■ Дельта – это чувствительность цены дериватива к движению базового актива. Ее выражают либо в процентах, либо в абсолютных числах. Дельта величиной 50 % означает, что дериватив в два раза менее чувствителен к цене базового актива и что для воспроизведения поведения базового актива стоимостью $1 необходим дериватив номинальной стоимостью $2[138].
Дельта выражается как первая математическая производная цены дериватива по отношению к цене базового актива. Она является коэффициентом хеджирования актива для бесконечно малого движения. Однако, когда портфель включает в себя более одного опциона с комбинацией коротких и длинных позиций, дельта и коэффициент хеджирования начинают расходиться.
Дельта необязательно ограничивается опционами и условными требованиями. Она может использоваться для форвардов, фьючерсов и других линейных инструментов, где ее точность как меры риска значительна. Линейность в данном случае означает нединамическое хеджирование, поскольку динамическое хеджирование – это то, что делает дельту как меру риска очень сомнительной. Дельта для форварда должна учитывать дисконтирование денежного потока для достижения эквивалента денежного продукта.
Возможно, самое большое заблуждение на финансовых рынках связано с определением дельты и ее значением как инструмента хеджирования. Каждый оператор инстинктивно понимает, что точное хеджирование в непрерывном времени невозможно. Разница между дискретными и непрерывными приращениями дельты очевидна при рассмотрении особых ситуаций, таких как торговля реверсией риска или анализ барьерных опционов.
Попытка придать дельте какое-либо значение с точки зрения управления рисками представляет собой отказ от динамического взаимодействия параметров. Это частично объясняется желанием непрофессионалов получить численное значение экспозиции без каких-либо затрат. Нужно помнить, что на динамических рынках ничто не может быть схематизировано. Дельта теряет свою значимость, когда трейдеры переходят от простого опциона к портфелю длинных и коротких позиций. При этом многим трейдерам торговлю лимитируют по дельте, а не на основе более глобального анализа сценариев.
Правило управления рисками: модели с непрерывным временем должны использоваться для ценообразования и получения базовой справедливой стоимости, а не для хеджирования.
Характеристики дельты
На рис. 7.1 показана дельта для простой стратегии. Опцион колл с ценой страйк 100 оценивается при волатильности 15,7 %, изначальная дельта составляет 50. Графически это похоже на касательную к цене опциона и показывает наклон изменения цены в начальной точке (100).
В случае, показанном на рис. 7.2, легко убедиться, что дельта на самом деле является хеджем относительно начальной точки (100) и что хеджирование нуждается в корректировке, когда мы видим разрыв между наклоном дельты и кривой цены опциона.
Непрерывная дельта не всегда является коэффициентом хеджирования
Дельта, как правило, интерпретируется как эквивалентная позиция спот, но такое определение неприменимо к управлению портфелем. Профессионалы игнорируют определение дельты как меры риска и оценки эквивалентности позиции (хотя их исследовательские департаменты и подготовленные по учебникам риск-менеджеры, как правило, не склонны делать этого). Для всего, что выходит за рамки стабильного опциона при деньгах, дельта не является значимой.
Мастер опционов: дельта на полмиллиарда долларов
Проблемы со смыслом дельты усугубляются наличием барьерных опционов.
Интересной иллюстрацией этого микроскопического изменения является спор о барьерных опционах, который, как говорят, произошел в одной крупной организации между риск-менеджером и группой трейдеров. Риск-менеджер (который, как водится, с подозрением относился к любым объяснениям трейдеров) запрещал торговлю на том основании, что дельта достигала 10 000 % на барьере. По его логике, это поставило бы позицию намного выше любого допустимого фирмой лимита, сделка размером $5 млн была бы эквивалентной позиции на полмиллиарда долларов! Поэтому он не позволил трейдеру входить в сделку.
