– Что я не могу тебе сказать, пока ты не поговоришь снова с Мариусом и не проверишь, что все в порядке? То, что наш оборот составляет 70 миллионов фунтов. За последний месяц мы сделали 50 000 ставок со средним преимуществом 1,5–2 %.
По сравнению с этим те 50 фунтов, которые мы ставили на чемпионате мира, были мелочью. Когда я сказал Яну, что сейчас пишу про доверительные интервалы, он вспомнил ту игровую модель, что мы построили вместе.
– Да, мы на этом заработали, – сказал он. – Однако, если честно, это не то, что мы станем использовать в будущем.
Он оказался прав: наша модель для чемпионата мира была построена на 283 наблюдениях от предыдущих турниров. Теперь же Ян создал базу данных по 15 миллиардам позиций для ставок, охватывавших многие виды спорта за последние девять лет.
– Мы сосредоточиваемся на стратегиях, где у нас есть больше 10 тысяч подтверждающих наблюдений, – сказал он.
Это давало им уверенность, что их стратегия действительно обладает долгосрочным преимуществом.
Главное преимущество Яна и Мариуса основывалось на национальных различиях. Бразильцы ожидают больше голов в своих матчах, чем забивают на самом деле. Немцы – пессимисты и предпочитают ставить на скучные 0:0.
– Норвежцы отличаются точностью, – смеется Ян. – Идеально рациональные скандинавы.
Я вспомнил свой разговор с Мариусом – как раз рациональным норвежцем – во время чемпионата мира, когда мы обсуждали, как забраться в голову игрока. Он всегда считал, что важно иметь базовое объяснение для любой стратегии ставок. Теперь у него есть одно такое объяснение: применение национальных стереотипов.
Вы ищете гостиницу на сайте TripAdvisor. Вы желаете остановиться в месте, которое получило оценки в 4 звезды или больше, и скептически относитесь ко всему, что оценено в 3,5 звезды и ниже. Сигнал, который вы здесь ищете, – разница в ползвезды. Принципы присвоения звезд на сайте TripAdvisor различны: одни с энтузиазмом раздают пятерки, а несколько недовольных вечно ставят единицы. Однако в целом шум при оценке составляет около одной звезды: большинство людей ставят 3, 4 или 5 звездочек при среднем значении, слегка превышающем 4[54].
Мы можем ответить на вопрос, сколько обзоров нам нужно прочитать, чтобы надежно выявить отношение сигнала к шуму, равное 1/2: либо используя табличку выше, либо решив уравнение где 1/2 – отношение сигнала к шуму. Это дает нам √n = 4, что эквивалентно n = 16 оценкам на сайте. Вместо того чтобы искать среднее значение по всем сотням оценок для данной гостиницы, возьмите последние 16 и посчитайте среднее. Это даст вам одновременно и свежую, и надежную информацию.
Звездами можно оценивать не только гостиницы. Джесс не уверена в том, что правильно выбрала работу для карьеры. Она трудится в организации, занимающейся защитой прав человека. Это однозначно хорошее дело, однако руководительница просто несносна. Она целый день названивает Джесс и предъявляет непомерные требования. Ее знакомый Стив шесть месяцев встречается с Анной. Их отношения непостоянны: сейчас горячие, а в следующую минуту уже холодные. Они ужасно ссорятся, но когда разборок нет, то все замечательно.
Уравнение уверенности дает определенные указания и для Джесс – сколько ей оставаться на работе, и для Стива – сколько ему продолжать отношения с Анной, прежде чем расстаться. Сначала им нужно установить подходящие интервалы времени. Стив и Джесс решают оценивать каждый день по шкале от 0 до 5 звезд. Затем они планируют регулярно встречаться и оценивать складывающиеся ситуации.
Вечером в пятницу первой недели у Стива происходит страшная ссора с Анной, потому что она отказывается пойти с ним в компанию друзей. Стив звонит Джесс и жалуется: в результате три дня в его неделе получают по 1 звезде. Джесс напоминает ему, что не надо делать выводы слишком быстро. В конце концов, n = 7, и сигнала в шуме пока не найти. У Джесс на работе все хорошо – в основном потому, что ее проблемная начальница была в командировке, так что все дни получили по 3 и 4 звезды.
Через месяц (n = 30) они встречаются за обедом и начинают лучше понимать, как идут дела. Стив провел с Анной несколько хороших недель. В прошлый уик-энд они ездили в Брайтон, плюс к этому было несколько приятных обедов, где они отлично провели время. У Стива были целые полосы 5-звездочных дней. У Джесс все наоборот: когда ее начальница вернулась, то постоянно сердилась, кричала и теряла терпение по малейшему поводу. Дни у Джесс – это 1–2 звезды и даже найдется несколько 0-звездочных.
Прошло немногим более двух месяцев: n = 64, а 2/√n = 1/4. Теперь степень уверенности втрое выше, чем после первой недели. У Стива хорошие дни перевешивают плохие, но всё равно идут постоянные ссоры: оценки – по 3 и 4 звезды. Босс Джесс – реальная проблема, зато она работает над ценным проектом, на котором всегда хотела сосредоточиться. В лучшем случае она ставит 3 и 4 звезды, но в основном оценки – 1 и 2.
