Тета и малые греки
Уже больше столетия назад молодой французский математик по имени Гастон Башелье проницательно (среди прочих удивительных интуитивных предположений) написал в своей докторской диссертации (см. Bachelier, 1900), что ожидаемая цена опциона колл завтра – это цена сегодня. Он совершенно справедливо указал на факт, который большинство новичков не могут понять: временной распад не является ожидаемыми прибылью/убытком опциона. Если опцион оценен при правильной волатильности (при условии, что процентные ставки равны 0), то временной распад составит 0.
Тета и модифицированная тета
■ Тета – это убыток от снижения временно́й стоимости опционов, которая происходит с течением времени.
Трейдеры называют тету рентой. Некоторые из них никогда не выходят из позиции, если результатом становится уплата ренты. Многие бывшие опционные трейдеры страдают фобией в отношении временно́го распада.
Оценка теты не представляет сложности – трейдер может использовать разницу между ценой опциона сегодня и ценой на следующий день, сохраняя все остальные параметры неизменными.
Один из способов представления теты основан на ее неразрывной связи с гаммой. Альфа (отношение гаммы к тете) постоянна независимо от количества дней до экспирации. Продажа очень краткосрочных опционов – это вид спорта, в котором периодически участвуют новички. Она кажется финансово привлекательной, за исключением того, что ее риски в точности такие же, как и при продаже более длинных опционов, если только трейдер не продает переоцененный страйк.
На рис. 10.1 и 10.2 показан временной распад для опционов при деньгах и вне денег.
Для определения теты переоценивают портфель за один день до экспирации и вычисляют разницу между двумя ценами. Но что, если волатильность и другие параметры для периода t + 1 отличаются от параметров периода t?
Пример. 30-дневные опционы торгуются по 16 %; 29-дневные опционы торгуются по 15,8 %. Следует ли трейдеру предполагать, что позиция в 30-дневном опционе завтра придет к волатильности 15,8 %, когда у позиции останется 29 дней до истечения? Или он должен исходить из того, что 29-дневная подразумеваемая волатильность через день придет к 16 %?
Всегда остается вопрос, является ли форвардная волатильность, как и процентные ставки, предиктором будущей волатильности или кривая волатильности существует по структурным причинам. Если читатель считает, что термин «структура волатильности» отражает будущую волатильность, что кривая содержит ценную информацию, то нет причин изменять тету. Однако во многих случаях это оправданно. Иногда информация о будущем событии вызывает повышение волатильности кривой сразу после события, и предсказательная сила кривой волатильности становится неопровержимой. В большинстве случаев для этого нет иных причин, кроме веры в возврат волатильности к среднему. В таких случаях изменение теты должно быть полностью субъективным и оставлено на усмотрение трейдера.
■ Модифицированная тета – это цена опциона сегодня при текущей волатильности за вычетом цены того же опциона завтра, но при волатильности, взятой для опциона с укороченным на 1 день сроком.
Обычно она оценивается с использованием квадратного корня времени, чтобы учесть возможное падение на кривой волатильности.
С приближением рынков к барьеру тета может стать огромной (см. главы 17 и 18).
Трейдеры устраняют процентные расходы на удержание премии для расчета теты, т. к. стоимость поддержания опционной позиции должна быть нейтральной по отношению к трейдеру, который финансирует себя сам. Другими словами, если трейдер несет расходы на поддержание позиции, то цена теты увеличивается на проценты, выплачиваемые на премию, что делает ее полностью нейтральной. Таким образом, если процентная ставка составляет 20 %, тета будет ниже на 20 % от суммы общей премии опциона (опцион будет иметь более низкую цену из-за эффекта приведенной стоимости), но расходы на поддержание опционной позиции компенсируют эту экономию. Предполагается, что трейдер заимствовал деньги на покупку опциона и выплачивает разницу в виде высокого процента.
Многие трейдеры неправильно учитывают расходы на премию в расчете теты.
Как правило, в этой книге тета не включает в себя никаких расходов на финансирование премий.
При определении стоимости опциона с учетом самофинансирования продавец опциона должен купить процентный актив на величину полученных премий. Это эквивалентно тому, что опционный трейдер торгует за счет собственных средств, покрывая отрицательные балансы и зарабатывая проценты на положительных.