Трейдер был взбешен такой логикой. Его максимальный риск по сделке был меньше $400 000, если все пойдет не так. Правда, дельта по формуле подскочила до ненормального уровня между 1,399999999 и 1,40, но для полуматематика-риск-менеджера объяснение, что дельты иногда являются неактуальной тратой компьютерной мощности, звучало как ересь.
Согласно формуле, трейдеру нужно было купить полмиллиарда долларов вблизи барьера, а затем продать их, чтобы сделать переход плавным. Если бы этот маневр был осуществим, то барьерные опционы стали бы лучшими инструментами для торговли. Отказ от торговли по дельте и рассмотрение позиции как ставки с положительной ожидаемой доходностью представляется в данном случае более консервативным подходом. В данном примере дельта не несет в себе никакого смысла. Некоторые трейдеры обходят дельту барьерного опциона, изменяя дату экспирации, как мы увидим в главе 20.
Общепринятое определение дельты:
F – производная F(U, t);
U – цена базового актива.
Это производная цены опциона к цене базового актива. Проще говоря, она соответствует изменениям цены опциона, возникающим в результате бесконечно малых изменений цены базового актива. Это понятие чрезвычайно полезно для математических выводов. С точки зрения торговли она не имеет никакого значения по следующим причинам:
● на рынке не существует бесконечно малых движений;
● даже если бы такие микроскопические движения существовали, то как фактический элемент торговли они никого бы не интересовали.
Для того чтобы математическая модель финансовой дельты непрерывного времени была актуальной, она должна сопровождаться второй производной, гаммой, и третьей, DgammaDspot. Кроме того, поскольку волатильность изменяется при движении рынков, необходимо добавить и вегу.
В реальном мире понятие модифицированной дельты кажется более адекватным решением. Она определяется следующим образом:
где Δ – изменение цены опциона, вытекающее из установленного изменения базовой ценной бумаги. Если при изменении базового актива с 100 до 100,1 цена колла изменяется на 0,05 пункта, то его дельта составляет 0,05/0,10 = 0,50, или 50 %.
Однако движение актива в одном направлении (вверх) необязательно является хорошим приближением поведения функции. Более эффективным инструментом станет использование следующей формулы:
где ΔU– и ΔU+ отражают соответственно движение базового актива вниз и вверх.
Можно увидеть результаты такой модификации: дельта должна зависеть от величины изменений в базовой ценной бумаге, т. е. ΔU. Шаг прироста остается на усмотрение оператора. Это могут быть как функция его кривой полезности, так и оценка будущей волатильности.
Преимущество использования дискретной дельты состоит в том, что она включает в себя немного второй и третьей производных, которые должны дополнять математическую дельту в любой форме анализа.
Пример: вводящая в заблуждение дельта. Предположим, что существует плоская кривая доходности и что форвард эквивалентен цене спот.
Все опционы являются европейскими и имеют месячный срок исполнения.
Опционный трейдер имеет следующую позицию:
● Длинная позиция $1 000 000 в 96 коллах (дельта 0,824, общая непрерывная дельта $824 000, и она длинная по знаку[139]).
● Короткая позиция $1 000 000 в 104 коллах (дельта 0,198, общая непрерывная дельта $198 000 – короткая по знаку).
● Его общая непрерывная дельта – длинная $626 000.
● Он может хеджировать ее, продав $626 000 в форвардах.
В табл. 7.1 показана результативность его позиции. Она демонстрирует положительную дельту позиции по всему диапазону, кроме точки исполнения около 100.
Очевидно, что график прибыли/убытка на рис. 7.2 похож на график прибыли/убытка простой длинной позиции, кроме начальной точки, которая никого не волнует. На семинаре по опционам, когда автор спрашивал присутствовавших, какую, на их взгляд, позицию отражает график – длинную, нейтральную или короткую, – все трейдеры отвечали, что длинную. Характерно, что не имеющие опыта торговли отвечали «нейтральная».
