Гамма и теневая гамма
Как-то в середине 1994 г. по дилинговым залам США прокатилась новость о банкротстве хедж-фонда, которое обошлось инвесторам минимум в $600 млн. Особое беспокойство вызвало то, что обанкротившийся фонд должен был придерживаться «рыночно нейтральной» стратегии. Рыночная нейтральность казалась тогда панацеей в нестабильном мире ужесточения политики и перекосов. Теоретически фонд должен был держать дешевые ценные бумаги, хеджировать их и получать доходность выше среднего для жителей Флориды.
Один из трейдеров попросил своего менеджера объяснить результаты и получил следующий ответ: «Там кто-то неправильно взял производную второго порядка».
Простая гамма
■ Гамма является второй (математической) производной цены дериватива к цене актива. Она легко рассчитывается аналитически:
Неравномерность гаммы в пространстве (т. е. с течением времени и при неизменности цены актива) имеет следующие эффекты:
● Для опциона при деньгах гамма максимальна, когда он торгуется около даты экспирации.
● Для опциона вне денег гамма максимальна, когда он находится далеко от даты экспирации.
Эта временна́я зависимость гаммы имеет определенные последствия для календарного спреда, как показано на рис. 8.1. Если трейдер покупает опцион A и продает опцион B, то гамма позиции будет положительна при деньгах (на рис. 8.1 линия A выше линии B), но на каком-то уровне линии пересекаются. Лучшая аналогия – бегуны на короткие дистанции и в марафоне. Марафонец выигрывает на длинной дистанции. Спринтер выигрывает 100-метровый забег. В промежутке есть дистанция, на которой они будут иметь одинаковую скорость.
На рис. 8.1 видно, что на пути репликации опционов и стабилизации портфеля существуют подводные камни. Часто операторы хеджируют свою гамму с помощью опционной сделки, которая решает их насущные потребности (хеджирует портфель в узкой области вокруг места создания), но не обеспечивает долгосрочной стабильности позиции. Они смотрят на гамма-отчеты и покупают для хеджирования точно выверенную защиту, но такая защита может быть недолговечной в условиях взрывного рынка.
Правило управления рисками: диапазон должен быть связан с каждым измерением гаммы.
Несовершенства гаммы для опционной книги
Гамма еще более узко, чем дельта, отражает результаты фактического движения в логическом приращении. Для комбинации опционов эта мера теряет точность, потому что умножение опционов приводит к увеличению гаммы в локальности – она все больше и больше зависит от определенного диапазона цены спот. Гамма может быть длинной при 100, короткой при 101,65, длинной в точке выше и т. д. в зависимости от того, какая структура доминирует в данной точке цены спот.
Практически наиболее правильным способом измерения гаммы является изменение базовой цены и вычисление фактического изменения коэффициента хеджирования при приращении. Операция должна быть выполнена дважды:
1. Для отражения восходящей гаммы путем сдвига цены вверх на графике и вычисления изменения дельты.
2. Для отражения нисходящей гаммы путем сдвига цены вниз на графике и вычисления изменения дельты.
Мастер опционов: дополнительные ловушки для риск-менеджеров
Риск-менеджеры, не имеющие торгового опыта, обычно обвиняют трейдеров во включении в анализ третьей производной. Однако трейдеры должны использовать ее в качестве меры риска на всех этапах управления позицией, даже если их определение гаммы шире теоретического содержания. Трейдеры говорят, что в дельте есть немного гаммы, а в гамме – немного DdeltaDvol.
■ Восходящая гамма (или правая гамма) – это дискретно вычисленное изменение дельты, если цена актива идет вверх больше, чем на определенное заданное приращение. Нисходящая гамма (или левая гамма) – это обратное понятие при движении актива вниз.
Усреднение того и другого и получение общего значения вводит в заблуждение. В ситуации реверсии риска (см. следующее определение) гамма будет положительной при движении цены в одну сторону и отрицательной – в другую. Из-за взаимокомпенсации гамма будет обманчиво нейтральной к движению. Использование восходящей гаммы и нисходящей гаммы показало бы риск третьего порядка.
■ Реверсия риска – это любая позиция, в которой восходящая гамма при некотором приращении имеет другой знак, чем нисходящая гамма.
Пример: обычный опцион. Длинная сделка на $2000 млн в 110 коллах со сроком до истечения 1 месяц. Начальная дельта позиции $36 млн, и трейдер создает дельта-нейтральную позицию (затратив небольшие 1,8 %). Волатильность составляет 15,7 %. В табл. 8.1 показаны изменения восходящей и нисходящей гаммы. На рис. 8.2 можно увидеть нестабильность скорости изменения дельты. Это проявляется для каждой точки, как разница между восходящей и нисходящей гаммой.
