A и ее стационарное распределение p∞.
За последние два десятилетия это привело к неожиданному результату. Система, которая первоначально создавалась для измерения влияния, превратилась в его создателя. Алгоритмы на базе уравнения влияния определяют, какие публикации должны занимать видное место в социальных сетях. Идея в том, что если некто популярен, то этого человека желают выслушать больше людей. Результатом становится цикл обратной связи: чем влиятельнее человек, тем большую заметность дает ему алгоритм, а от этого его влияние еще больше растет.
Один бывший сотрудник Instagram рассказал мне, что изначально основатели компании очень неохотно применяли в бизнесе алгоритмы и математику. «Они видели в Instagram нечто очень нишевое, артистичное и считали алгоритмы негодными», – говорил он. Эта платформа предназначалась для обмена фотографиями между близкими друзьями. Все изменилось после успеха Facebook. «За последние пару лет платформа стала совершенно иной. Один процент ее пользователей имеет более 90 % подписчиков», – заметил мой собеседник.
Вместо того чтобы побуждать пользователей подписываться только на друзей, компания применила к своей сети уравнение влияния. Оно еще сильнее раскручивало самые популярные аккаунты. Возникала обратная связь, и аккаунты знаменитостей росли всё сильнее. Едва Instagram стал использовать уравнение влияния, как и все платформы социальных сетей до него, его популярность резко возросла – в нем более миллиарда пользователей.
Математические методы, используемые при конструировании соцсетей, появились задолго до возможности создания таких приложений. Вовсе не Google изобрела уравнение влияния: его происхождение восходит к Маркову, который предложил свойство, получившее его имя, для рассмотрения цепей состояний, где каждое новое состояние зависит только от предыдущего. Именно это и происходит при моем случайном путешествии по Instagram.
Решая уравнение 5 для моего мира из пяти человек, я слегка поленился. Я нашел ответ – вероятность, с которой буду тем или иным человеком в отдаленном будущем, – многократно перемножая матрицу A и вектор pt, пока тот не перестал меняться. Сделав это, я нашел p∞.
Такой метод в итоге приводит к правильному ответу, но он не особо изящен. И Google им не пользуется. Свыше ста лет назад математики Оскар Перрон и Георг Фробениус показали, что для любой цепи Маркова с матрицей A существует единственное стационарное распределение p∞. Итак, независимо от структуры социальной группы мы всегда можем вычислить, сколько времени будем проводить тем или иным человеком, если станем случайным образом перемещаться между людьми. Это стационарное распределение можно найти с помощью метода Гаусса, который, как и нормальная функция, связан с именем Карла Фридриха Гаусса, однако восходит к более древним временам: китайские математики решали системы линейных уравнений с помощью этого метода больше двух тысяч лет назад. К матрице A применяются так называемые элементарные преобразования, чтобы привести ее к более удобному виду и найти в итоге p∞. Это дает возможность быстро и эффективно находить влиятельных людей даже для сетей с миллионами участников.
На протяжении XX века «Десятка» изучала свойства сетей; соответствующая область математики называется теорией графов. Еще в 1922 году Джордж Удни Юл описал математику, стоящую за ростом популярности в Instagram, в терминах процесса, который позже был назван «предпочтительным присоединением»: чем больше у человека подписчиков, тем больше он привлекает к себе внимания, и его известность растет. Затем, в начале XXI века, всего за несколько лет до появления Facebook, эта область исследований расширилась и стала именоваться наукой о сетях: сейчас она описывает распространение мемов и фейковых новостей, изучает, как соцсети создают маленький мир, в котором все соединены через шесть рукопожатий, и потенциальную возможность поляризации[108].
«Десятка» была готова. Ее участники оказались среди основателей и первых работников будущих гигантских соцсетей. В основе их бизнеса лежит уравнение влияния. Зарплата, предложенная людям с нужными умениями, была достаточно соблазнительной даже для самых идеалистичных участников общества. И что еще важнее, эта работа давала им свободу для творческого мышления, создания новых моделей и их практического применения.
Вскоре перед участниками «Десятки» поставили задачу установить, как мы реагируем на соцсети. Они управляли лентой новостей Facebook, чтобы посмотреть, как пользователи реагируют, получая только негативные новости; они создавали кампании в сетях, чтобы побудить людей голосовать на выборах; конструировали фильтры, чтобы пользователи читали больше тех новостей, которые им интересны. Они контролировали то, что мы видели, определяя, видим ли мы публикации друзей, новости (фейковые и реальные), знаменитостей или рекламу. Именно участники «Десятки» стали влиятельными – не из-за сказанного ими, а благодаря их решениям о том, как нам связываться друг с другом. Они знали о нас даже то, чего мы не знали сами…
Вероятно, ваши друзья намного популярнее вас. Я ничего не хочу сказать о вас как о человеке, не желаю быть к вам несправедливым, но могу утверждать это с определенной уверенностью.