Получается парадокс: трейдер в примере выше покупает $550 000 наличными вместо $626 000. Ответы участников семинара в этом случае, показанные на рис. 7.3, распределились между «нейтральной», «короткой» и в нескольких случаях «длинной».
● Те, кто смотрел на экстремальные значения (цена актива 93 или 107), видели положительный график прибыли/убытка на восходящем тренде и отрицательный график прибыли/убытка при коррекции. Позиция, на их взгляд, казалась длинной.
● Те, кто смотрел на узкий диапазон (цена актива от 99 до 101), воспринимали позицию как короткую.
● Те, кто смотрел на средний диапазон (цена актива 95 или 103), считали позицию нейтральной.
Видно, что хедж, показанный на рис. 7.3 и в табл. 7.2, более эффективен, чем первый для более широких условий. Максимальный убыток снижается с –122 до –65. Максимальная прибыль снижается со 171 до 107. При широком наборе допущений позиция 2 является более дельта-нейтральной, чем позиция 1, хотя и кажется короткой с точки зрения дельты. Для Δ в размере 2,5 пункта максимум является полностью нейтральным. Таким образом, занятие этой позиции расширило нейтральный прирост до значений, которые кажутся приличным запасом.
Если бы автор cпросил участников семинара: «Как бы вы себя чувствовали, если бы существовала угроза ядерного удара?» – они, несомненно, ответили бы «в длинной позиции». А на вопрос «А если бы до нее оставалось шесть минут?» ответ был бы «в короткой». Это приводит к следующему правилу.
Правило управления рисками: дельта зависит от восприятия оператором будущей волатильности и его функции полезности, а также от возможной частоты корректировок.
Эти элементы становятся все менее значимыми с повышением ликвидности рынка.
Операторы вынуждены определять дельту как функцию приращений, которые имеют для них значение. Предыдущая позиция выглядела бы нейтральной, если бы масштаб прибыли/убытка был небольшим, но она потребовала бы внимания, если бы речь шла о миллионах. Операторы должны каким-то образом учитывать кривую полезности в торговле[140].
Дельта в качестве меры риска
Дельта не в состоянии адекватно измерить риски даже для простой позиции. Она одинаково характеризует риск и чрезвычайно рискованной, и чрезвычайно безопасной позиции.
Пример. Две позиции выражают одно и то же мнение о направлении рынка. Первая позиция длинная, другая – короткая. Первоначально у них одинаковая дельта.
Случай 1. Трейдер занимает длинную позицию в 1000 коллов.
Случай 2. Трейдер занимает короткую позицию в 1000 путов (с той же дельтой).
На рис. 7.4 и 7.5 показана разница в графике прибыли/убытка.
Сделки, представленные на рис. 7.4 и 7.5, имеют одну и ту же дельту – примерно $200 000. Из примера легко понять, почему дельта – это плохая аппроксимация риска.
Путаница: Дельта, выраженная через базовый актив, и дельта, выраженная через форвард
Дельта, выраженная формулой Блэка–Шоулза–Мертона, касается суммы денежных средств, которую оператор должен иметь в портфеле, чтобы компенсировать позицию опциона. Для всех европейских опционов, однако, реальная экспозиция вычисляется в форварде.
Тем не менее операторы предпочитают видеть дельту как наличность (базовый актив), т. к. они обычно хеджируют себя ею. Ее проще отслеживать в портфеле и проще получить ликвидные котировки на рынке. Когда операторы имеют дело с опционами на фьючерсы или используют фьючерсы в качестве хеджа, они должны использовать другую дельту, соответствующую точному периоду в будущем. Расчет разницы между ними иногда далеко не тривиальная задача. Операторам часто приходится иметь дело с подобными вопросами. Опцион, близкий к деньгам, оценивается в форварде по дельте 50 %. Какой будет дельта в наличных?