Пример: кейс (реверсия риска). Классический пример на рис. 8.3 показывает, что гамма должна измеряться по отношению к точке создания позиции (табл. 8.2).
Поправка на гамму дальних месяцев
Часто календарные спреды приводят к появлению двух уровней гаммы: длинной гаммы в одном сроке и короткой гаммы в другом. Это состояние может быть стабильным, за исключением того, что два срока необязательно имеют одинаковую дисперсию, поскольку базис, или разница между спот-рынком и фьючерсами, может иметь положительную корреляцию со спот-рынком, что приведет к неравномерным движениям между форвардами. В этом случае статический анализ гаммы вводит в заблуждение.
Коррекция необходима, т. к. формула Блэка–Шоулза–Мертона не позволяет двигаться ставкам. Следующий упрощенный пример демонстрирует такую корректировку.
Пример. Это простой календарный спред между двумя разными сроками погашения в контрактах SP500 на Чикагской товарной бирже (CME).
Дальний месяц может иметь более низкую или более высокую волатильность, чем ближний, в соответствии с текущей оценкой рынка. Когда фьючерсная кривая торгуется с дисконтом (т. е. дальний месяц ниже ближнего), одна единица биржевого товара при 6-месячном сроке погашения будет стоить меньше одной единицы товара при 3-месячном сроке; контракт за 6 месяцев становится меньше по цене, чем 3-месячный. Когда фьючерс торгуется с премией, ожидается обратный эффект. Однако такой эффект слаб и скрыт другими факторами, влияющими на волатильность дальнего контракта.
Дальний месяц может также иметь более высокую или более низкую гамму благодаря стабильности базового актива (соотношение «спот–фьючерс»).
Существует несколько методов проверки волатильности дальнего месяца относительно ближнего.
● Однофакторный метод. Он заключается в использовании относительной волатильности каждого месяца. 6-месячная волатильность может быть выше или ниже, чем 1-месячная, и трейдер должен соответственно дисконтировать гамму.
● Другой, более сложный метод предполагает использование ковариационной матрицы форвардной кривой. (Основная методология описана в главе 12.)
В предыдущем примере оператор эмпирически обнаружил, что март имеет на 12 % бо́льшую волатильность, чем сентябрь. Это означает, что всякий раз, когда сентябрь двигается на 1 пункт, март изменяется на 1,12 пункта. Оператору необходимо было хеджировать такое расхождение, поэтому он вычислил гамму, умножив ее на 1,12, и получил 65 гамм вместо 58.
Правило управления рисками: гаммы с разными сроками истечения нельзя сопоставлять без соответствующей корректировки.
Этот пункт будет обсуждаться в главе 12.
Теневая гамма[142]
Часто сама гамма ничего не значит, т. к. позиция чувствительна к изменениям волатильности (или перекосу цен) и требует более сложного метода анализа. Это предполагает встраивание ожидаемого эффекта в другие факторы, определяемые движением (такие, как волатильность или, иногда, процентные ставки).
Большинство практикующих специалистов совершают ошибку, когда управляют позициями без учета того, как движение базового актива связано с изменениями других элементов на рынке. Скачки на рынке неизменно приводят к скачкам волатильности. Величина гаммы, не учитывающая этот элемент, бессмысленна.
Правило управления рисками: все, что можно предсказать с уверенностью, должно быть включено в анализ риска. Игнорирование этих факторов делает греки полностью теоретической разработкой.
Это не противоречит желанию сохранить формулу Блэка–Шоулза–Мертона. Рекомендуется использовать прогнозирование, а не моделирование, поскольку оно позволяет трейдеру передумать, в то время как моделирование превращает мнение трейдера в неизменяемую оценку.
■ Теневая гамма – это расчет прогнозируемых изменений дельты с учетом изменения волатильности и его влияния на позицию (рис. 8.4, табл. 8.3). Затем позиция переоценивается с использованием новых параметров волатильности.
Пример. Трейдер держит длинную позицию в крыльях (т. е. длинные опционы вне денег). По его оценкам, волатильность должна возрастать, если рынок резко двинется в любом направлении. (Для упрощения предположим, что актив параллелен и его рост вызывает те же изменения параметров, что и снижение.) Трейдер хотел бы извлечь выгоду из этого эффекта, когда опционные рынки закрыты, торгуя гаммой на одну ночь (сделка овернайт, overnight).
Сделаем первоначальное предположение, что при цене 98 или 102 волатильность станет на 1 пункт выше.
При цене 98,00 через ночь в будущем трейдер может купить 731 единицу базового актива вместо 645. При цене 102 через ночь в будущем он может продать 698 единиц базового актива вместо 612.
