Но это лишь начало парадоксов «гостиницы Гильберта». Теперь представим себе, что номера заняты, а перед подъездом гостиницы остановился автобус с бесконечным множеством новых гостей. Вся эта бесчисленная толпа стоит у стойки гостиницы и с нетерпением ждет ключей от вожделенного номера. Но как быть, если все номера уже заняты? Администратор, однако, находит решение: каждый живущий в гостинице постоялец переезжает в комнату, номер которой в два раза больше номера комнаты, в которой он проживает. Таким образом, постоялец из первого номера переезжает во второй номер, постоялец из второго номера — в четвертый, из третьего номера — в шестой и так далее. Каждый постоялец легко находит новую комнату, потому что для того, чтобы ее найти, надо всего лишь умножить на два номер старой комнаты. Таким образом, все постояльцы, уже бывшие в гостинице, переселяются в четные номера, а новоприбывшие занимают бесчисленное множество нечетных номеров.
Но дальше дела идут еще чуднее. Теперь мы допустим, что к гостинице неожиданно подъезжает бесчисленное множество автобусов, останавливающихся на исполинской парковке. В каждом автобусе — ряд за рядом — сидят бесчисленные пассажиры. Всех этих людей, число которых — «бесконечность, помноженная на бесконечность», надо разместить в гостинице, каждого в отдельный номер. И это невзирая на то, что «гостиница Гильберта» забита до отказа. Однако администратор, несомненно, обладает недюжинным математическим талантом и находит удачное решение и в этот раз. Живущих в отеле гостей просят покинуть номера с вещами и собраться в гостиничном ресторане. Пассажиров первого автобуса администратор направляет в комнаты с номерами 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, то есть последовательность номеров представляет собой последовательность степеней числа 2. Пассажиров второго автобуса расселяют по комнатам с номерами 9, 27, 81, 243, …, то есть в комнаты, последовательность номеров которых является последовательностью степеней числа 3. Пассажиров третьего автобуса расселяют в комнаты, номера которых представляют собой последовательность степеней числа 5, то есть номера 5, 25, 125, 625, …. Теперь система становится понятной: пассажиров каждого следующего автобуса расселяют в номера, последовательность которых является последовательностью степеней каждого следующего простого числа. Так как последовательность простых чисел бесконечна, то администратор без проблем размещает в гостинице всех без исключения новоприбывших на бесконечном числе автобусов. При этом такое же бесчисленное множество комнат остается свободными, например комнаты с номерами 1, 6, 10, 12, 14, 15, ….
То есть свободными остались первый номер и все комнаты, номера которых делятся не только на какое-то единственное простое число. В эти свободные номера можно теперь переселить покинувших свои номера после прибытия новичков постояльцев, ожидающих в гостиничном ресторане.
Однако усложним картину и превратим «гостиницу Гильберта» в «отель Гильберта с почасовой оплатой». Представим себе, что ровно в полночь, то есть в ноль часов, к пустому отелю подъезжает автобус с бесчисленным количеством пассажиров. Первый из них входит в отель и получает комнату под номером 1, но ровно через один час он покидает комнату, выходит из отеля и возвращается в автобус. В этот момент, то есть через один час, в отель входят следующие два пассажира и, поскольку первый гость уже покинул отель, получают комнаты под номерами 1 и 2. Они, однако, остаются в отеле ровно полчаса, после чего возвращаются в автобус, а им на смену в отель входят четыре пассажира. Этих четверых селят в комнатах с номерами 1, 2, 3, 4, но в этих комнатах они задерживаются всего на четверть часа. Через один час сорок пять минут после прибытия автобуса эти постояльцы пулей вылетают из отеля, возвращаются в автобус, а им на смену уже бегут восемь следующих пассажиров. Как мы видим, эти непрерывные входы и выходы становятся каждый раз все более захватывающими: каждый временной интервал, в течение которого гости пребывают в номерах, становится вдвое короче временного интервала, в течение которого в номерах пребывала предыдущая «смена», причем навстречу каждой выходящей «смене» спешит другая, численность которой вдвое больше. Что, однако, произойдет ровно в два часа ночи, в тот момент времени, когда временные интервалы станут невероятно сжатыми? Будет ли к этому моменту отель заполнен до отказа, ибо в каждый данный момент в отель входят в два раза больше людей, чем выходят из него? Или, наоборот, отель в этот момент будет пуст, ибо все побывавшие в нем пассажиры автобуса уже покинули отель?
Или — здесь, возможно, и зарыта собака — эта ситуация становится настолько неправдоподобно гротескной, что такой вопрос просто лишается всякого смысла? Не взрывает ли этот пример все глубокомысленные разговоры о природе бесконечного?
Бесконечная игра в вопросы и ответы
Надо описать еще один парадокс. Для большей наглядности и облегчения понимания мы начнем с отнюдь не парадоксальной ситуации. Руководитель туристического бюро приходит к директору «отеля Гильберта» и извещает о том, что вечером к ее отелю подъедет автобус с тремя туристами, господами А, Б и В.