Ответ заключается в трансформации потенциальной будущей экспозиции в наличную экспозицию через дельту форварда. Это можно сделать путем дисконтирования форвардной экспозиции, используя в качестве коэффициента дисконтирования будущий рост стоимости денежных средств. Следовательно, дельта в наличных будет являться дисконтированным значением этого числа. Метод дисконтирования зависит от базовой ценной бумаги опциона, что будет описано позже.
Дельта для линейных инструментов
Необходимо изучать дельты для линейных инструментов, как в целях хеджирования фьючерсов форвардами или даже фьючерсов фьючерсами, так и в целях хеджирования с помощью опционов.
Для ознакомления с возможностями прямого арбитража трейдеры могут прочитать DeRosa (1992; 1996).
Непроцентный актив. Общая формула расчета форварда для непроцентного актива:
F = ertS,
где F – форвард, S – цена спот, t – время до экспирации (т. е. t – t0), r – внутренняя ставка, rf – иностранная процентная ставка.
Валютные форварды. Арбитраж по процентному паритету (как правило, это первая и часто единственная формула, которую трейдер изучает и в которой нуждается):
F = e(r–rf)tS.
Однако форвард не сразу приносит прибыль и убытки. Оператору приходится ждать расчетного дня, чтобы заработать или выплатить реализованные прибыль/убыток. Легко заметить, что прибыль на годовой форвард превратится в наличные через 1 год, поэтому стоимость номинального актива должна дисконтироваться как облигация с нулевым купоном.
Таким образом, прибыль/убыток, генерируемые форвардной сделкой, должны дисконтироваться с использованием обычной формулы e–rt.
Следовательно, если использовать ΔS в качестве изменяющейся цены спот:
Прибыль/убыток форварда = e–rte(r –rf)tΔS = e–rftΔS;
Дельта форварда = e–rft.
По иронии судьбы имеют значение только иностранные ставки. Еще более иронично то, что дельта – это дисконтированная иностранная ставка, и это дает некоторый релятивизм в том, что касается хеджирования. Два человека, которые смотрят на один и тот же форвард, должны использовать разные коэффициенты хеджирования в зависимости от своей национальной валюты. В модуле С, посвященном валютной проблеме, этот вопрос рассматривается подробно.
Иностранные валютные пары. Иностранная валютная пара – это контракт на обмен одной валюты на другую в определенную дату в будущем. Для гражданина Америки примером может служить сделка фунт стерлингов/немецкая марка, а для гражданина Германии – фунт стерлингов/доллар. Обычно по этим парам не бывает большого объема торговли, но в силу умножения комбинаций он очень велик. Некоторые трейдеры котируют пары драхма/австралийский доллар или лира/новозеландский доллар, хотя это встречается не так часто.
Пример. Допустим, есть валюта 1 и валюта 2 со спотом, выраженным в единицах валюты 2 за валюту 1. Следовательно, форвард:
F = e(r1 – r2) tS,
где r1 – процентные ставки в валюте 1, а r2 – процентные ставки в валюте 2.
Трейдер имеет дело с валютой, в которой подсчитываются прибыли и убытки, т. к. она определяет, как он будет дисконтировать хедж. У трейдера есть выбор между валютой 1 и валютой 2 в качестве базы дисконтирования. Эта сложность возникает из-за того, что нереализованные прибыли и убытки от торговли в фунтах стерлингов/немецкой марке могут быть выражены как в фунтах стерлингов, так и в немецкой марке. Трейдер не может перевести нереализованные прибыли и убытки в местную валюту, не подвергаясь валютному риску в одной из валют.
Дисконтирование хеджа дало бы нам:
Дельта форварда = e–r(r1 – r2) t,
где r – это либо r1, либо r2, в зависимости от того, что трейдер выберет в качестве якорного курса (валюта, в которой рассчитываются прибыли и убытки).
