Вильгельм Аккерман был одним из самых верных учеников Гильберта, которому, несмотря на все его усилия работать с программой своего учителя, путь в университет так и остался закрытым. Он выбрал для себя профессию преподавателя гимназии и почти до самой смерти безупречно исполнял эту обязанность. Ходили упорные слухи о том, что Гильберт не пустил Аккермана в университет из-за женитьбы. «О, это же просто великолепно! — будто бы воскликнул Гильберт{31}, когда узнал о свадьбе Аккермана. — Для меня это хорошая новость. Ибо если этот человек настолько безумен, что женился и даже завел ребенка, то теперь я свободен от всяких обязательств перед ним».
Жак Эрбран в 1925 г. блестяще окончил Высшую нормальную школу в Париже, а затем учился в Гёттингене у Джона фон Неймана и Эмми Нётер. Он был знаком с программой Гильберта, внес в ее разработку многообещающий вклад, но, к несчастью, погиб во время восхождения в Альпах в возрасте двадцати трех лет.
Джон фон Нейман появился на свет в 1903 г. в тогда еще императорско-королевском Будапеште. Звали его тогда Нейман Янош, и он был отпрыском преуспевающего банкирского семейства. С детства он поражал всех своими разносторонними дарованиями: говорил на дюжине языков, на некоторых из них быстрее носителей. В Будапеште и Цюрихе он проявил блестящие дарования в химии и математике; для квантовой физики он создал логически законченную систему аксиом, как в свое время Гильберт для геометрии; человечество обязано Джону фон Нейману изобретением «архитектуры», лежащей в основании вычислительной техники; совместно с Оскаром Моргенштерном разработал математическую теорию игр, а на склоне лет консультировал стратегов из внешнеполитического и военного ведомств Америки. С его пылким характером, невероятными познаниями, потрясающим мышлением и безусловной порядочностью, Джон фон Нейман считался и был на самом деле мастером на все руки в науке. Кому, как не ему, можно было доверить скорейшее воплощение в жизнь программы Гильберта.
Действительно, уже в первые годы выполнения программы Гильберта были получены обнадеживающие частные результаты. Казалось, Гильбертово воинство почти достигло его цели — опровергнуть «ignorabimus» Дюбуа-Реймона от математики.
Сам Гильберт, однако, уже не имел в виду изобретателя лозунга «ignorabimus», когда в 1925 г. провозглашал свою программу, ибо к тому времени Дюбуа-Реймона уже тридцать лет как не было в живых. К этому шагу Гильберта побудил вполне живой и очень активный противник: Герман Вейль, критик, поставивший под сомнение возможность вычислений с числами с бесконечным десятичным представлением, вычислений, возможность которых провозгласил Гильберт в своей программе. Было горько сознавать, что противником оказался лучший его ученик.
Всемогущество вместо всеведения
Математик от интуиции
Человеком, равным по гениальности Гильберту, но совершенно иным по сути, был великий французский математик начала ХХ в. Анри Пуанкаре, старший двоюродный брат будущего президента Франции Раймона Пуанкаре. В начале ХХ в. венгерский психолог Лайош Секели исследовал вопрос о том, как именно гении овладевают своими познаниями. Когда Секели спросил Пуанкаре, при каких обстоятельствах он сделал одно из своих величайших открытий, он получил поразительный ответ: «Когда входил в трамвай».
В другом месте Пуанкаре высказался более обстоятельно: «Пятнадцать дней я безуспешно бился в попытках доказать, что не могут существовать функции, которые я позднее назвал фуксовыми функциями. В ту пору я был очень невежественным; каждый день я садился за письменный стол и проводил за ним около двух часов, перебирая множество разнообразных комбинаций, но безрезультатно. Однажды вечером я вопреки обыкновению выпил чашку черного кофе, и очень долго не мог заснуть. Идеи начали роиться в моей голове и суматошно сталкивались друг с другом до тех пор, пока я не упорядочил их попарно, создав, так сказать, стабильные комбинации. К утру у меня в голове оформилась идея о существовании целого класса фуксовых функций, и мне оставалось лишь записать ее. На запись у меня ушло всего пара часов».
Это воспоминание чем-то сродни рассказу химика Августа Кекуле, который следующим образом описывает, как он во время поездки в омнибусе пришел к мысли о природе химических связей между атомами. «Я погрузился в грезы. Перед моим взором, словно бабочки, порхали атомы. Я всегда видел их как маленьких существ в непрестанном движении, но мне никогда не удавалось уловить узор их движения. В тот день мне, однако, удалось увидеть, как множество раз два мелких атома соединялись в парочки; как более крупные атомы охватывали эти мелкие двойки; еще более крупные ухватывали по три мелких атома, а самые крупные — по четыре, и как все это кружится в вибрирующем хороводе. Я видел, как крупные атомы соединяются в цепи, а мелкие лишь тянутся за ними, прицепившись к концам цепей… “Клэпхем-роуд!” — крикнул кондуктор, и я пробудился от своих грез».
