Вега и поверхность волатильности
Один громкоголосый итальянский трейдер, к большому раздражению коллег, начинал петь популярную итальянскую песню «Volare, volare» каждый раз, когда рынок был в панике. На вопрос о выборе репертуара (заданный рассерженным автором) он ответил, что слово «волатильность» произошло от латинского volare, что означает «летать».
Из соображений удобства в этой главе будут рассмотрены все вопросы, связанные с эволюцией кривых волатильности и форвардной волатильности, а также форвард-стартов[147] и других неоднородных по времени опционов. Лучший способ изучения опциона форвард-старт – это понимание чувствительности любой структуры к форвардной или локальной волатильности.
Вега и модифицированная вега
■ Вега (также называемая нетрейдерами «зетой» или «каппой») – это чувствительность опциона к изменению подразумеваемой волатильности при сроке исполнения, равном времени его остановки. Неванильный опцион будет более точно чувствителен к форвардной волатильности в промежутке с момента его создания и до времени остановки. Вегу имеет любая выпуклая структура.
Этот раздел главы посвящен простой веге европейского опциона с известной датой исполнения.
Она определяется так:
где σ – это подразумеваемая волатильность, соответствующая сроку действия опциона, F – производная ценная бумага. Чтобы представить это численно, лучше всего произвести переоценку инструмента на разных уровнях волатильности.
Обычно вега выражается как дискретная мера (т. е. для дискретного движения волатильности). Кроме того, многие умножают ее на уровень волатильности, чтобы она соответствовала заданному процентному движению уровня волатильности. Например, если волатильность составляет 18 %, а вега – 0,5, то при повышении волатильности на 1 процентный пункт, до 19 % (и т. д.), опцион (или структура) прибавляет 50 центов.
Некоторые, определяя вегу для 1,8 движения подразумеваемой волатильности (10 %) с целью сравнения рисков позиций в разных инструментах, предполагают, что вега других рынков также изменилась на 10 %. При таком подходе вега составит 1,8 × 0,5 = 0,90.
Вега большинства инструментов со временем уменьшается, за исключением лукбэк-опциона и обратного нокаута, чья вега увеличивается при определенных условиях.
Как и в случае с гаммой и тетой, легко заметить, что график веги имеет колоколообразную форму с максимумом, когда опцион находится при деньгах (относительно цены форварда) (см. рис. 9.1).
На рис. 9.2 показано, как повышение волатильности удлиняет хвосты. Это также дает намек на выпуклость – когда волатильность растет, вега опционов при деньгах остается неизменной, но вега опционов вне денег растет.
Правило управления рисками: вега опционов при деньгах стабильна к изменениям волатильности. Опционы, которые находятся далеко от положения при деньгах (т. е. в деньгах или вне денег), являются выпуклыми по отношению к волатильности для покупателя и вогнутыми для продавца.
Данное правило легко проверить: вторая производная цены опциона по отношению к волатильности равна 0, когда цена исполнения равна форвардной цене, и становится все более положительной, когда цена исполнения находится вдали от нее.
Предупреждение. «Сырая» вега как мера риска может быть релевантной для отдельного опциона, но мало что значит для рисков книги опционов. Этот эффект подробно рассматривается при изучении термина «структура волатильности».
Читатель уже должен быть знаком с лейтмотивом этой книги – то, что работает для одного опциона, не работает для книги опционов. Профессиональное обучение, состоящее в игре с производными формулы Блэка–Шоулза, отрицательно сказывается на стиле работы. Умение торговать отдельными опционами не имеет большого значения для торговли книгой опционов.
С математической точки зрения книга опционов, нейтральная в своих нижних моментах (см. главу 11), может легко потерять стабильность в верхних моментах. Книга опционов не так «компактна», как полагают математики. Обычно она нейтральна в нижних моментах и подвержена различным рискам в верхних моментах. Простой опцион, однако, теряет экспозицию в верхних моментах.