Акции или фондовый индекс. Для акции или фондового индекса, по которому непрерывно выплачиваются дивиденды (инструмент, которого не существует, но это теоретическое допущение), дельта форварда будет такой же, как и в случае с иностранной валютой, за исключением того, что трейдер использует вместо процентной ставки ставку дивидендов. В результате:
Дельта форварда = e–rte(r– d)t = e–dt,
где d – дивидендная ставка.
Когда выплата дивидендов не является непрерывной, оператору необходимо использовать точную сумму, выплаченную до даты окончания срока действия инструмента.
Форвард-форвард можно определить как арифметическую сумму одной длинной и одной короткой позиции в одном и том же инструменте с двумя разными датами. Сложность в расчетах иногда возникает из-за отсутствия эквивалентности сумм (позиция со сроком 2 года по сравнению с 3 годами должна быть правильно дисконтирована, чтобы учесть приведенную стоимость).
Пример. Дельта – это разница между двумя дельтами. Возьмем F1 и F2 в качестве двух форвардов с датами поставки t1 и t2, тогда форвард-форвард будет обозначаться как F(t1, t2).
Дельта F(t1, t2) равна: дельта F(t2) – дельта F(t1).
Прибыль к дате t1 необходимо дисконтировать по иной ставке, чем прибыль к дате t2. Кроме того, это приводит к проблемам интерполяции, которые затрудняют определение точного r1 при t1 и r2 при t2.
Более сложным подходом было бы взвешивание дельт каждого форварда, т. к. они не являются одинаковой позицией.
Общая формула для расчета фьючерса:
Фьючерс = ert цена спот,
для непроцентного актива без выплат дивидендов.
Однако существует серьезная разница между фьючерсами и форвардами, т. к. фьючерсы ежедневно пересчитываются с выплатой вариационной маржи контрагентами, что избавляет трейдера от необходимости дисконтировать, в отличие от форварда.
● Для иностранной валюты применяется арбитражная формула по паритету процентных ставок:
Фьючерс = F e(r –rf)tS;
Дельта фьючерса = e(r –rf)t.
● Для иностранной валютной пары расчет производится так же. Предположим, что есть валюта 1 и валюта 2 с ценой спот, выраженной в единицах валюты 2 за валюту 1. Таким образом, форвард будет оцениваться:
Дельта фьючерса = e(r1 – r2) t.
● Для дивидендов по акциям или фондовому индексу при непрерывной выплате дельта форварда аналогична дельте для иностранной валютной пары за исключением того, что используется ставка дивидендов. В результате:
Дельта фьючерса = e(r –d)t, где d – ставка дивидендов.
Когда выплата дивидендов не является непрерывной, используется точная сумма выплат на конечную дату.
Стабильность дельты для линейного дериватива. Дельты фьючерсов, форвардов, свопов и тому подобных инструментов стабильны (потому они и называются линейными деривативами). Их вторые производные почти равны нулю (т. е. не имеют гаммы, за исключением небольшой выпуклости) и имеют только одну значимую первую производную – дельту. Поэтому для компенсации недостатков такой аппроксимации не требуется никаких модификаций, за исключением случаев сильной выпуклости на очень волатильных рынках.
Дельта и барьерные опционы
Часто у дилеров захватывает дух при виде дельты близкой к 10 000 %, когда позиции приближаются к барьеру незадолго до дня экспирации. В некоторых случаях числа перестают умещаться на экране. Этот вопрос более подробно рассматривается в главах 19 и 20, но часто скачок выливается в небольшое приращение.
Ошибочно пытаться хеджировать опцион по дельте в соответствии с этим графиком. Отказ от этой идеи облегчает торговлю барьерными опционами.
Барьерные опционы представляют собой экстремальный случай прерывистости, который очень убедительно демонстрирует недостатки использования модели непрерывного времени для анализа опционов.
Дельта и группировка
■ Группировка – это распределение экспозиций по группам с близкими сроками истечения.