Более противоречивым является понятие форварда. Когда трейдер изменяет дату вперед на день по портфелю для переоценки, должен ли он увеличивать цену спот к форварду с учетом того, что ожидаемая цена спот – это форвардная цена? Многие трейдеры этого не делают, т. к. это не имеет большого значения. Однако на рынках, где разница «наличные деньги – фьючерс» значительна, все меняется. Лучше всего решать этот вопрос, опираясь на ожидания трейдера. Если он чувствует, что ожидания, заложенные в цену форварда, ошибочны, то необходимо анализировать дельту с учетом этого.
Ожидание в отношении актива S с периодом t при периоде 0 составляет:
E0(St) = S0(eµt).
Этот вопрос будет подробно рассмотрен в главе 12.
Убытки от теты, как правило, превышают прогнозные величины, т. к. покупатели премий становятся жертвами дополнительных потерь из-за переоценки опционов по рынку. Часто это связано с тем, что потери от теты, спровоцированные спокойными рынками, усугубляются потерями от падения подразумеваемой волатильности, сопровождающего спокойные рынки (поскольку рынки перестают двигаться, ожидание будущего движения снижается). Это не всегда относится к структурированным инструментам и должно применяться с соответствующей осторожностью и учетом субъективного суждения трейдера. Спокойный рынок в преддверии политического заявления или решения центрального банка по ставкам может приводить к ситуации «обратного распада». Кроме того, цены опционов иногда настолько занижаются, что прогноз тихого периода встраивается в них.
Пример. 30-дневная позиция в опционах при волатильности 16 %. Можно предположить, что через 7 дней, если ничего не произойдет, 23-дневный опцион будет оценен на уровне 14 %. Теневая тета – это обычная тета плюс ценовое влияние ожидаемого снижения волатильности.
Тета – это число, которое само по себе имеет мало смысла. Теоретически она предполагает, что с опционом не происходит ничего, кроме движения времени (волатильности и цены активов постоянны). Трейдеры, однако, могут иметь информацию о поведении волатильности, если спот не движется, и об изменениях волатильности в случае движения спота.
Тета становится намного ниже, когда рынки движутся. Здесь используется та же самая аргументация, что и в анализе теневой гаммы. Опять же, все зависит от совершенно субъективного восприятия поведения подразумеваемой волатильности при определенном наборе условий.
Правило управления рисками: если трейдер считает, что волатильность может упасть в условиях замороженного рынка, то такую информацию необходимо учитывать при оценке временно́го распада.
Рис. 10.3 демонстрирует это явление с помощью двух кривых, которые отражают прибыли и убытки в какой-то момент в будущем. Первая кривая («неизменная волатильность») показывает обычную тету. Вторая кривая («переменная волатильность») показывает теневую тету и комбинацию теневой теты и теневой гаммы, т. к. считается, что волатильность изменяется, когда рынок движется.
В прошлом автор пытался с определенным успехом измерить этот эффект. Это помогает определить оптимальное гамма-хеджирование, когда рынок находится в состоянии боковика между уровнями, и, таким образом, позволяет лучше улавливать гамму. Более жесткая перебалансировка всегда смягчает влияние ускоренного временно́го распада.
Основным недостатком теты является то, что она не зависит от пути базового актива. Никакая истинная мера временно́го распада между периодом t и периодом t + 1 (т. е. t плюс 1 день) не может предсказать эффект «пилы», когда рынок резко отклоняется от своего уровня после открытия, а затем возвращается к нему. Такое событие теоретически кажется невероятным, но на практике встречается довольно часто.
Малые греки
■ Ро – это чувствительность опционной позиции к процентным ставкам в базовой валюте, а также к соотношению «денежные средства – фьючерс».
Наиболее непонятным опционным риском является ро. В основном путаница возникает из-за того, что она предполагает параллельный сдвиг кривой, а параллельные сдвиги в прямом смысле слова происходят исключительно в воображении неопытных риск-менеджеров.
Ро необходимо разбить на составляющие: роП, ро1 и ро2.
■ РоП соответствует рискам, связанным с финансированием премии опциона.
■ Ро1 соответствует чувствительности портфеля опционов к процентным ставкам по базовой валюте, по которым рассчитывается прибыль/убыток. Для опциона на акции, деноминированные в долларах США, это курс доллара США. Для деноминированного в иенах опциона на акции – это курс иены. В опционе на валютную пару – это базовая валюта. Если пара находится в двух разных валютах, скажем DEM-JPY, ро1 рассчитывается для валюты, в которой изначально учитывались нереализованные прибыль/убыток позиции.