Вега необычным образом связана с гаммой, т. к. их динамика различна. Вега – это интеграл прибыли по гамме (т. е. ребалансирования прибыли/убытка по ожидаемой гамме) на протяжении всего срока действия опциона при одной волатильности, минус такой же интеграл при другой волатильности. Интуитивно понятно, что прибыль/убыток по веге, являющиеся результатом повышения волатильности для держателя длинного опциона, должны быть равны ожидаемой сумме прибыли по гамме за период, если рынок продолжит двигаться таким же образом. Именно эта разница должна соответствовать более высоким прибыли/убытку гамма-хеджера.
Пример. Владелец опциона видит, что его 3-месячный стрэддл увеличивается в цене на $100 000 в результате изменения рыночной волатильности с 15 % до 16 %. Это означает, что если новая, более высокая волатильность сохранится, то его гамма-прибыль составит в течение следующего периода те же $100 000 (без учета проскальзывания).
С математической точки зрения так и есть:
Вега = σtS2 Гамма,
где S – цена актива, t – время, оставшееся до экспирации, и σ – волатильность.
Правило управления рисками: оператору не следует сравнивать, суммировать или добавлять вегу двух опционов с разными сроками погашения без какого-либо взвешивания в оценке.
Эта концепция будет разъяснена далее в главе.
■ Модифицированная вега представляет собой упрощенную однофакторную модель, использующую дисперсию волатильности в разбивке по срокам погашения в качестве индикатора точности хеджирования.
Модифицированная вега, хотя и является более эффективным индикатором риска, чем невзвешенная, не так полезна, как более продвинутая модифицированная форвардная вега, которая будет описана позднее. Читатель сможет сам выбрать один из методов.
Поскольку разные сроки погашения неодинаково реагируют на изменения в восприятии будущей волатильности, необходимо корректировать вегу как в целях хеджирования, так и в целях управления рисками.
Чтобы интуитивно понять, почему необходимо взвешивать экспозиции веги для книги опционов, рассмотрим следующую позицию. Она содержит 1-месячные опционы с вегой на $100 000 и короткие 2-летние опционы на ту же самую сумму в веге (это означает, что в книге опционов будет меньшее количество 2-летних опционов). Допустим, на рынке появляются шоковые новости. Насколько справедливым будет предположение, что волатильность 1-месячного опциона возрастет больше, чем дальнего (если только информация о структурных изменениях не покажет, что всплеск волатильности будет продолжаться)?
Другими словами, если фондовый рынок завтра обрушится, то можно ожидать, что 1-месячные опционы значительно вырастут. Однако такая волатильность вряд ли сохранится в течение целого года, и годовые опционы также вырастут в волатильности, но меньше, чем краткосрочные. Ожидается, что через некоторое время рынок успокоится и долгосрочные опционы будут затронуты только в начальной стадии. В то же время если рынок будет бездействовать в течение короткого времени, то глупо полагать, что структура волатильности изменится таким образом, что рынок потеряет всю свою силу.
Модифицированная вега[148] соответствует чувствительности опционного портфеля к непараллельным изменениям общего уровня волатильности. Инструменты с более короткими сроками обычно более чувствительны к волатильности, если не учитывать временну́ю информацию. Но операторы должны быть открытыми к информации – если они обнаружат, что по каким-то причинам вега действует в обратную сторону, они должны соответствующим образом откалибровать весовые коэффициенты своих позиций.
где Vi – вега для интервала сроков исполнения, Fi – вес волатильности. Далее в главе обсуждаются сложности вычисления интервальной веги.
Для данных целей удобно использовать волатильность 3-месячного опциона как достаточно ликвидного, что приемлемо для риск-менеджера. Все опционы должны сравниваться по чувствительности с этой датой исполнения.
Самое главное в риск-менеджменте волатильности – это понимать необходимость взвешивания. Большинство методов, используемых операторами, несмотря на разные уровни сложности, дают одинаковые результаты.
«Теоретическое» взвешивание. Взвешивание волатильности по квадратному корню соответствующей номинальной длительности каждого срока исполнения трейдеры часто называют «теоретическим». Это означает, что долгосрочная волатильность постоянна и что опционы возвращаются к известному долгосрочному уровню со скоростью, обратно пропорциональной квадратному корню из времени Такой подход основан на осознании существования постоянной долгосрочной волатильности, что отражается на цене самого долгого по сроку погашения опциона в портфеле. На рынках часто выясняется, что операторы ошибаются, поскольку волатильность индексов S&P100 и S&P500 претерпевает постоянное ослабление.
