Разбивка на интервалы и топография
Никогда не нанимайте очень хорошо одетого опционного трейдера.
В этой главе рассматриваются общие методы управления рисками, применяемые институтами. Они связаны с некоторыми методами анализа веги, рассмотренными в главе 9. Данная глава обязательна для изучения операторами, которые понимают поведение опционов, но никогда не анализировали риски опционной книги в целом.
Прямая статическая разбивка на интервалы
■ Разбивка на интервалы представляет собой разделение рисков позиции в отношении определенного параметра по периодам времени. Таким образом, операторы получают интервалы дельты, интервалы веги, интервалы гаммы и т. д.
Это статический метод управления рисками, т. к. рынки при этом считаются постоянными. Выпуклость полностью отсутствует – вега и ро, например, могут изменяться в некоторых комбинациях инструментов в зависимости от уровня активов, а иногда увеличиваться или уменьшаться по мере изменения параметра. Считается, что получившийся эффект будет очень жестким с составными, барьерными и другими экзотическими опционами.
Уже на данном этапе видно, что разбивка на интервалы не показывает более высокие моменты чувствительности портфеля к цене актива.
■ Прямая разбивка на интервалы является простым методом, который показывает экспозицию между спотом и временем экспирации t. Он применим только к продуктам, которые имеют известную и определенную дату экспирации и начинают действовать немедленно.
Пример: разбивка на интервалы для европейского опциона. Валютная позиция в GBP-USD (британский фунт против доллара США).
Цена спот 1,6050.
Трейдер покупает 6-месячный колл (183 дня) на сумму £100 млн. Цена опциона составляет 4,578 %, и трейдер платит $4 578 000. Ему требуется хеджирование позиции – 50 дельт. Следующие параметры позиции являются стабильными:
● ставка по доллару США на 183 дня составляет 5,8438 % (базис 360 дней);
● ставка по фунту стерлингов 6,915 % (базис 360 дней).
В табл. 14.1 показаны дельты, гаммы, веги, ро1 и ро2 (все в долларах США). Все показатели невзвешенные. Разбивка на интервалы в данном случае называется прямой, поскольку экспозиция за 6 месяцев соответствует экспозиции, начинающейся в момент времени 0 и заканчивающейся через 6 месяцев. Легко видеть, что дельта, как показано в табл. 14.1, соответствует приведенной стоимости форвардной дельты. Таким образом, дельта цены спот (в 000) равна (82656) / [1 + (1,83/360 × 0,06915)] = (79850).
Все остальные элементы риска являются очевидными.
Гамма £8 355 000 означает, что позиция должна увеличиться на такую сумму, если рынок базового актива увеличится на 1 %, и уменьшиться на ту же величину при снижении цены базового актива. Это аппроксимация – в действительности позиция не будет получать такую сумму при ралли цены из-за третьей производной риска (сейчас позиция имеет максимальную гамму, находясь в состоянии при деньгах).
Вега прямолинейна – она составляет $438 000 для увеличения волатильности на 1 процентный пункт.
Внутренняя ро соответствует чувствительности опциона к изменению ставок США на 100 базисных пунктов. Иностранная ро2 соответствует чувствительности, но к изменению иностранной процентной ставки. Однако ро1 ниже, потому что она также чувствительна к дисконтированию премии в обратном направлении. Ро1 и ро2 рассчитываются следующим образом:
● Иностранная ро2. Для получения ро2 умножают дельту на процентную ставку и интерполируют на 183 дня. Эта величина составляет (183/360) × 82 656 × 100 базисных пунктов = $420 168. Приведенное значение при использовании ставки США составляет $408 000 (при отсутствии выпуклости).
● Внутренняя ро1. Это то же самое число за вычетом стоимости финансирования премии. Премия составила $4,57 млн. Повышение ставок в США выльется оператору в увеличение стоимости ежедневного финансирования премии: 4,57 × 183/360 = $23 200. Чистая ро1 составляет примерно 408 000 – 23 200 = $384 800.
Примечание. Влияние выпуклости на эту позицию будет заключаться в снижении отрицательных прибыли/убытка, обусловленных повышением иностранных ставок, и в увеличении положительных прибыли/убытка, обусловленных понижением внутренних ставок.