РоП входит в ро1.
■ Ро2 соответствует чувствительности портфеля к риск-нейтральной норме доходности базового актива[156]. Для акции это дивидендная выплата. Для валюты – иностранная процентная ставка, или «встречная ставка».
Мастер опционов: особенности интерполяции
Кривые доходности не существуют на рынке в виде одной простой непрерывной линии. Ценные бумаги, по которым выводится кривая, имеют фиксированные и известные сроки погашения. Сроки, которые попадают в промежутки между ними, для целей переоценки по рынку в портфеле дилера необходимо интерполировать.
Способ интерполяции «нестандартных дат» имеет большое значение, особенно для опционных инструментов, которые зависят от процентной ставки на входе. Валютный опцион требует риск-нейтральной кривой доходности для обеих сторон валютной пары. Опцион на акции требует, в дополнение к кривой доходности в валюте, кривую для дивидендных выплат (что-то настолько сложное, что трейдеры, торгующие опционами на акции, предпочитают не говорить об этом).
В этой книге не рассматриваются методы интерполяции, они и без того до мелочей разобраны квантами, у которых полно времени на такие вещи.
Первый принцип интерполяции – это сглаживание. Посмотрите на экстремальную пилообразную кривую доходности на рисунке слева.
Соединение точек прямой линией на этом графике приводит к появлению острых локальных пиков. Конечно, кривая доходности может быть иррациональной, но есть все основания для сглаживания пиков – вряд ли можно ожидать, что рынок будет совершать такие скачки между двумя датами (кроме случаев, когда есть определенные причины).
Один из методов сглаживания кривой называется кубическим сплайном. Он используется дорожно-строительными инженерами для устранения резких поворотов, повышающих вероятность аварий[157]. Его применение позволяет привести ломаную кривую к виду, представленному на графике справа.
Вторая кривая выглядит более гладкой, но тоже может иметь пики, которые требуют устранения. Это можно сделать разными способами, которые любой аналитик с удовольствием объяснит вам.
Это приводит нас ко второму принципу – адаптации к рынку. Даже если рынок использует иррациональную технику интерполяции, трейдер должен придерживаться ее в целях ценообразования, но не для принятия решения.
Кривая доходности смещается параллельно в редких случаях. Она может изменять форму в дополнение к движению рыночных цен. Как правило, модели кривых доходности строятся для определения скорости изменения относительных сроков погашения. Простые модели учитывают наклон кривой как показатель будущей относительной скорости движения, а более сложные – деформации кривой (для все бо́льших и бо́льших степеней деформации). Поскольку здесь мы говорим не об основных рисках кривой доходности (которые связаны прежде всего с волатильностью, а не с глубинным процессом), а о вторичных рисках кривой доходности (которые являются случайными для позиции), то можно использовать более простые методы расчета истинной ро без особой потери точности. В разделе об объединении в корзины в главе 12 показаны более сложные методы измерения рисков.
■ Модифицированная ро – это применение любой простой однофакторной модели кривой доходности (относительная дисперсия каждого срока погашения) для расчета истинной чувствительности книги опционов к процентным ставкам на рынке.
Краткий анализ процентных ставок показывает, что более короткие ставки часто волатильнее, чем более длинные. Даже невооруженным глазом видно, что движения на ближнем горизонте обычно больше, чем на дальнем, но для выявления факторов, определяющих относительную экспозицию двух контрактов, требуется более тщательный анализ. Модели кривой доходности обычно строятся на допущениях о «реверсии», которая сама является функцией формы кривой.
Модифицированная ро должна учитывать относительную волатильность базовых инструментов и их корреляцию.
Как и в случае со взвешиванием волатильности, существуют несколько методов вычисления такого поведения, варьирующихся от очень простых до таких, которые соответствуют общему подходу Хита–Джарроу–Мортона (Heath, Jarrow and Morton 1987). Как и модификация веги, простой метод относительных весов в значительной степени превосходит невзвешенную ро.
Простые весовые коэффициенты рассчитываются путем измерения среднего движения одного срока исполнения относительно другого.
Напоминание. Необходим ориентир – ликвидный срок исполнения, к которому приводятся остальные показатели кривой. Обычно в качестве ориентира трейдеры используют опционы с 3-месячным сроком. Доли ро и модифицированной ро в ориентире равны.
Пример. При вычислении упрощенной модифицированной ро выберите самый простой метод нахождения «весов» для каждого срока исполнения.
