100 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 = 100 × 1,17 = 100 × 1,9487171,
или, округляя, 195 флоринов.
Именно такой расчет лежал на столе молодого банковского служащего: он рассчитал величину 1,1, возведенную в четырнадцатую степень — 1,114, — и получил число, приблизительно равное 3,7975. Если умножить это число на сто флоринов, одолженных Симпличио у банка, то округленно мы и получим 380 флоринов, которые банковский служащий и потребовал у простодушного крестьянина.
Почему же служащий банка не растолковал Симпличио то, как он подсчитал сумму 380 флоринов? Это объясняется само собой: Симпличио — неграмотный крестьянин XV в. Он умел с грехом пополам складывать числа, но об умножении не имел ни малейшего понятия и именно поэтому попал в беду.
Важнейшие расчёты и большие деньги
Если число 1,17 = 1,9487171 щедро округлить, то мы получим число, почти равное 2. Это означает, что при процентной ставке 10 процентов за семь лет первоначальный долг почти удвоится. Но что будет при иной процентной ставке? Допустим, что некий банк дает деньги под два процента годовых. Для того чтобы подсчитать, за сколько лет первоначальный долг удвоится, нам понадобится лишь степенной ряд, начиная с числа 1 + 2 % = 1 + 2/100 = 1 + 0,02. Сначала величины членов ряда увеличиваются медленно: при округлении каждый раз до двух знаков после запятой
1,02² = 1,04, 1,02³ = 1,06, 1,024 = 1,08, 1,025 = 1,10.
Этот расчет показывает, что через пять лет при двух процентах годовых первоначальный долг увеличится на 10 процентов. То есть на столько, на сколько при десяти процентах годовых первоначальный долг увеличивается за один год. Поэтому при процентной ставке два процента до удвоения первоначального долга проходит в пять раз больше времени, чем до удвоения первоначального долга при годовой ставке в десять процентов. Другими словами, при ставке два процента долг удвоится через — семь на пять — тридцать пять лет. Возьмем карманный калькулятор, посчитаем точно и убедимся, что 1,0235 = 1,999889552…, то есть практически двум. То, что касается долгов, точно так же касается и капитала, который кладут на банковский счет под определенный процент.
Оба приведённых примера позволяют вывести эмпирическое правило, которое считается одним из важнейших правил, подаренных математикой человечеству: если положить в банк капитал под определённый процент, то, для того чтобы узнать, через сколько лет капитал удвоится, достаточно разделить число 70 на величину годовой процентной ставки. Сделав это, можно будет точно узнать, когда именно это произойдёт{9}.
Все дело в удвоении, ибо, как уже было сказано, вычисление процентов опирается на умножение.
Вот пример. Допустим, что святой Иосиф, муж Марии, по случаю рождения Христа кладет на счет маленького Иисуса в Вифлеемский банк 1 евро под 3,5 процента годовых. По прошествии 70: 3,5 = 20 лет вклад удвоился, и один евро превратился в два. Когда пройдет двести лет, вклад удвоится десять раз. Так как 210 = 1024, можно сказать, что вклад увеличился тысячекратно, то есть один евро практически превратился в тысячу. Таким образом, через 200 лет к одному евро стало можно приписать три нуля. Сегодня же, более чем 2000 лет спустя, к одному евро надо приписать десять раз по три нуля. Наследники Иисуса могли бы сегодня получить в Вифлеемском банке 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 евро, то есть один нониллион евро.
Эта нелегкая задачка благополучно разрешилась не только потому, что у Иисуса не было наследников.
Дело облегчается в еще большей степени, хотя не совсем, и тем, что Вифлеемский банк не продержался бы 2000 лет. Однако есть и примеры удивительного долголетия этих учреждений. Сиенский банк «Монте ди Пьета», о котором мы упомянули в нашей истории, существует по сей день. Этот банк был основан в 1492 г., а в 1624-м был переименован в «Монте деи паски ди Сиена». Это старейший из всех ныне существующих банков в мире.
В большей мере эта задачка разрешается благодаря тому, что в ту эпоху, во время рождения Христа, не было евро, а платежи осуществляли в сестерциях, то есть в валюте, которой сегодня не существует. Тех денег, которые сменяли сестерций на протяжении истории до наших дней, а именно талеров, флоринов, гульденов, сегодня тоже нет. Их уничтожили войны и кризисы, инфляции и денежные реформы.
Когда числа становятся невообразимыми, с ними перестает справляться даже экономика.