Метод расчета. Оператор выбирает ориентир, скажем 3-месячные опционы (как правило, наиболее ликвидный срок погашения), и взвешивает риски других месяцев относительно него, используя коэффициент длительности
Пример. Экспозиция веги в 1-месячном опционе будет в раза больше, чем в 3-месячном опционе. Экспозиция веги в годовом опционе составит по отношению к 3-месячному опциону. Это означает, что $100 000 экспозиции веги в 1-месячном опционе эквивалентно $173 000 в 3-месячном опционе и $346 000 в годовом опционе.
Эмпирическое взвешивание. Весовые коэффициенты волатильности, полученные в результате наблюдения за поведением цен на рынке, называются эмпирическими.
Метод расчета. Оператор выбирает ориентир, скажем 3-месячные опционы, и взвешивает относительно него экспозиции других месяцев, используя относительную волатильность каждого периода. Типичную относительную волатильность можно получить, взяв следующее соотношение:
Измерения этими двумя методами обычно сходны, но с оговоркой – веса могут довольно неустойчивыми. Существует нелинейность, которую необходимо учитывать. Во время шока на рынках ближние опционы, как правило, более активно реагируют и движутся. Опционы дальних месяцев обычно ждут структурных изменений или подтверждения того, что изменение волатильности не было простым эмоциональным всплеском. Небольшие потрясения могут вызвать обратный эффект.
В табл. 9.1 приведены некоторые результаты исследования, проведенного автором[149], в котором изучались однодневные изменения волатильности (1988–1994 гг., 1400 наблюдений) с использованием данных о внебиржевых закрытиях. В ходе исследования было рассчитано отношение изменения волатильности однодневного периода к волатильности 3-месячного периода.
С использованием 10-дневных непересекающихся изменений (1988–1994 гг., 1390 наблюдений) были получены результаты, приведенные в табл. 9.2 (в виде отношения подразумеваемой волатильности изучаемого периода и 3-месячного периода) (рис. 9.3).
Таким образом, невероятное оказалось реальным: наблюдается такой сильный возврат к среднему, что долгосрочное среднее значение, похоже, падает после большого движения вверх и наоборот, о чем свидетельствует относительная стабильность годовых опционов.
Использование валют в исследовании дало ряд существенных преимуществ по сравнению с другими финансовыми инструментами. У основных валют есть развитый ликвидный внебиржевой рынок опционов, где эти инструменты котируются на срок 1 месяц, 2 месяца и т. д. В дополнение к значительной ликвидности валютные опционы котируются в параметрах подразумеваемой волатильности европейского опциона при деньгах, что снижает риск влияния некачественных данных. Такими данными может быть неправильная расчетная цена опциона, искажающая расчеты подразумеваемой волатильности. Инструменты, включенные в биржевой листинг, как правило, имеют фиксированные сроки экспирации, что усложняет исследование из-за необходимости использовать постоянные даты. В некоторые дни, например, до экспирации опциона, включенного в листинг, остается 15 дней, в другие – 33 дня, что может помешать исследованию.
Предупреждение. Хотя эта схема взвешивания применима к свопционам и опционам на облигации, операторы должны с особой осторожностью подходить к измерению веги для форвардных опционов, таких как евроинструменты (евромарки, евродоллары, евролиры и т. д.). Периоды соответствуют разным базовым инструментам с их собственными режимами волатильности.
Недостатком является то, что веса могут быть недостаточно стабильными, чтобы трейдер мог считать себя захеджированным. Это приводит к использованию числовой экспозиции, которая учитывает отслеживание колебаний между сроками погашения.
Более современный метод оценки вега-рисков состоит в изучении ковариационной матрицы неперекрывающихся форвардных периодов. Перед началом анализа необходимо определить форвардную волатильность.
Форвардная подразумеваемая волатильность
■ Форвардная (или форвард-форвардная) подразумеваемая волатильность между двумя датами (t1 и t2) представляет собой ожидаемую волатильность между двумя периодами, вычисленную на основе цен опционов.