Шаг 1. Разбиение экспозиции на «интервалы».
Шаг 2. Переоценка портфеля по более высоким процентным ставкам[158]. Экспозиция в долларах на 100 базисных пунктов роста процентных ставок.
Ориентир: 3-месячный.
■ Длительность опциона, также называемая омегой, является ожидаемой продолжительностью жизни опциона с мягкой зависимостью от пути (в случае опционов последовательных цен). Для барьерного опциона и американской бинарной структуры продолжительность опциона обычно называется временем первого выхода или временем остановки.
Длительность американского опциона концептуально отличается от барьера, поскольку барьер – это цена выхода, известная заранее, а американский опцион не предусматривает заранее определенной цены или времени исполнения.
Ожидаемый срок жизни американского опциона равен сроку жизни эквивалентного европейского опциона или короче него. Так же, как и барьерные опционы, эти инструменты могут быть исполнены раньше даты окончания срока.
Этот аспект американских опционов особенно актуален, когда оператор попадает в ситуацию резкого повышения или резкого снижения временно́й структуры волатильности. Исполнение американского опциона зависит от двух следующих правил принятия решений (см. главу 1).
● Мягкое правило: сравнение премии с внутренней стоимостью (определяемой временно́й стоимостью опциона) и доходом от реинвестирования премии в инструменты денежного рынка. Если опционная премия обходится в $2 при финансировании до даты экспирации, а дополнительная премия по опциону составляет всего $1, то исполнение опциона становится оптимальным.
● Жесткое правило: сравнение премии с внутренней стоимостью и расходами на поддержание базовой дельты до экспирации. Позиция в базовом активе может иметь «отрицательную стоимость поддержания» (т. е. у валютной пары, проданной вкороткую, одна валюта, короткая, имеет более высокую процентную ставку, чем длинная нога, или у акции с очень высоким дивидендом, намного превышающим ставку финансирования на рынке). Например, поддержание длинной позиции USD-MXP (покупка доллара против мексиканского песо) с годовыми процентными ставками 50 % в Мексике и 6 % в США будет стоить 44 % годовых. Опцион колл глубоко в деньгах в этой паре заставит оператора делать следующий выбор: продать песо против колла глубоко в деньгах и нести расходы на заимствование валюты под 50 % и кредитование в долларах под 6 % – или отказаться от этого варианта, т. к. игра не стоит свеч. Выгоднее отказаться от дохода от возможной будущей волатильности.
Как было показано ранее, правила досрочного исполнения зависят от двух параметров, которые могут меняться: волатильности и стоимости поддержания позиции. При тестировании правил «премия против стоимости поддержания позиции» операторы должны помнить, что ситуация может стать другой и в случае изменения одного из двух параметров оптимальным будет противоположное решение. Процедура принятия решения усложняется, когда либо процентные ставки волатильны, либо кривая доходности имеет крутой наклон. Вложенное биномиальное (или триномиальное) дерево является одним из лучших подходов, хотя некоторые операторы прибегают к более тяжелому в расчете методу Монте-Карло.
Сила биномиального дерева состоит в том, что оно может включать в себя информацию о будущей волатильности и процентных ставках, как через форвардную цену, так и через ее процесс. Волатильность необязательно должна быть постоянной между узлами. Таким образом, оператор может отложить досрочное исполнение, если дерево показывает, что он пожалеет об этом, если следующий день принесет более высокую волатильность.
Другой способ – это рассмотреть ситуацию так: американскому опциону нужна вся возможная информация в промежутке между нулевым временем и датой экспирации. Формула Блэка–Шоулза–Мертона требует от операторов ввода в компьютер только рыночных параметров на дату экспирации без какой-либо промежуточной информации.
Автор пользуется быстрым методом «подогнанная ро». Его цель – найти подходящую длительность (т. е. ожидаемое время до прекращения действия) для американского опциона. Знание правильного срока обеспечивает:
● использование правильного параметра для ценообразования опциона (т. е. волатильность, срочные процентные ставки и стоимость поддержания позиции);
● более надежный тест на досрочное исполнение.
Он предполагает определение чувствительности зависящего от пути опциона к процентным ставкам при условии, что ожидаемый срок жизни опциона соответствует сроку жизни синтетического процентного инструмента, полученного таким образом.
Причиной, по которой вместо ро1 используется ро2 (что соответствует иностранной ставке или выплате дивидендов), является исключение стоимости финансирования премии. Трейдер также может вычислить ро2 на основе дельты, предполагая, что дельта – это облигация с нулевым купоном номинального срока погашения.
