Аналогичные истории я слышал и от Джеймса, знакомого из индустрии азартных игр. Там в ходу варианты уравнения ставок, но при таком количестве денег на кону приходится принимать быстрые решения о том, годится ли их модель для предстоящих футбольных матчей. Что делать, если за час до игры стартовый состав команды меняется и предположения, лежащие в основе модели, становятся недействительными?
– Именно в такие моменты вы узнаете, кто действительно хороший специалист, – говорил Джеймс. – Он не реагирует резко. При одном изменении в стартовом составе ставка не меняется; при двух – четырех специалист оценивает разные возможности; при пяти или больше все ставки снимаются.
Чтобы научиться думать как эти аналитики, вам нужно ставить себя в эмоционально напряженную ситуацию. К примеру, на земле большинство из нас понимают, что полеты не опасны: вероятность попасть в авиакатастрофу со смертельным исходом не превосходит 1 на 10 миллионов. Но в воздухе все ощущается иначе.
Представьте, что вы опытный путешественник, уже летавший сотню раз. Однако этот рейс иной. При снижении самолет начинает грохотать и трястись – такой болтанки вы еще не ощущали. Женщина рядом хватает воздух ртом; мужчина, сидящий через проход, стискивает колени. Все вокруг явно напуганы. Что это? Может ли разворачиваться наихудший сценарий?
В подобных ситуациях математик глубоко вдохнет и соберет всю доступную информацию. Назовем катастрофой худший сценарий – крушение со смертельным (для вас) исходом. Обозначим его вероятность как P{катастрофа}. По статистике, P{катастрофа} = 1/10 000 000, или 1 на 10 миллионов[23].
Чтобы понять, как события зависят друг от друга, обозначим P{тряска|катастрофа} – вероятность, что самолет трясется, при условии, что произойдет катастрофа: «тряска» означает «самолет трясется», а вертикальная линия – «при условии». Сделаем разумное предположение, что P{тряска|катастрофа} = 1, то есть перед любой катастрофой самолет трясет.
Нам также необходимо знать P{тряска|не катастрофа} – вероятность болтанки при безопасном приземлении. Здесь вам придется опираться на свои ощущения. Раз это самый страшный рейс из сотни ваших полетов, то лучшей оценкой будет P{тряска|не катастрофа} = 1/100.
Эти вероятности полезны, но вы желаете знать не их. Вам нужна величина P{катастрофа|тряска}, или вероятность того, что произойдет крушение, при условии, что самолет так трясется. Эту величину можно найти с помощью теоремы Байеса.
Символ ∙ означает умножение. Вскоре я объясню, откуда появляется это уравнение, а пока просто примем его. Оно было рассмотрено преподобным Томасом Байесом в середине XVIII века и с тех пор используется математиками[24]. Подставив все нужные числа в наше уравнение, мы получаем:
Даже если это самая сильная болтанка, которую вы когда-либо испытывали, шансы погибнуть составляют 0,00001. Вы благополучно приземлитесь с вероятностью 99,99999 %.
То же рассуждение применимо к целому ряду различных, казалось бы, опасных ситуаций. Даже если во время купания на австралийском побережье вам кажется, что вы видите в воде нечто пугающее, вероятность того, что это акула, крохотная. Вы можете волноваться, когда ваши близкие возвращаются поздно домой, а вам не удается с ними связаться, но вероятнее всего, что они просто забыли зарядить телефон. Многое из того, что мы считаем новой информацией – тряска самолета, неясные фигуры в воде или отсутствие звонков, – не так уж страшно, если подходить к проблеме правильно.
Теорема Байеса позволяет вам верно оценивать важность информации и сохранять спокойствие, когда все вокруг паникуют.
Я смотрю на мир способом, который именую кинематографическим: часто (и один, и даже в компании) прокручиваю в голове фильмы о своем будущем. Это не один фильм или одно будущее; это много фильмов с разными поворотами сюжета и концовками. Объясню на примере самолета.
Когда я взлетаю и приземляюсь на самолете, то вижу катастрофу, которую описал выше. Если лечу с семьей, то представляю, как держу руки детей, говорю, что люблю их, чтобы они не беспокоились. Я воображаю, как мы держимся вместе, когда падаем навстречу смерти. Когда я лечу один, а вокруг только незнакомцы, то смотрю другой фильм: наблюдаю целые годы, которые моя семья проведет без меня. Похороны проходят быстро, и я вижу, как моя жена в одиночку справляется с детьми и рассказывает им истории о нашей совместной жизни. Этот фильм неописуемо печален.
Подобные картины крутятся непрерывно и параллельно в какой-то области мозга выше левого глаза. По крайней мере, я так ощущаю. Большинство фильмов не настолько драматичны. У меня встреча с редактором книги, и в голове проигрывается дискуссия: я обдумываю, что ей скажу. Провожу какой-нибудь семинар и вижу, как излагаю материал, представляя сложные вопросы. Многие такие фильмы абстрактны: я прохожусь по научной статье, которую пишу; смотрю на структуру диссертации одного из моих аспирантов; работаю над какой-то математической задачей. Кинокартины такого рода не будут смотреться на большом экране. Они набиты цифрами, техническими терминами и научными ссылками. Мне они нравятся, но я очень специфическая аудитория.