Далее мы обсудим обобщение форвардов, применимое для локальной волатильности Дюпира.
Правило управления рисками: для трейдеров, торгующих зависящими от пути опционами или опционами с отложенным стартом, крайне важно изучить вега-риски на форвардных интервалах.
Все начинается с разложения времени на неперекрывающиеся фрагменты, которые соответствуют датам торгов на рынке (рис. 9.4).
За самую раннюю дату начала мы берем t0, которая в текущий момент равна 0. Мы определяем σt1, t2 как волатильность между двумя точками, t1 и t2. Таким образом, волатильность между t0 и tn будет той волатильностью, которая котируется на рынке за период. Соответственно, волатильность 90-дневного опциона тогда будет выражаться как σ0,90 × σ2(t0, tn), т. е. дисперсией.
Если бы мы использовали равные промежутки времени:
Или мы можем использовать неравномерные временны́е интервалы n1 до nn (более адекватный подход, т. к. рынки устанавливают цену для узких интервалов при очень близких датах и для более широких при дальних датах):
где σ2tn – 1,tn – дисперсия в годовом выражении между tn – 1 и tn. Разница между двумя точками может быть как месячной, так и просто минутной. Можно даже рассмотреть вариант, где t3 – t2 – это 1 час, а t4 – t3 – 1 месяц.
Следовательно, можно получить локальную волатильность между точками t1 и t2, зная волатильность между 0 и t1 и между t0 и t2:
Выбирая периоды tn–α и tn таким образом, чтобы цены на опционы, истекающие в эти даты, были доступными на рынке, можно получить следующее:
Трейдеры называют это форвардной волатильностью (или иногда форвард-форвардной волатильностью) между tn–α и tn.
Пример 1: девиация форвардной кривой.
t0 = 0 (текущий момент);
tn = 180 дней;
α = 90, тогда tn–α = 90 дней.
Волатильность за 90 дней и 180 дней на рынке составляет 17 % и 15,5 % соответственно. В обозначении будет использовано σ90 = 0,17 и σ180 = 0,155, что приводит к следующему решению:
Рынок оценивает волатильность в 13,84 % для периода от 3 до 6 месяцев.
Пример 2: генерация кривой форвардной волатильности. Начав с кривой спотовой волатильности, как показано в табл. 9.3, можно рассчитать форвардную волатильность. На рис. 9.5 и 9.6 показана разница между спотовой и форвардной кривыми.
Иногда на возможность арбитража указывает значительно меньшая или большая форвардная волатильность для заданного интервала. Поскольку опционы торгуются по спотовой, а не форвардной волатильности, арбитражи по споту более сложны и рынкам легче выйти из-под контроля.
Предупреждение. Метод форвардной волатильности применим только к опционам на взаимозаменяемые активы, такие как иностранная валюта или акции. Опционы на евродоллар, например, являются неперекрывающимися инструментами, и использование рассмотренного выше метода анализа веги, базирующегося на данных книги опционов на евродоллары, может исказить риски.
Интервальная вега является более эффективным инструментом управления рисками для ванильных опционов. В случае с опционами, зависящими от пути, это единственно возможный способ анализа экспозиций. Как будет показано далее, ванильные опционы демонстрируют линейную интервальную чувствительность к дисперсии, а зависящие от пути – неравномерную экспозицию в пределах интервала. Некоторые из данных инструментов, например нокаут-опционы, могут быть длинными по веге в одном интервале и короткими в другом.
Пример: как перевести обычную вегу в вегу форвардных интервалов. (Примечание: эта техника применима только к ванильным продуктам.)
Примем следующую экспозицию в DEM-опционах, полученную из прямого интервала.
Вышеуказанные результаты напоминают те, что дают коммерческие системы управления рисками. Если трейдер купит 3-месячный опцион, вега всей позиции будет показана в интервале, которая завершается на 3-м месяце. В нашем случае это строка 0–90.
При этом оператор должен уметь быстро корректировать данные. Предположим, что не зависящие от пути опционы имеют экспозиции, которые линейно распределены во времени (например, у 3-месячного опциона треть экспозиции веги придется на первый интервал 0–30, треть – на второй 30–60 и треть – на третий 60–90).