Пример. Предположим, что 1-летний американский опцион эквивалентен европейскому (нулевая вероятность досрочного исполнения). Тогда омега должна составлять 1 год.
Ро2 1-летнего опциона = дельта × 1 (т. е. повышение иностранной ставки на 100 базисных пунктов или выплата дивидендов соответствует росту цены опциона на 100 базисных пунктов).
Теперь предположим, что структура реагирует только на 0,73.
Этот метод, хотя и неточен, позволяет быстро вычислить ожидаемый срок жизни нокаут-опциона или любого американского бинарного опциона.
Мастер опционов: дискретные состояния параметров на деревьях[160]
В методах с использованием локальной волатильности выделяют два уровня: базовый уровень и уровень стохастических биномиальных/триномиальных параметров.
Базовое биномиальное дерево позволяет оценивать опционы, используя информацию, доступную на рынке, и применяя ее к росту между узлами. Такой информацией может быть форвардная волатильность, форвардные процентные ставки, перекос и т. д.
Следующий граф показывает, что используемые параметры соответствуют как форвардной волатильности, так и форвардным процентным ставкам, а не спотовым ставкам. Каждое состояние между S(0) и S(3) зависит от форвардной волатильности, определяющей величину движения u или d (размер шага), и стоимости поддержания позиции rd-d (разница в процентных ставках или дивидендах за вычетом стоимости финансирования). Форвардная волатильность влияет на абсолютный размер как u, так и d, в то время как стоимость поддержания позиции определяет отношение u/d.
См. также модуль В.
Триномиальное дерево более адаптировано к процессам форвард-форвардных параметров. Преимущества триномиального дерева заключаются в том, что оно позволяет изменять волатильность через средний узел (биномиальные деревья часто не перекомбинируются, когда операторы пытаются включить в расчет улыбку).
Дерево стохастических параметров – это адаптация предыдущего дерева с ветвлением по волатильности и/или процентным ставкам в каждом узле.
На верхнем рисунке показано упрощенное состояние кривой волатильности в узле 1. Мы можем определить Vu как восходящую волатильность и присвоить состоянию временну́ю структуру, а также вероятность каждого движения[161], с состояниями Vu и Vd во временнóй структуре волатильности. Наглядное представление об эволюции дает приведенный ниже график спотовой кривой (форвардная кривая, как правило, определяется по ней в каждом узле).
Эта методология использовалась для определения эволюции кривой доходности, но может быть легко применена к кривой волатильности.
■ Альфа (также называемая гамма-рентой) – это отношение теты к гамме для опционной позиции.
Данный параметр отражает качество гаммы с точки зрения ренты и, таким образом, является лучшим индикатором качества доходов от гаммы на $1 под риском овернайт. Высокая альфа означает, что владелец премии получает неадекватную компенсацию за издержки временно́го распада. Низкая альфа означает, что трейдер рискует малой тетой за гамму.
Продавец премий, который не собирает достаточной компенсации за принятый риск, долго в бизнесе не продержится. Как правило, опционные спреды (см. главу 16) помогают улучшить альфу (т. е. получить более низкую альфу для длинных позиций и более высокую для коротких) за счет покупки дешевого опциона и продажи дорогого.
Альфа рассчитывается следующим образом:
Альфа = распад/гамма.
При более продвинутом вычислении альфы в качестве скорости распада используется модифицированная, а не аналитическая тета.
Модифицированная тета учитывает скольжение кривой. Она может быть вычислена как:
Альфа = модифицированный распад/гамма.
Гамма также более точна при дискретном вычислении. При получении альфы всегда предпочтительнее вычислять теневую гамму, чтобы получить полную картину как рисков, так и доходности.
Справедливое значение альфы в соответствии с уровнями волатильности представлено в табл. 10.1. Исходя из того, что процентная ставка равна нулю (или что сумма премии в конечном итоге будет возвращена трейдеру), получаем[162]:
Тета = ½ гамма × (волатильность)2 (цена актива)2.
Следовательно,
которая нечувствительна к времени до экспирации (при постоянной волатильности или при нейтральной временно́й структуре волатильности). Большинство начинающих опционных трейдеров (и некоторые не слишком опытные ветераны) считают, что, продавая краткосрочные опционы, они могут получить больше на временно́м распаде при сопутствующих рисках. Гамма более длинного опциона ниже, чем у короткого, но то же самое относится и к временно́му распаду.
