Angeles: The Philosophical Research Society, 1970.
Strohmeier, J., and Westbrook, P. Divine Harmony. Berkeley, CA: Berkeley Hills Books, 1999.
Turnbull, H. W. The Great Mathematicians. New York: Barnes & Noble, 1993.
von Fritz, K. “The Discovery of Incommensurability of Hipposus of Metapontum”.
Annals of Mathematics, 46 (1945): 242–264.
Wells, D. Curious and Interesting Numbers. London: Penguin Books, 1986.
Wells, D. Curious and Interesting Mathematics. London: Penguin Books, 1997.
Beard, R. S. “The Fibonacci Drawing Board Design of the Great Pyramid of Gizeh”, Fibonacci Quarterly, 6 (1968): 85–87.
Burton, D. M. The History of Mathematics: An Introduction. Boston: Allyn and Bacon, 1985.
Doczi, O. The Power of Limits. Boston: Shambhala, 1981.
Fischler, R. “Théories Mathématiques de la Grande Pyramide”, Crux Mathematicorum, 4 (1978): 122–129.
Fischler, R. “What Did Herodotus Really Say? or How to Build (a Theory of) the Great Pyramid”, Environment and Planning B, 6 (1979): 89–93.
Gardner, M. Fads and Fallacies in the Name of Science. New York: Dover Publications, 1957.
Gazalé, M. J. Gnomon. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1999.
Gillings, R. J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. New York: Dover Publications, 1972.
Goff, B. Symbols of Prehistoric Mesopotamia. New Haven, CT: Yale University Press, 1963.
Hedian, H. “The Golden Section and the Artist”,