Это легко подтверждается теоретически. Достаточно сказать, что гамма сильнее всего в конце срока, но ее шансы быть в самой сильной точке при этом невелики, в то время как в начальном периоде она более равномерная, но слабая. Также можно увидеть, что ожидание прибыли и убытка от гаммы не меняется в зависимости от периода и разница интегралов на двух уровнях волатильности будет соответствовать веге.
Оператор должен учитывать неравномерность интервалов. Поскольку в начале он решил использовать более узкие сегменты, а в конце – более широкие, его годовой опцион будет обладать следующей разбивкой экспозиции:
● 50 % экспозиции приходится на интервал 180–360;
● 25 % экспозиции приходится на интервал 90–180;
● 8,33 % экспозиции приходится на каждый из интервалов 0–30, 30–60 и 60–90.
В табл. 9.4 приведена разбивка экспозиции.
Этот продвинутый метод включает в себя создание матрицы корреляции форвардной волатильности. Это можно сделать и на спотовой волатильности при условии, что позиция не содержит компонентов, которые зависят от пути или имеют отложенный старт.
Предварительно, без подробного описания метода (о нем пойдет речь в главе 12), можно сформулировать понятие ожидаемого риска на основе нормального поведения интервалов.
Этап 1. Оператор строит матрицу корреляции процентных движений между форвардными интервалами, выбирая, скажем, сегменты 0–30, 30–60, 60–90, 90–180, 180–270, 270–365, 365–730 и т. д. Затем, используя исторический анализ, оператор определяет корреляцию между периодами (см. табл. 9.5 и 9.6).
Конечно, возникает ряд статистических проблем, как и в случае с любой матрицей корреляции подобного рода. Главная из них связана с тем, насколько сильно оператор должен углубиться в исторические данные, чтобы получить значимую матрицу. Большой период выборки может включать в себя очень отдаленные интервалы, поведение волатильности в которых кардинально отличается от поведения в настоящем. Более короткий период выборки несет риск потери статистической значимости. Еще одна сложность – это выбор линейных методов статистической ассоциации (т. е. корреляции) на рынках, к которым нельзя применить метод наименьших квадратов.
Этап 2. Окончательная экспозиция вычисляется с помощью простой матричной алгебры[150], дающей как результат единственное число. Такой анализ в дополнение к взвешиванию веги позволяет выявить стабильность экспозиций. Соседние интервалы должны быть более совместимыми, поэтому их экспозиции следует балансировать тщательнее, чем экспозиции удаленных интервалов.
Формулы. Трейдерам не нужно бояться матричных вычислений, поскольку такая функция обычно есть в электронных таблицах. Будет полезно выписать формулы до использования примера, который подходит к предыдущей матрице.
Волатильность форвардных интервалов:
Затем трейдер строит вектор экспозиции, используя для входных данных вегу 10 %-ного изменения волатильности (т. е. прибыль/убыток, возникающие в результате изменения волатильности от 15 % до 16,5 %) и умножая каждую из них 10 раз на соответствующую V (дневная волатильность). Из-за нелинейного влияния волатильности на книгу опционов экспозицию лучше аппроксимировать, используя локальный диапазон (в нашем примере 10 %), вместо того чтобы двигать волатильность к нулю и получать «вегу номинальной стоимости», которая сильно не соответствует действительности.
Затем строят матрицу корреляции форвардной волатильности. Единица, используемая для дисперсии, соответствует процентным изменениям волатильности и определяется как разница натуральных логарифмопериодов.
Транспонированная матрица E умножается на V, а результат – на E. Полученное число будет выражать чистые прибыль/убыток, которые ожидаются при движении общих уровней волатильности на одно стандартное отклонение.
Пример. Возьмем предыдущую экспозицию, как показано в табл. 9.7.
Экспозиция при использовании однофакторной взвешенной волатильности показала бы, что позиция нейтральна (см. табл. 9.8). Трейдер может анализировать позицию традиционным способом, восстанавливая исходные интервалы. Таким образом, вега(0, 90) может быть воссоздана с промежуточными интервалами:
Вега(0, 90) = вега(0, 30) + вега(30, 60) + вега(60, 90).