В противоположность Гильберту Пуанкаре мало интересовался воспитанием как можно большего числа учеников, с которыми он мог бы делить свои прозрения. Пуанкаре вел куда более замкнутый образ жизни. В базе данных «Математическая генеалогия», в которой собраны сведения обо всех математиках, написавших докторские диссертации, мы читаем, что у Давида Гильберта было семьдесят пять диссертантов, а у Анри Пуанкаре — только пять.
Также, в противоположность Гильберту, Пуанкаре не был убежден в том, что математику следует понимать как формально-логическую игру с аксиомами. В математическом мышлении Пуанкаре отдавал преимущество не логике, а интуиции, прозрению, незамутненному взгляду в сущность проблем.
Самодостаточная непоколебимая достоверность, отражающая математическую суть вещей, была самым главным в глазах Пуанкаре. Логика служила лишь для того, чтобы доказать другим, что его озарение было верным и несомненным.
Мы хорошо знакомы с числами и счетом, производимым с их помощью. Для нас нет ничего более очевидного, чем тот факт, что шестью семь равно сорока двум. Мы также на сто процентов уверены в том, что существует бесконечное множество чисел 1, 2, 3, 4, 5,…. Во всяком случае, в том смысле, что в этом ряду не существует последнего числа. К каждому числу, сколь велико бы оно ни было, мы можем, по крайней мере мысленно, добавить еще единицу и получить число еще большее. Большего из бесконечного мы извлечь не можем — даже с помощью формально-логических аксиом.
Воспользуемся десятичным числом
π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 …
для того, чтобы показать разницу между понятиями Гильберта, с одной стороны, и понятиями Пуанкаре — с другой. Что означают три точки после невероятно длинной последовательности цифр? Ответ Гильберта был бы таким: «Это десятичное представление числа π. После целочисленной части 3 следует бесконечное множество десятичных разрядов. Я выписал первые тридцать пять цифр, а за ними следует бесконечная последовательность остальных цифр. Естественно, мне не удастся их записать. Но мои аксиомы позволяют мне помыслить, что они даны и существуют. Я мыслю это следующим образом: с помощью моих аксиом можно принципиально решить о каждом утверждении относительно десятичных разрядов числа π, является оно верным или нет».
Пуанкаре был бы куда более осторожным:
«Это десятичное представление числа π. За целочисленной частью 3 следуют 35 десятичных разрядов. Но ими десятичная запись этого числа не исчерпывается. Существуют способы вычисления 350, 3500 и вообще сколь угодно большого числа знаков числа π после запятой. Сколь угодно большое, но всегда конечное! Представление о том, что якобы существуют аксиомы, с помощью которых можно было бы разделить все утверждения относительно десятичных разрядов числа π на истинные и ложные, диаметрально противоречит самой сущности бесконечного».
Гильберт умер в 1943 г., а Пуанкаре скончался в возрасте 58 лет незадолго до начала Первой мировой войны. Это в значительной мере привело к тому, что в Париже в 1920-х гг. математика не пережила того расцвета, какой она пережила в Гёттингене. Кроме того, война скосила множество молодых математических талантов, а немногие молодые французские интеллектуалы, решившие посвятить себя математике, чувствовали себя брошенными на произвол судьбы. Старые университетские профессора были лишены порыва и страсти Пуанкаре; они преподавали математику по солидным, но давно устаревшим учебникам середины XIX в.{32}
Наука, построенная на песке
Итак, именно поэтому не в Париже, а в Цюрихе и Амстердаме нашлись два математика мирового уровня, которые развили наследие Анри Пуанкаре. В Амстердаме это был Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр, который уже в написанной в 1907 г. докторской диссертации «Об основах математики»(16) и в вышедшей в следующем году работе «Ненадежность логических принципов»(17) в весьма самоуверенном тоне подверг сомнению пользу математики, опирающейся исключительно на формальные аксиомы. В Цюрихе это был Герман Вейль, опубликовавший в 1908 г. книгу, где уже в предисловии можно было прочесть следующее: «В этой работе речь идет не о “непоколебимой скале”, на которой зиждется здание математического анализа, не о формализме, обставленном деревянными бутафорскими декорациями и призванном убедить читателей, а прежде всего самих себя в том, что это и есть фундамент. В этой работе я отстаиваю скорее мнение о том, что это здание, в существенной своей части, построено на песке».
«Анализ», исчисление чисел с бесконечным десятичным представлением, которому слепо доверяли Ньютон, Лейбниц и бесчисленное воинство математиков, естествоиспытателей и инженеров, выглядит, считал Вейль, как носящийся по морю без руля и ветрил корабль, который, как следует опасаться, может в любую минуту дать течь. Однако тринадцать лет спустя все стало еще серьезнее.