Математическая теорема, известная как парадокс дружбы, утверждает, что большинство людей в любой социальной сети, включая Facebook, Twitter и Instagram, менее популярны, чем их друзья[109]. Начнем с примера. Представьте, что мы убрали Дуэйна Джонсона из той социальной сети, которую описывали ранее. Теперь нас четверо – я, Селена Гомес, Ван Фан и Ли Вэй, и они имеют, соответственно, 0, 3, 2 и 2 подписчика. Вероятно, китайская пара чувствует себя довольно популярной за счет компании Гомес, но у меня есть для нее сюрприз. Я прошу каждого участника сети посчитать среднее число подписчиков у их друзей. Я подписан только на Селену Гомес, у нее три подписчика, поэтому среднее число подписчиков у моих друзей равно 3. Гомес подписана на двух людей, у каждого по 2 подписчика, так что среднее число подписчиков у ее друзей равно 2. Ван Фан и Ли Вэй подписаны друг на друга и на Гомес, поэтому их друзья в среднем имеют 2,5 подписчика. Таким образом, среднее число подписчиков у друзей в этой сети равно (3 + 2 + 2,5 + 2,5) / 4 = 2,5. Только Селена Гомес имеет больше друзей, чем ее подписчики. У Ван Фан, Ли Вэя и у меня число подписчиков ниже среднего.
Причина парадокса дружбы заключается в разнице между случайным выбором человека и случайным выбором отношения дружбы (см. рис. 5). Для начала выберем наугад одного человека. Ожидаемое (среднее) количество подписчиков у него – сумма числа подписчиков у всех пользователей, поделенная на общее число пользователей платформы. Для Facebook это число составляет около 200. Для нашей сети из четырех человек это (0 + 3 + 2 + 2) / 4 = 1,75. В теории графов это называется средним числом ребер, входящих в узел[110]. Выше мы показали, что среднее число подписчиков у друзей в этой сети равно 2,5, что больше, чем 1,75 – среднее число подписчиков.
Рис. 5. Парадокс дружбы для четырех участников
То же произойдет, если мы снова вернем в нашу сеть Дуэйна Джонсона. Результат сохранится, даже если Селена Гомес подпишется на меня. Парадокс дружбы можно доказать для любой соцсети, в которой каждый подписан на одно и то же количество людей. Доказательство таково. Сначала выберите наугад одного человека во всей сети; затем – кого-нибудь, на кого этот человек подписан. Если представить ситуацию иначе, то мы, выбрав двух связанных людей, взяли какую-то случайную связь среди всех изображающих отношения «подписанности» людей в соцсетях. В теории графов такие связи называются ребрами графа. Теперь, поскольку популярные люди имеют (по определению) больше входящих ребер, на конце любого данного ребра мы с большей вероятностью найдем популярного человека, чем если бы выбирали человека наугад. Таким образом, случайно выбранный друг случайно выбранного человека (человек на конце ребра), вероятно, имеет больше друзей, чем случайно выбранный человек. Это и показывает, что парадокс дружбы справедлив[111].
Такова математическая теория. Как все это работает на практике? Кристина Лерман, исследователь из Университета Южной Калифорнии, решила выяснить это. Она и ее коллеги взяли социальную сеть пользователей Twitter в 2009 году (на такой ранней стадии развития соцсети в ней было всего 5,8 миллиона пользователей) и рассмотрели отношения «подписанности»[112]. Ученые обнаружили, что люди, на которых был подписан типичный пользователь Twitter, имели примерно вдесятеро больше подписчиков, чем он. Только 2 % пользователей были популярнее своих подписчиков.
Лерман и ее коллеги пришли еще к одному выводу, который полностью противоречит интуиции. Оказалось, что подписчики случайно выбранного пользователя Twitter были в среднем в двадцать раз лучше связаны! Хотя кажется разумным, что люди, на которых мы подписаны, популярны (в конце концов, многие из них – знаменитости), гораздо труднее понять, почему люди, подписанные на нас, оказываются намного популярнее нас. Если они подписаны на вас, как они могут быть популярнее? Это не выглядит справедливо.
Ответ – в нашей склонности создавать взаимные отношения. Когда кто-то подписывается на вас, появляется определенное социальное давление, заставляющее сделать то же в ответ. Отказ выглядит грубостью. В среднем люди, подписанные на вас в Instagram или отправившие вам запрос в друзья в Facebook, также с большой вероятностью отправят аналогичные запросы другим людям. В результате они составят б