Альфа может зависеть от времени до экспирации, если уровень волатильности зависит от количества оставшихся дней. Если волатильность 3-месячного опциона ниже, чем 6-месячного, то альфа 6-месячного опциона будет отличаться от альфы 3-месячного. В противном случае она должна быть одинаковой.
Исключение затрат на поддержание позиции из уравнения, как говорилось ранее в этой главе, позволяет трейдеру получить чистую величину теты, не искаженную процентными ставками.
Правило управления рисками: альфа, которая ниже справедливого значения для короткой гамма-позиции или выше справедливого значения для длинной гамма-позиции, приведет к долгосрочным убыткам (по закону больших чисел)[163].
Табл. 10.1 показывает, что при 10 %-ной волатильности гамма должна стоить $1405 безотносительно независимо от срока экспирации.
Пример. Альфа для портфеля может дать неожиданный результат. В календарном спреде, когда 1-месячный опцион торгуется при 11 % волатильности в годовом исчислении, а 3-месячный – при 12 %, трейдер покупает 1-месячные коллы при деньгах на $100 млн по волатильности 11: итого положительная гамма 13,5 при затратах $22 950 в день.
Он продает 3-месячные коллы при деньгах на $100 млн: итого отрицательная гамма 7,5 при затратах $15 172 в день.
Чистая позиция будет длинной – 6 гамм при затратах $7780 в день.
Таким образом, альфа составляет $1297 за гамму. Согласно табл. 10.1, затраты трейдера таковы, что он достигает безубыточности даже при закрытии с волатильностью, близкой к 9,5, что в среднем составляет движение на 0,6 % в день.
Таблица греков
Маркетмейкеры обычно запоминают расчеты, приведенные в табл. 10.2 и 10.3. Они позволяют быстро сравнивать опционы без использования калькуляторов.
Для простоты процентные ставки не учитываются. Читатель должен предварительно представить значение веги, используя e–rt и задавая период в долях года.
Веса: определяются с использованием отношения квадратного корня из продолжительности периода. Это подход для тех, кто считает, что волатильность возвращается к среднему со скоростью.
Вега: классическая немодифицированная вега опциона при деньгах. Читатель может умножить продолжительность периода на свой собственный коэффициент, чтобы получить модифицированную вегу.
Гамма: вычисляется для волатильности 15 %. Для другой волатильности используйте обратное отношение: гамма обратно пропорциональна уровню волатильности.
Гамма при 10 % = гамма при 15 % × (15/10) = 1,5 × гамма при 15 %.
Тета: классическая немодифицированная тета для волатильности 15 %. Чтобы вычислить тету для другой волатильности, следует использовать отношение волатильностей:
Тета при 10 % = тета при 15 % × (10/15) = 0,667 × тета при 15 %.
Относительная вега: в табл. 10.3 показана связь веги с опционом при деньгах (по форварду). Вега 3-месячного опциона при деньгах берется из столбца «Вега» в табл. 10.2. Таким образом, читатель может вывести вегу опциона вне денег при условии, что он знает дельту.
Для опциона глубоко в деньгах относительная вега составляет 100 минус дельта соответствующего инструмента вне денег с тем же страйком. Паритет пут-колл позволяет вегам европейских опционов и всем вторым производным быть одинаковыми для путов и коллов с одним и тем же страйком.
Поскольку предполагается, что процентные ставки равны нулю, при повышении процентных ставок необходимо быть осторожными: разница между форвардными и наличными дельтами увеличивается. К сожалению, большинство опционных трейдеров изначально измеряют дельты в наличных.
Эти упрощенные характеристики используются трейдерами, торгующими барьерными опционами[164]. Обе они имеют свои ограничения, т. к. не учитывают волатильность базового актива[165].
■ Скрытность соответствует разнице в процентах между страйком и триггером. Здоровье – это разница в процентах между текущей ценой спот (а не форвардом, как будет объяснено ниже) и триггером.
Скрытность используется как индикатор того, насколько опцион похож на ванильный. Чем выше скрытность, тем ближе опцион к обычному как в ценовом отношении, так и в профиле риска:
● Рынок торгуется по 100; 100 нокаут-колл на 0,00001 во всех отношениях похож на обычный 100 колл; 100 нокаут-колл на 300 (опасный обратный нокаут) также оценивается как обычный колл – разница не появится, пока цена базового актива не приблизится к 300.