Хочу убедиться, что у вас не сложилось впечатления, будто я воображаю себя всевидящим оракулом. Вовсе нет. Фильмы, которые я создаю, фрагментированы. Нет деталей, нет наполненности реальностью. И, что крайне важно, почти все они не соответствуют действительности. Редактор книги ведет дискуссию в другом направлении, и я забываю все свои вопросы. В цепочке рассуждений в научной статье возникает дыра, и я не могу ее исправить. В первой строке моих математических выкладок обнаруживается ошибка в вычислениях, и результаты оказываются неверными.
Психологи изучали методы, с помощью которых люди смотрят на мир и конструируют повествования о будущем, однако научное описание процесса здесь не главное. Важно ваше представление о том, как вы видите будущее. В форме текстов, фильмов или компьютерных игр? Фотографий, звуков или запахов? Это абстрактное ощущение или вы визуализируете реальные события? Постарайтесь определить метод своих размышлений о вещах. Ваш взгляд на мир должен оставаться вашим личным – я не хочу его менять. Я бы не вынес, если бы кто-нибудь предложил мне отключить мои фильмы. Мой «кинематограф» – часть меня.
Математика участвует в моем мышлении, помогая мне организовать мою коллекцию фильмов. Авиакатастрофа – хороший пример. Когда прокручиваю фильм с катастрофой, я также оцениваю вероятность того, что такое событие произойдет, и считаю ее обнадеживающе низкой. Это не останавливает прокрутку фильма. Я по-прежнему боюсь летать или плавать в океане, но это помогает мне сосредоточиться. Вместо того чтобы бояться, думаю о том, как много значит для меня семья и почему мне нужно меньше путешествовать, а больше плавать в океане.
Научный термин для фильмов, которые я проигрываю в голове, – «модель». Крушение самолета – модель, нападение акулы – модель и план исследовательской работы – тоже. Модели могут быть чем угодно – от смутных мыслей до более формально определенных уравнений, подобных тому, что я создал для ставок на чемпионате мира. Первый шаг к математическому подходу к миру – понять, как мы используем модели.
У Эми начался новый курс в колледже, и она задается вопросом, с кем стоит дружить, а от кого держаться подальше. Она доверчивый человек, и ее «фильм» в голове – о людях, которые рады ей и ведут себя мило. Но Эми не совсем наивна. Она уже знает, что не все люди приятны, и «стервозный» фильм в ее голове тоже есть. Не судите Эми за термины – в конце концов, она держит мысли при себе. Именно поэтому, когда Эми знакомится с Рэйчел – девушкой, сидящей рядом, – она полагает, будто шансы на то, что Рэйчел окажется стервой, довольно малы: скажем, примерно 1 из 20.
Я не думаю, что Эми при встрече с другими определяет вероятность «стервозности». Я определяю это число, чтобы вы лучше понимали ситуацию. Можете на секунду задуматься и решить, какая доля окружающих стервозна. Надеюсь, она меньше 1/20, но вы можете выбрать свои числа.
В первое утро Рэйчел и Эми вместе разбирают лекцию. Эми плохо разбирается в деталях, потому что в ее школе не давали знаний, необходимых для понимания концепций, о которых говорит преподаватель. Рэйчел выглядит терпеливой, но Эми осознаёт, что та несколько раздосадована. Почему Эми не может учиться быстрее? Затем, после обеда, происходит ужасное. Эми сидит в одной из кабинок в туалете, рыщет по интернету с помощью смартфона и думает о своих делах. Она слышит, как входят Рэйчел и еще одна девушка.
– Эта новая девица тупа, – говорит Рэйчел. – Я пыталась ей объяснить «культурную апроприацию», а она ничего об этом не знала. Она думала, что это когда белые люди учатся играть на бонго![25]
Эми сидит неподвижно, не издает ни звука и ждет, пока девушки уйдут. Что она должна думать?
Большинство из нас на месте Эми огорчились бы, разозлились, а может, и то и другое. Но стоит ли? Да, Рэйчел явно поступила неправильно. У Эми первый день учебы, и лить грязь на человека нехорошо. Но вопрос в другом: должна ли Эми, несмотря на этот проступок Рэйчел, простить ее и дать ей еще один шанс?
Да. Да. Да. Должна! Обязана! Мы должны прощать такое. И не раз, а много. Нужно прощать людей за глупые комментарии, за то, что они обзываются за нашей спиной и не замечают нашего присутствия.
Но почему? Потому что мы хорошие? Потому что всегда позволяем наступать на себя? Потому что слабы и не можем за себя постоять?
Нет. Нет. Нет. Вовсе не поэтому. Нам нужно прощать их, потому что мы рациональны и верим в логику и разум. Мы хотим быть справедливыми. Мы знаем теорему преподобного Байеса. А второе уравнение говорит нам, что это –