Та же позиция представляет стоимость под риском $21 000. Таким образом, если использовать точные исторические данные, предполагается, что такая позиция, несмотря на нейтральность, должна двигаться в среднем на $21 000 в день.
Еще более интересный подход заключается во включении в дополнение к интервалам возможных перекосов.
Мастер опционов: сдвиги кривых и поверхности
Любая кривая (волатильности, процентной ставки, форвардных цен) может претерпевать сдвиги, как показано на следующих рисунках.
Первый порядок: параллельный сдвиг.
Второй порядок: поворот.
Третий порядок: изменение выпуклости.
Кривая может демонстрировать любую комбинацию перечисленных выше изменений. То же самое относится и к поверхности волатильности.
Первый порядок: параллельный сдвиг.
Второй порядок: поворот.
Комбинация.
Высший порядок: наблюдаются более интересные деформации, и некоторые из них могут быть абсурдными, но не невозможными, как показано на следующем рисунке.
■ Поверхность волатильности (трейдеры также называют ее поверхностью Дюпира–Дермана–Кани) – это представление значений рыночной подразумеваемой волатильности как функции времени до экспирации (по горизонтали[151]) и цены исполнения (по вертикали). Используется для построения:
● спотовой кривой, отображающей волатильность от 0 до времени t;
● кривой локальной волатильности, показывающей мгновенную волатильность на разных возможных уровнях цен активов в разных точках в будущем[152].
Легко заметить, что локальная волатильность по отношению к форвардной волатильности – это аналог диагонального спреда по отношению к календарному. Локальная волатильность – это обобщение подхода Дюпира, Дермана и Кани к форвардной волатильности между двумя точками[153].
В табл. 9.9 показана подразумеваемая волатильность как функция количества дней до экспирации и цены исполнения опционов S&P500, котирующихся на Чикагской товарной бирже. Для устранения хронических неточностей, связанных с системой расчетных цен, один из маркетмейкеров собрал точные данные по котировкам опционов в яме в наиболее ликвидное время.
Излишне говорить, что паритет пут-колл соблюдается, поскольку путы и коллы обычно торгуются с одинаковой волатильностью. Американское свойство опциона слабое (см. главу 1), и маркетмейкеры, как правило, используют в качестве эталона ногу вне денег любого страйка. Если пут вне денег, то используется его волатильность, а не волатильность соответствующего колла.
Вместо простого страйка лучше использовать показатель «процент денежности», обычно определяемый как логарифм (актив/страйк)[154].
В этой таблице первый фьючерс торгуется по 585.
На рис. 9.7 показана поверхность волатильности. Ее называют спотовой, а не форвардной поверхностью волатильности, как уже говорилось в этой главе.
На рис. 9.8 волатильность представлена как функция страйка и время до экспирации[155].
Метод квадратов для управления рисками
Метод, используемый для расчета многофакторных вег с помощью матрицы волатильности путем изоляции экспозиций в интервалах и тестирования устойчивости хеджа, можно применить, сократив позицию в квадратах страйков и времени до экспирации. Преимущество такого метода заключается в том, что он показывает чувствительность позиции к различным деформациям, например к перекосу (рис. 9.9).
Метод квадратов заключается в разрезании позиции на единицы, состоящие из маленьких квадратов, и оценке веги на квадрат. Такой метод применяется на перекошенных рынках, таких как фондовые индексы или евроиена, где риски формы перекоса часто превосходят риски волатильности.
Для получения четкого представления о рисках трейдер составляет матрицу корреляции между подразумеваемой волатильностью разных квадратов. Этот метод необязателен на удобных для анализа рынках, но необходим для продуктов с асимметричным рисунком. В паре DEM-USD, например, квадрат s17 сильно коррелирует с квадратом s57 или с любым другим в интервале t7. Это не относится к SP, где перекос может вызвать поворот поверхности волатильности.
Окончательную экспозицию веги можно получить, нарисовав гигантскую матрицу и повторив расчет многофакторной веги, как было описано ранее в этой главе.