Каждый из них может решить остаться на ночлег в «отеле Гильберта», но может захотеть поехать в другое место. Директор оказалась весьма добросовестной дамой и пытается войти в положение каждого из своих гостей, а для этого она должна знать все возможные исходы решений потенциальных гостей. Во-первых, все туристы могут захотеть поехать в другое место, и тогда никто из них не останется ночевать в отеле. Во-вторых, есть и такая возможность: например, турист А решит остаться в отеле, а двое других изъявят желание ехать дальше. В-третьих и в-четвертых соответственно, либо турист Б, либо турист В захотят сойти и остаться в «отеле Гильберта», а два его спутника поедут дальше. В-пятых, в-шестых или в-седьмых соответственно, А решит ехать дальше, а Б и В захотят остаться, или Б захочет ехать дальше, а А и В решат остаться, или В захочет ехать дальше, а А и Б решат остаться. И наконец, есть и восьмой вариант, когда все три туриста решат остановиться в «отеле Гильберта». Добросовестная директор отеля аккуратно записывает все восемь возможностей в блокнот. Теперь она подготовилась к прибытию туристического автобуса, так как у нее есть план действий на любой из восьми возможных случаев.
Пока все просто и понятно. Представим себе, однако, что руководитель туристического бюро приезжает к директору «отеля Гильберта» и оповещает ее о скором прибытии автобуса с бесконечным множеством пассажиров. Каждый из них может изъявить желание остаться в отеле или, наоборот, решит, что поедет на том же автобусе искать ночлег в другом месте. Директор отеля — а мы помним, что она очень добросовестна, — уходит в свой кабинет, чтобы выписать все возможные варианты в свой блокнот с бесконечным множеством страниц. После долгого отсутствия она возвращается к руководителю туристического агентства и говорит ему, что эта задача ей не по силам, как будет она не по силам любому нормальному человеку. «В этом нет ничего трудного», — говорит директору руководитель агентства и берет у нее из рук блокнот с бесконечным числом страниц. Он старательно исписывает все страницы блокнота, поднимает голову и лучезарно улыбается директору: «Думаю, что мне удалось выписать все возможные комбинации остающихся и уезжающих туристов». — «Этого не может быть», — отвечает директор, решительно тряхнув головой. «Почему нет?» — спрашивает руководитель агентства, озадаченно вертя в руках бесконечное множество покрытых каракулями страниц.
Теперь уже директор берет со стола лист бумаги и спрашивает собеседника: «Что делает ваш первый турист на первой странице?»
«Он остается ночевать в отеле», — слышит она в ответ. Однако сама она пишет на первой странице, что первый турист изъявляет желание ехать в другой отель, и спрашивает: «Что делает второй турист со второй страницы?»
«Он едет дальше», — отвечает руководитель агентства. Тогда директор пишет на второй странице, что второй турист остается в ее отеле, и задает следующий вопрос: «Что делает ваш третий турист с третьей страницы?»
Эта игра в вопросы и ответы продолжается до бесконечности. Каждый раз она спрашивает, как ведет себя турист под номером х со страницы под номером х — причем х символизирует какое-то число из бесконечной последовательности 1, 2, 3, …, а затем записывает на своей странице, что данный турист поведет себя по-другому, то есть абсолютно противоположным образом, нежели соответствующий турист из списка руководителя агентства.
В конце концов директор говорит: «Листка, заполненного так, как у меня, в вашем блокноте определенно нет. Не совпадают наши записи на первой странице, потому что первый турист у меня ведет себя не так, как первый турист у вас. Не могут совпасть записи и на вторых страницах, потому что второй турист у меня ведет себя не так, как второй турист у вас. Какую бы страницу, под каким бы номером мы ни взяли, записи в них не совпадут, потому что на страницах моего блокнота туристы ведут себя не так, как туристы соответствующих страниц вашего блокнота».
Несколько минут она молча смотрит на собеседника. После короткого замешательства к руководителю агентства возвращается дар речи: «Ну хорошо, тогда я возьму ваши страницы и включу их в свой каталог, и тогда мы получим все возможные варианты».
«Вы что, не понимаете, что это абсолютно бессмысленно? — начиная выказывать легкое нетерпение, говорит директор отеля. — Если вы включите мои страницы в свой список и снова придете с ним ко мне, то я начну такую же игру в вопросы и ответы и смогу еще раз создать страницы, которых, со всей определенностью, нет в вашем списке. Не может существовать никакого списка всех мыслимых комбинаций отдельных решений каждого из бесконечного множества туристов».
Этот парадокс восходит к немецкому математику Георгу Кантору, открывшему его в 1873 г. В этом парадоксе он обнаружил поистине удивительное свойство бесконечного: иногда бесконечное множество может быть «счетным». Под этим термином имеют в виду, что такое множество можно упорядочить как последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, …. Например, это бесконечное множество комнат в отеле Гильберта, каждая из которых даже помечена соответствующим номером на двери. Или это бесконечное множество туристов в огромных автобусах. Или это бесконечное множество автобусов на исполинской парковке «отеля Гильберта». Каждый элемент бесконечного счетного множества будет когда-нибудь обязательно назван в процессе перечисления. Рассказанная выше история показывает, однако, что бесконечное множество может оказаться и «несчетным». То есть невозможно так упорядочить несчетное множество, чтобы каждый его элемент соответствовал бы какому-то натуральному числу и был бы когда-нибудь назван при перечислении. Выходящее за все мыслимые пределы число возможностей для бесконечного множества туристов в каждом отдельном случае решить, остаться ли в «отеле Гильберта» или проследовать дальше, как раз и представляет собой пример такого хаотичного, несчетного бесконечного множества.