Таким образом, трейдер может продавать больше фьючерсов на восходящем рынке и покупать больше при падениях. Реальная гамма получается сильнее, чем выходит по однофакторной матрице. Если обычная матрица показывает восходящую гамму 292, то теневая составит гамма 337. Если же обычная нисходящая гамма равна 300, то теневая гамма будет равна 346.
Теневая гамма работает в обоих направлениях. Придерживаясь более строгой будущей перебалансировки, короткий гамма-хеджер может, таким образом, точнее хеджировать изменения прибыли/убытка.
При изменении x% в базовом активе[143], если предполагается, что волатильность описывается Sig(x) (не станем усложнять ситуацию еще больше, рисуя полином):
в точке x0 c ν' < x0< ν;
Теневая восходящая гамма (x0) = (дельта(x, V + Sig(x)) – дельта(x0, V))/(x – ν0);
Теневая нисходящая гамма (x0) = (дельта(x0, V) – дельта(x', V + Sig(x')))/(x0 – ν').
Более продвинутая теневая гамма (см. табл. 8.3) предполагает использование точной связи между форвардами и наличными и проецирование более акцентированных движений наличных.
Пример (продвинутый уровень): сетка ожидаемой волатильности / зависимости цены спот. Опытный опционный трейдер может оценить влияние на волатильность рыночного движения. Результатом такого прогнозирования является карта волатильности (табл. 8.4). Хотя это всего лишь прогноз, в целом он лучше, чем общепринятые методы рассмотрения движений с постоянной волатильностью.
Понятно, что большие движения базового актива, особенно когда они происходят после периода затишья, приводят к более высокой волатильности. Также бесспорно, что можно предсказать поведение волатильности для несимметричного актива (асимметричного актива, который вызывает тревогу во время падения цены), т. к. сильные движения вниз вызывают панику среди держателей. Трейдер должен пересчитать свои прибыль/убыток по этим ценам и попытаться покрыть их с помощью дельта- и гамма-позиций в соответствии со своей склонностью к риску.
Примечание. Карта, связывающая ожидаемую волатильность с различными ценами активов, может быть получена на основе цен опционов на рынке с учетом перекоса и применением анализа улыбок волатильности. Рынок нельзя обманывать слишком долго, и трейдер видит, что большие движения, как правило, сопровождаются скачками волатильности. Он также считает, что некоторые движения (как правило, ралли фондовых индексов) обычно формируются крайне медленно и проявляются через цены опционов[144].
Пороговая теневая гамма – это разновидность теневой гаммы. Она предполагает, что ожидаемое изменение волатильности не является линейной функцией движения базового актива, и требует использования временны́х графиков движения цены. (Вместо математических методов всегда рекомендуется предлагать трейдерам проводить сценарный анализ.)
Теневая гамма и наклон
В случае активов с асимметричным распределением (см. главу 15) гамма должна учитывать поведение волатильности и движение по кривой перекоса. Если есть асимметрия волатильности опциона между восходящими и нисходящими страйками, гамма должна учитывать, что волатильность опциона при деньгах может увеличиваться или уменьшаться. Отсчет будущей волатильности может производиться от уровня, где в настоящее время торгуются коллы и путы вне денег.
Перекос гаммы также называют асимметричной теневой гаммой.
GARCH-гамма
ARCH – это метод моделирования волатильности, который трейдеры стараются обходить стороной. Он отражает уверенность экономистов в том, что движения волатильности образуют кластеры. Крупное движение приводит к еще одному крупному движению, а за тихим днем, скорее всего, последует тихий день. Для трейдеров в таких прозрениях нет ничего ценного. Тем не менее ARCH создал основу для гетероскедастического мышления в академических кругах.
GARCH-гамма в работе Энгла и Розенберга (Engle and Rosenberg, 1995) – первое академическое упоминание теневой гаммы. По мере того как рынки движутся, движется и будущая волатильность, и эта информация должна учитываться в будущей дельте. Разница между текущей и будущей дельтами называется GARCH-гаммой.
На первый взгляд GARCH-гамма и есть теневая гамма. Однако теневая гамма никак не характеризует поведение волатильности будущего рынка, в то время как GARCH-гамма предсказывает как историческую, так и подразумеваемую волатильность. Теневая гамма – это простой эвристический прогноз цены опционов как детерминированной функции пути, который проходят базовые ценные бумаги.
Продвинутая теневая гамма
■ Продвинутая теневая гамма учитывает движения ожидаемой трейдером волатильности и процентной (или балансовой) ставки, которые сопровождают изменения цены актива. Кроме того, предполагается, что кривые волатильности и кривые процентных ставок изменяются не параллельно.