Другим ограничением дельты как меры риска является то, что она не отображает риски в базисе или риск между группами. Дельта в денежном выражении в некоторых случаях является незначительной, когда приходится иметь дело с волатильным базовым активом или продолжительным отделением денежных средств от фьючерса. Поэтому риск-менеджер должен видеть группировку. Это связано с волатильностью и как волатильности (она может влиять на дельты дальних месяцев), так и процентных ставок и стоимости поддержания позиции.
Дельта в стоимости под риском (var)
Читателю необходимо познакомиться с более подробным объяснением концепций стоимости под риском (VAR) в модуле E. Не очень удачным следует назвать такой подход к включению риска деривативов в метод стоимости под риском[141]:
Эквивалентная позиция = текущая стоимость × (дельта × ожидаемое движение + 0,5 гамма (ожидаемое движение)2).
В случае реверсии риска на рис. 7.1 общая экспозиция для такой позиции, в соответствии с VAR, будет равна нулю. Включение гаммы не очень помогло, т. к. она равна нулю.
Некоторые риск-менеджеры идут дальше и добавляют в анализ вегу. Улучшает ли это измерение риска в примере? Конечно, нет – несмотря на все скрытые риски, торговля является вега-нейтральной. Кроме того, измерение риска должно включать в себя теневую гамму, для того чтобы ввести вегу позиции. На момент написания этой книги методы оценки рисков портфелей опционов предполагали переоценку портфеля опционов при смоделированных больших движениях.
Дельта, волатильность и экстремальная волатильность
Все операторы на рынках опционов знают, что повышение волатильности приводит к росту дельты колла вне денег и ее падению у колла в деньгах, таким образом приближая дельты к 50 % (или, точнее, к приведенному значению 50 %).
Мастер опционов: дельта и вероятность быть в деньгах
(Этот вопрос более подробно рассматривается в главе 17.)
Дельта является риск-нейтральной (см. модуль В) репликацией опциона. Ценность репликации соответствует интегралу выплат между ценой исполнения и бесконечностью для колла (или нулем для пута) при условии, что базовый процесс является риск-нейтральным. В дискретном выражении это будет сумма выплаты каждой случайности, умноженная на ее риск-нейтральную вероятность. Дельта – это чувствительность этой величины к изменениям в базовом активе.
Практически она соответствует доле актива, который трейдер должен держать, чтобы избежать получения мгновенных прибыли/убытка от микродвижений.
Вероятность исполнения в деньгах – это просто дисконтированная вероятность, отделенная от соответствующей выплаты. При изучении бинарных опционов будет показано, что дельта и вероятность оказаться в деньгах одинаковы при очень низкой волатильности и при отсутствии перекоса (асимметрии распределения доходностей) и начинают расходиться при наличии либо перекоса, либо высокой волатильности (т. к. это может привести к перекосу вправо в связи с логнормальностью, см. рис. 7.7).
Трейдеры с позицией в барьерном опционе, которые видят дельты на 500 %, понимают, хотя и интуитивно, что дельта означает репликацию количества, а не вероятность. Они знают, что такая дельта соответствует суммам, которые нужно купить или продать, чтобы защитить свою позицию от потерь и сохранить комфортный образ жизни.
Можно также расширить некоторые понятия из парадокса сделок двух стран: вероятность оказаться в деньгах, используя одну часть пары в качестве расчетной валюты, – это дельта для стороны, использующей другую сторону в качестве расчетной валюты. Таким образом, в ванильном опционе DEM-USD дельта для оператора на основе USD – это вероятность опциона оказаться в деньгах для оператора на основе DEM. Этот парадокс обсуждается в главе 19 и модуле C.
В формуле, как показано здесь, актив S следует геометрическому броуновскому движению:
где S0 – цена акции в момент времени 0 (настоящее время), µ – (риск-нейтральный) дрейф (дифференциал процентных ставок или ставок по валютам за вычетом стоимости поддержания позиции), σ – волатильность и t – время до экспирации.