Числовой монстр Дональда Кнута
С изобретением степеней математика получила в свое распоряжение очень мощный инструмент обозначения чисел, которые немыслимо получать с помощью умножения, не говоря уже о сложении. Дело в том, что степень тоже можно возвести в степень, получив так называемую степенную башню, например
54³
Для начала надо заметить, что существует два способа прочтения этой степенной башни. При первом из них сначала возводят пять в четвертую степень и получают 625, а затем это число возводят в третью степень, то есть 625³ = 244 140 625. В этом случае результат представляют как
(54)³ = 625³ = 244 140 625.
Другой способ представления этого числа заключается в том, что сначала вычисляют выражение 4³, равное 64, а затем возводят в 64-ю степень число 5, то есть вычисляют величину степени 564. Это число, начинающееся с цифр 5421… и содержащее 45 разрядов. В этом случае со степенной башней поступают так:
5(4³) =
= 542 101 086 242 752 217 003 726 400 434 970 855 712 890 625.
Если степенную башню пишут без скобок, то имеют в виду второе из упомянутых выше прочтений. Другими словами, со степенями «работают» справа налево и сверху вниз. Так договорились делать не только потому, что такое прочтение при вычислении приводит к большему результату, а прежде всего потому, что первое прочтение, вообще говоря, не требует написания степеней в виде башни. В самом деле, например, выражение
(54)³ = 54 × 54 × 54 = 54 + 4 + 4 = 54 × 3
в точности соответствует старому школьному правилу: для того чтобы возвести в степень число, выраженное степенью, надо перемножить показатели степени.
Самое большое число, которое можно записать всего тремя цифрами, выглядит так:
Это степенная башня, состоящая из трех девяток. Это число начинается с 4281… и содержит 369 693 100 разрядов.
Профессор информатики Стэнфордского университета Дональд Кнут заменил придуманный Брадвардином способ записи степеней новой символикой, которая лучше подходит для программирования, выполняемого обычным текстом. Например, степень 3² Кнут предложил записывать так: 3↑2. Вертикальная стрелка словно заменяет команду считать следующее число показателем степени. Таким же способом, как открыл Кнут, можно сокращенно записывать и степенные башни. Например, символами 3↑↑2 записывают степенную башню, состоящую из двух чисел 3. Это означает 3↑↑2 = 3↑3 = 3³ = 27. Здесь пока не заметно ничего особенного, но хитрость таится в самой записи двух вертикальных стрелок! Ибо 3↑↑3 — это уже степенная башня, состоящая из трех троек, то есть
3↑↑3 = 3↑3↑3 = 33³ = 327 = 7 625 597 484 987,
а 3↑↑4 — это степенная башня, состоящая из четырех троек, то есть
Этот числовой великан начинается с 1258… и содержит 3 638 334 640 025 разрядов, то есть он больше числа, записанного в виде степенной башни из трех девяток, которая с помощью метода Кнута записывается так: 9↑↑3.
Мало того, Кнут расширил свое обозначение еще на один шаг. Если он помещал между двумя числами три вертикальные стрелки, то число, стоящее справа от тройной стрелки, говорило, сколько раз надо было записать число, стоящее слева, и поставить между ними двойные стрелки. В этом случае с записью Кнута работают, как со степенной башней — то есть справа налево. Например, запись 3↑↑↑2 есть сокращенная запись 3↑↑3. Это число мы с грехом пополам еще можем себе представить — 7 625 597 484 987. Но, например,
3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑7625597484987.
Здесь речь идет о степенной башне, в которой над основанием 3 надо написать косо друг над другом 7 625 597 484 986 троек. Работать с такой степенью надо начинать с ее верхнего шпиля.
Число 3↑↑↑3 так велико, что нет ни малейшего шанса даже приблизительно определить число его разрядов, и невозможно сказать, с каких цифр оно начинается{10}.
Таинственные числа
4 294 967 297
Число, вынесенное в подзаголовок, несколько больше четырех с четвертью миллиардов. Даже находясь под впечатлением числовых монстров Кнута, мы понимаем, что это довольно значительное число. Особенно сильно оно впечатляет, если представить его в виде денежных купюр. В мире не так уж много людей, чье личное состояние превосходит четыре миллиарда евро. Напротив, министры финансов ежедневно оперируют подобными суммами. При этом они чаще говорят о «приблизительно 4,3 миллиарда», щедро, с избытком, округляя эту величину на какие-то жалкие пять миллионов. Правда, чиновники Министерства финансов являются, не в пример своим начальникам, куда более педантичными. В 1920-х гг.
4,3 миллиарда марок, наоборот, считались смехотворно малой суммой. В ноябре 1923 г. в Германии на 10 миллиардов марок можно было купить разве что почтовую марку. Купюрами достоинством в миллионы марок в ту холодную осень буквально растапливали печки. 297 марок в конце приведенной выше суммы не ст