Продвинутая теневая гамма может быть легко использована в случае биржевого товара, у которого и изменение цены, и волатильность коррелирует с процентными ставками. Валютные пары, в которых есть слабая сторона, часто вызывают трудности. Мексиканский песо с трудом обменивается на валюты ОЭСР[145] без соответствующего защитного повышения процентных ставок и увеличения волатильности. То же самое относится и к валютам, находящимся в валютном коридоре (например, регулируемым бывшим ERM)[146], где слабые стороны нуждаются в защите с помощью запретительно высоких процентных ставок, чтобы отпугнуть спекулянтов, и других мер центральных банков. Это приводит к необходимости запускать форвардные операции с использованием более сложных факторов. Анализ проводится следующим образом.
Если наличная валюта падает на 10 % в активе с асимметричным распределением, то помимо роста волатильности оператору необходимо прогнозировать увеличение дифференциала процентных ставок. Такое увеличение дифференциала приводит к тому, что дальний месяц сдвигается дальше, чем ближний. Такой дисбаланс создает дополнительную гамму, которая может быть высокой или низкой.
Если происходит (маловероятное) ралли в цене базового актива, то дифференциал процентных ставок сужается, но не в таком размере.
Пример. Предположим, что существует страна под названием Сильдавия. SYL-USD является символом валютной пары.
Годовая депозитная ставка (Rd) в долларе США = 6 %. Безрисковая ставка (Rf) в валюте Сильдавии = 20 %. Цена спот = 100.
Форвардная цена на 1 год, удовлетворяющая покрытому паритету процентных ставок (100 × Exp(0,06–0,20)), будет на уровне 86,93.
В условиях кризиса валюта падает до 90. Такое падение приводит к росту процентных ставок по капиталу в валюте Сильдавии на 2000 базисных пунктов (за 1 год) (рис. 8.5). В результате форвард сейчас находится на уровне 90 × Exp(0,06–0,40) = 62,79. Таким образом, если цена спот упала на 10 пунктов (10 %), то форвард снизился на 24,14 пункта (27,75 %).
В табл. 8.5 предполагается, что в портфеле трейдера была только одна позиция – годовые опционы.
Для повышения точности модели можно повторить это упражнение для каждого срока экспирации (например, для 6 месяцев и 2 лет), делая прогноз, а затем оценивая общее влияние на портфель.
Пример анализа теневой гаммы: Сильдавийские выборы
Сильдавия – это страна, в которой должны пройти судьбоносные выборы, – она будет выбирать между анархическим режимом и капиталистическим режимом западного образца. За полгода до объявления выборов Сильдавия была тихой страной, где волатильность составляла скучные 14 % для всех сроков. Ожидается, что она вернется к этому уровню, если анархисты проиграют. По некоторым причинам финансовые рынки предпочитают западный капитализм и не любят анархистов.
В настоящее время волатильность находится на уровне 20 % для 1-месячных опционов и снижается до 16 % для годовых.
Чтобы упростить анализ, предполагается, что позиция будет исключительно в 1-месячных опционах. У трейдера в книге есть целый набор страйков, как показано в табл. 8.6. Результаты голосования должны быть получены в течение часа, и трейдер, не доверяя ни одному из опросов, не приписывает дополнительной вероятности ни одному событию. Валюта Сильдавии в настоящее время торгуется по 100 к доллару с процентной ставкой 14 % против 6 % для доллара.
Трейдер встретился со своими коллегами и представил им дорожную карту результатов выборов (рис. 8.6). Если трейдер будет руководствоваться этой дорожной картой, ему придется игнорировать обычные греки и ограничиться анализом прибыли/убытка, если произойдет какое-либо из двух событий. Рынки перейдут из состояния до выборов в любое из двух состояний без промежуточной торговли между ними, так что о ребалансировании дельты придется пока забыть.
Табл. 8.6 позволяет трейдеру посмотреть на матрицу обычной дельты/гаммы и сравнить ее с «истинным» распределением.
Согласно общепринятой теоретической концепции дельты Блэка–Шоулза–Мертона, трейдер начинает с нейтральной позиции при 20 %. Дельта показывает 0 в столбце дельты, что соответствует комбинации 100 в цене актива и 20 % волатильности.
Торговля между государствами невозможна, поэтому трейдеру придется теоретически определять теневые дельты и гаммы. Сценарий А соответствует ожидаемым прибыли/убытку, если анархисты победят, а сценарий B – если анархисты проиграют. Сценарий А демонстрирует высокую волатильность при более низкой цене базовой ценной бумаги, в то время как для сценария В характерны более низкая волатильность и более высокая цена ценной бумаги.
Первое открытие, которое могут сделать трейдеры о позиции, – это то, что, хотя она представляет гамму Блэка–Шоулза–Мертона, которая является плоской (слегка положительной при ралли и отрицательной при распродаже), это короткая теневая гамма. Ралли приводит к убытку 15, а распродажа – к убытку 181.
Более продвинутая серия предположений, используемых при торговле опционами, описана в главе 16.