Z следует за уменьшенным центрированным нормальным распределением, таким как
У нас есть условное ожидание E(St) в момент времени 0 = S0exp(µ t).
Повышение волатильности увеличивает ожидаемую конечную цену акции за счет сложных процентов, в то время как дрейф заставит ее уменьшиться на 0,5σ2t.
В табл. 7.3 показано, что именно происходит при расчете цены актива в электронной таблице. Оператор предполагает, что t = 12 % за 1 год, и подставляет 0,12. Мы также предполагаем, что µ = 0 и S0 = 100. Волатильность (первый столбец) представлена в годовом исчислении (для соответствия t, которое также представлено в годовом исчислении).
Значения Z имеют одинаковую вероятность. Таким образом, если бы центральный столбец был равен 100, во всех случаях ожидаемые значения актива S были бы выше, чем S0. Корректирующий член –0,5σ2t помогает добиться соответствия мартингейлу: каждая ячейка, умноженная на ее вероятность, должна суммироваться до S0. Обратите внимание, как –0,5σ2t тянет вниз рынок в центральном столбце (Z = 0).
Сложные проценты появляются в результате так называемой геометрической доходности: т. к. доходность нарастает в сложных процентах, более высокая волатильность увеличивает ее и усиливает расхождение арифметического процесса (когда доходность постоянна) и геометрического процесса (когда доходность зависит от уровня актива). Чистым эффектом этих двух уравновешивающих факторов является толщина правого хвоста. (Этот эффект будет рассмотрен в главах 17 и 18.) На рис. 7.6 показан график конечных значений коэффициентов S в зависимости от их вероятности.
При более высокой волатильности, как показано на рис. 7.7, распределение демонстрирует все большее смещение вправо. Среднее значение, однако, остается прежним – поверхности от значения 100 с каждой стороны равны. Это означает, что медиана должна смещаться влево пропорционально уровню волатильности. Это смещение влияет на дельту.
Пример. Форвард торгуется по 100, спот – по 100. В табл. 7.4 перечислены дельты 110 коллов, 90 коллов и 90 путов, все со сроком до экспирации 180 дней. Процентная ставка для простоты равна нулю.
Волатильность не часто поднимается до 180 %. Трейдер, торгующий опционами на недолевые инструменты, видит, что с активно торгуемым ликвидным инструментом такое случается только раз в несколько лет. Опционный трейдер, однако, быстро учится на таких примерах.
Вот список случаев наблюдения трехзначной волатильности на рынках.
1987 г.: серебро, индексы акций, евродоллары.
1990 г.: нефть и связанные с ней рынки (война в Персидском заливе).
1992 г.: короткий стерлинг.
1995 г.: Мексика (краткосрочные опционы, торгуемые, как сообщается, на уровне 250 %), евроиена.
1992–1993–1995 гг.: PIBOR (парижская межбанковская кредитная ставка) (на рынке французских евродепозитов паника наблюдается с такой периодичностью, что даже младшие опционные трейдеры прекрасно знают о la lognormalité).
Это намекает на общую проблему Уолл-стрит: колл на облигации также может рассматриваться как пут на доходность. Для ценообразования трейдеры используют геометрическое броуновское движение для обоих инструментов, что является неверным – и доходность, и цены одновременно не могут быть логнормальными и иметь толстый правый хвост в периоды высокой волатильности. Усиливает это противоречие то, что трейдеры часто смешивают подобные инструменты в одной и той же позиции. Фьючерсы на облигации, например (скрывающие встроенный опцион), оцениваемые по логарифмически броуновской цене, смешиваются с облигациями, оцениваемыми по логарифмически броуновской доходности, и объединяются в качестве хеджей в одной позиции. Такое некорректное смешивание активов может иметь серьезные последствия для большой позиции при высокой волатильности, т. к. в этих случаях разница в дельтах становится выраженной.
Понятия «дельта» и «частичная дельта» для многомерных опционов будут рассмотрены в главе 22.