● Стоимость 100 колла на 0,01 будет оценена, как будто опциона нет; 100 нокин-колл на 300 не будет вести себя таким же образом.
Здоровье является индикатором риска исполнения. Поскольку опционным трейдерам необходимо разворачивать хедж на барьере (и подходить как можно ближе к этой точке), это полезный инструмент управления рисками, который информирует их о близости исполнения. Как правило, предупреждающий сигнал наступает тогда, когда этот показатель опускается ниже одного стандартного отклонения. Некоторые путают здоровье с разницей между триггером и форвардом: опцион не переходит в состояние нокаут на форварде. Это относится только к редким форвардным нокаутам/нокинам.
Гораздо более эффективным индикатором является использование ожидаемой остановки (также называемой ожидаемым временем прибытия или первого выхода, как описано в главе 18).
Здесь в простой форме рассматривается выпуклость, называемая также кривизной, с тем чтобы ввести идею общего поведения кривой доходности. Трейдеры узнают в этом разделе о том, что:
● выпуклость должна ассоциироваться с волатильностью соответствующего параметра;
● как это ни прискорбно для динамического хеджера, выпуклость присутствует везде.
■ Выпуклость инструмента характеризует нелинейность выплат при параллельном движении одного из параметров. При наличии такого эффекта инструмент называют выпуклым по отношению к параметру.
Хотя выпуклость первоначально относилась к облигациям, оказалось, что это понятие необходимо применять ко всем финансовым инструментам и к их чувствительности в отношении более чем одного параметра. Выпуклость производных ценных бумаг – поскольку их цена зависит от многих параметров – определяется как их вторая частная производная по отношению к конкретному параметру. Выпуклостью опциона по отношению к цене спот является его гамма. Опционы вне денег имеют выпуклость относительно волатильности и процентных ставок.
y – годовая доходность, представленная как эквивалентная ставка, непрерывно начисляемая в сложных процентах;
t – срок (в данном случае 1 год);
i – количество лет;
Ci – денежный поток периода i;
B – цена облигации (дисконтированные купоны или выплаты);
Выпуклость опциона по отношению к базовому активу. Гамма – ∂2V/∂S2 для производной ценной бумаги. Данный параметр зависит от структуры, где V – цена дериватива, а S – базовый актив.
Выпуклость веги. Это ∂2V/∂σ2, где σ – подразумеваемая волатильность на рынке.
Выпуклость на рис. 10.4 – это эффект нелинейного изменения выплат в результате изменения доходности. В данном примере она увеличивается в результате 30-летнего срока погашения и отсутствия купона.
Выпуклость нелинейного дериватива. В табл. 10.4 приведен пример колла в точности при деньгах. Это европейский опцион точно при деньгах по форварду. На рис. 10.5 видно, что его вега линейна. В табл. 10.5 и 10.6 и на рис. 10.6 показана выпуклость веги опциона вне денег. В главе 15 обсуждается влияние выпуклости веги на ценообразование опционов.
Мастер опционов: обычная и модифицированная выпуклость
Обычная выпуклость – это мера чувствительности структуры к параметру. Этот показатель не подходит для целей сравнения, поскольку выпуклость 2-летней облигации (относительно доходности) вряд ли можно сравнивать с выпуклостью 10-летней облигации, т. к. ставки облигаций имеют разную волатильность.
Модифицированная выпуклость позволяет исправить этот недостаток путем перехода на относительную волатильность.
Примечание. Когда волатильность возрастает слишком сильно, все опционы становятся вогнутыми по отношению к ней, потому что каждый опцион ограничен ценой базового актива. Если базовый актив стоит 100, цена опциона не может превышать 100, иначе рациональные трейдеры (а такие существуют) купят актив вместо колла.
Если посмотреть по-другому, то при очень высокой волатильности актив сам по себе становится коллом, т. к. он может расти бесконечно, а снижаться в определенных пределах. Таким образом, цена актива сблизится с ценой опциона колл.
Модифицированная выпуклость процентных ставок. Хотя многие инструменты с выпуклостью приносят премию для дополнительных страйков, трейдеры должны внимательно следить за поведением базовых параметров. Многие облигационные трейдеры обнаруживают, что инструменты с наибольшей выпуклостью (долгосрочные облигации с низким купоном) располагаются на кривой доходности в наименее волатильной точке, а это уменьшает выгоды от выпуклости. Ошибочно сравнивать выпуклость 5-летней облигации с выпуклостью 30-летней без учета таких факторов, как вес волатильности.