Хотя каждая неделя дает новые наблюдения, правило извлечения квадратного корня означает, что скорость получения Стивом и Джесс новой информации не пропорциональна времени, а ниже. Польза от новых наблюдений уменьшается, поэтому они решают ограничить свои обсуждения и установить срок в 100 дней (три месяца с небольшим), после чего с достаточной уверенностью окончательно решить вопрос о своем будущем.
Итак, этот день настал: n = 100, а 2/√n = 1/5. Они оглядываются не только на последние несколько недель, но и на всё, что происходило за это время. У Стива с Анной ссоры происходят реже. Они вместе стали ходить на уроки кулинарии, по вечерам с радостью готовят и приглашают к себе друзей. Жизнь хороша. Стив определяет доверительный интервал. У него получается средняя оценка h = 4,3 звезды, а стандартное отклонение σ = 1,0. Доверительный интервал для его отношений с Анной: 4,3 ± 0,2. Солидное среднее, уверенно выше четырех звезд. Стив решает прекратить жаловаться на Анну; он убежден, что нашел партнера на всю жизнь.
У Джесс ситуация не так благоприятна. Ее среднее h = 2,1 звезды. По-настоящему хороших дней было очень мало, поэтому стандартное отклонение меньше, чем у Стива: σ = 0,5. Ее доверительный интервал: 2,1 ± 0,1. По сути, у Джесс работа на две звезды. Она уже начала искать новую должность и в понедельник собирается подать заявление об уходе.
В 1964 году Малькольм Икс сказал: «Неважно, насколько сильно белые уважают и признают меня; пока такое же уважение и признание не проявляется ко всему нашему народу, его для меня не существует».
Идея, выраженная в этих словах, рождается из математики. Опыт одного человека – будь то Малькольм Икс или кто-то еще – дает нам очень мало информации. Это все равно что один раз дернуть ручку игрового автомата. Тот факт, что у Джесс был один хороший день на работе, ничего не говорит о ее карьере за долгий промежуток времени. Когда люди стали прислушиваться к Малькольму Иксу, это не значило ничего, пока они не прислушались к афроамериканцам в целом. Борьба цветных в США против дискриминации во всех формах, рассказанная через истории Малькольма Икса, Мартина Лютера Кинга и других, была и остается борьбой десятков миллионов людей.
Джоанна слышит о вакансии на своей работе. Вечером она встречает на вечеринке Джеймса и рассказывает ему об этом. Тот воодушевляется, говорит, что мечтал о такой работе, и в понедельник подает заявление о приеме. Через несколько дней Джеймс уже приступил к новой работе, а Джоанна вдруг у магазинчика с выпечкой сталкивается с Джамалом. Он спрашивает, как у нее дела, и Джоанна рассказывает, что у них только что начал работать Джеймс. Джамал воодушевляется, говорит, что мечтал о такой работе, и спрашивает Джоанну, нет ли других вакансий…
Джоанна белая. Джеймс тоже. Джамал – нет. Джоанна расистка? Нет. Она действовала бы точно так же, если бы первым встретила Джамала. Просто так случилось, что с Джеймсом она столкнулась раньше.
Однако можно еще поразмышлять о том, почему так вышло. Поскольку Джоанна и Джеймс принадлежат к одной социальной группе, они чаще встречаются и делятся информацией о возможностях. Их взаимная помощь может косвенно дискриминировать Джамала. Он не имеет доступа к тем же социальным возможностям, что Джеймс и Джоанна.
Здесь нужно быть осторожными. Мы не можем делать какие-либо выводы из истории Джоанны. У нас всего одно наблюдение, один случай ее взаимодействия с Джеймсом и Джамалом. По одному событию доверительный интервал не построить. Именно поэтому порой трудно обнаружить расовую дискриминацию. Каждый отдельный случай – всего одно наблюдение, из которого мы узнаем очень мало. Единственный способ понять роль расы в обществе – изучить множество наблюдений и построить доверительный интервал.
Моа Бёрселл, исследователь и преподаватель кафедры социологии в Стокгольмском университете, два года писала резюме и отправляла заявки на работу в Швеции. Всего она подала заявления больше чем на две тысячи разных должностей в сферах информатики, бухгалтерии, преподавания, в качестве водителя и медсестры. Однако Моа вовсе не искала работу. Она проверяла предвзятость работодателей, которым писала.
Для каждого заявления Моа создавала два отдельных резюме и сопроводительных письма, в которых описывала близкую квалификацию и опыт работы. Затем случайным образом придумывала имена для каждой пары. Одно имя звучало по-шведски, например Йонас Сёдерстрём или Сара Андерссон; второе было не шведским – скажем, Камаль Ахмади или Фатима Ахмед, указывавшие на арабское мусульманское происхождение, или Мтупу Хандуле либо Уасила Балагве, говорившие об африканском не мусульманском происхождении. Схема эксперимента Моа была эквивалентна подбрасыванию монеты. Если работодатели будут беспристрастными, они с равной вероятностью позвонят человеку со шведским и иностранным именем.