То же самое относится и к опционам. Часто самая высокая выпуклость наблюдается у дальних опционов вне денег с наиболее стабильной подразумеваемой волатильностью.
Информации о выпуклости очень много в обычной литературе по опционам 1980-х и начала 1990-х гг. Но поскольку там рассматривается параллельное движение, она в основном бесполезна. Интуиция трейдера более надежна, чем вычисление индикаторов, которые вводят в заблуждение. Примечательно, что эти методы игнорируются в академических работах, начало которым положили Васичек (Vasicek, 1977) и Кокс–Ингерсолл–Росс (Cox-Ingersoll-Ross, 1985a), разработавшие методы оценки изменений формы кривой доходности.
Большая часть хеджирования на основе выпуклости, применяемого управляющими фондами, основывалась на ошибочных предположениях.
Самый простой способ изменить выпуклость – это учесть относительную волатильность.
Пример. Однофакторная модель для корректировки выпуклости.
За чувствительность принимается чувствительность кривой доходности (в годовом выражении) относительно кривой доходности 10-летней казначейской облигации США. Однофакторная модель, по существу, предполагает выбор одного инструмента в качестве базы и 100 %-ную корреляцию с другими инструментами.
Используя полиноминальную интерполяцию, возможно сконструировать примерную аппроксимирующую функцию[167].
Выпуклость, использованная в примере, определена как долларовая разница между абсолютным изменением при движении вверх на 100 базисных пунктов и снижении на 100 базисных пунктов для торгуемого по номиналу инструмента с процентной ставкой 6 %, что близко к фактической кривой доходности в июне 1995 г. Этот грубый метод может быть уточнен путем измерения точной длительности.
Пример: евродоллары – это выпуклый инструмент. Этот пример иллюстрирует разницу между форвардами и фьючерсами, когда есть корреляция между ценой на инструмент и его ставкой финансирования. Он помогает понять, что такое выпуклость, и демонстрирует правило управления рисками в отношении выпуклости и вогнутости фьючерсов, которое обсуждалось в главе 1.
Буст (boost) (не путать с названием продукта, связанного с двойным барьером) – это неявная выпуклость коротких фьючерсов на евродоллар, т. к. можно реинвестировать прибыль под более высокую ставку и сделать финансирование убытков дешевле.
Фьючерсы на евродоллар относятся к категории переоцениваемых по рынку инструментов; операторы получают вариационную маржу при закрытии прибыльного дня и должны уплатить ее после проигрышного дня. Существует связь между затратами на финансирование и рентабельностью: когда рынок падает, короткая позиция во фьючерсах на евродоллар приносит деньги. Деньги передаются покупателю и, таким образом, могут быть инвестированы под высокую ставку (поскольку евродоллары падают). И наоборот, трейдер несет убытки, когда рынок растет, но эти убытки могут быть профинансированы по более низкой ставке.
Предположим, что данные, показанные в табл. 10.7, относятся к короткой позиции в 400 евродолларовых контрактах на Чикагской товарной бирже, срок контракта – 1 год. Кроме того, для простоты предположим, что кривая доходности плоская и движется параллельно (100 %-ная корреляция между финансированием позиции и ее прибыльностью).
Когда евродоллары поднимутся до 9300, трейдер сможет реинвестировать свою положительную вариационную маржу под 7 %, заработав таким образом $70 000 за год до истечения срока действия. Однако, когда евродоллары поднимутся до 9500, трейдер, понесший убыток, профинансирует его всего на $50 000. Эта разница $20 000 представляет собой небольшой дифференциал выпуклости, но должна учитываться трейдерами.
Буст становится существенным, когда имеешь дело с дальними месяцами, т. к. прибыль по 5-летним евродолларам будет реинвестирована в течение 5 лет. Таким образом, при удлинении сроков погашения прирост увеличивается.
Подъем ускоряется при высоких ставках, поскольку ставка реинвестирования увеличивается[168].
Интересным аспектом буста является то, что короткий евродолларовый стрип демонстрирует положительную выпуклость. Это не было бы примечательно, если бы короткие евродолларовые стрипы не представляли собой хороший хедж для длинных нулевых купонов. Поскольку нулевые купоны также являются выпуклыми, торговля будет предлагать двойную выпуклость, или то, что один известный арбитражер назвал «двойным пузырем».