Метод разбивки на интервалы в целом лучше работает для европейских опционов, у которых интервалы только частично неустойчивы. Они могут увеличиваться или уменьшаться (за счет увеличения или уменьшения гаммы или веги, когда опцион входит в состояние вне денег или выходит из него), но для экспозиции одного конкретного опциона невозможно менять интервалы.
В случае американских опционов и опционов последовательных цен точный срок их существования нельзя определить. Это делает метод разбивки на интервалы неуместным. Барьер, на котором увеличивается вероятность истечения без исполнения, изменяется в веге, гамме и греках ближе к коротким интервалам. Точно так же, когда рынок отходит от страйка, американские опционы и опционы последовательных цен начинают напоминать европейские опционы и обретают схожую экспозицию ближе к номинальной дате исполнения.
Сдвиги волатильности окажут такое же влияние на барьерную дату исполнения. Более высокая волатильность сокращает продолжительность барьерного опциона с нокаутом. Парадоксально, но это удлиняет продолжительность опциона американского типа.
Некоторые опционы, такие как нокаут-структуры или опционы с отложенным страйком, не подходят для прямой разбивки на интервалы, поскольку их экспозиция начинается в одной точке и заканчивается в другой, что делает их зависимыми от форвард-форвардного интервала. Они зависят от событий в одних сегментах времени больше, чем в других. Хуже того, некоторые структуры (например, барьеры) являются замаскированными календарными спредами. Трейдер может серьезно промахнуться, глядя на чистую экспозицию интервала в прямой системе.
Увидеть риски, связанные с этими инструментами, можно только при использовании динамической разбивки на интервалы, которая требует анализа позиции в разных состояниях базового актива при разных волатильностях и сопоставления рисков.
Несмотря на то что из-за сложностей, связанных с расчетами, это делается редко, определение форвард-форвардного опционного риска принципиально важно в случае опционов последовательных цен, нокин-опционов и неоднородных по времени структур, таких как переменные ставки. Создать такую систему разбивки на интервалы автору долгое время не удавалось до недавнего времени, когда появились новые численные методы.
Форвард-форвардная разбивка на интервалы выглядит так, как показано в табл. 14.2. Компьютерный метод заполнения ячеек довольно сложен, когда в портфеле есть опционы последовательных цен. В отсутствие аналитических методов необходимо перемещать ячейки таким образом, чтобы параметры, влияющие на другие части, оставались постоянными.
Форвард-форвардная разбивка на интервалы должна происходить путем разбиения экспозиций на отдельные периоды волатильности и последующего моделирования общей позиции:
● Волатильность повышается для одного конкретного интервала, но не для других. Биномиальное дерево строится с новой, повышенной волатильностью между узлами для этого периода, но остается постоянным для других периодов. Разницей в цене, вытекающей из этого, является вега.
● Если портфель состоит только из европейских опционов, то можно предположить, что волатильность зависит не от точки шока, а от общего эффекта на портфель. Таким образом, каждый интервал получает равную долю общей гаммы.
● Для неевропейских инструментов вега и гамма зависят от интервала.
Этот метод подробно рассматривается в главе 9.
Топография
■ Топография позиции для книги опционов – это метод управления рисками, который отображает распределение экспозиции портфеля во времени и по всем возможным ценам активов.
● Существует два вида топографических отчетов – страйковая (или статическая) топография и гамма- (или динамическая) топография.
● Топография как метод имеет значительные преимущества, т. к. позволяет выйти за пределы греков, как показано в табл. 14.3.
Страйковая топография (или статическая топография)
■ Статическая топография – это двухмерная карта позиции, отображающая распределение номинала экспозиции по горизонтали (через экспирации) и вертикали (по страйкам).
Когда торговля опционами еще находилась в примитивном состоянии, опционные трейдеры имели дело только с одной или двумя экспирациями. Они обычно видели свои открытые позиции на бумажной карте, предоставленной клиринговой палатой, и могли быстро оценить то, что у них есть в портфеле. Клиринговые палаты выдавали такие карты бесплатно. В табл. 14.3 приведен образец карты.
Таким образом, трейдер мог анализировать позицию без дельт и гамм и торговать своей позицией напрямую, а не по грекам. Данный метод имеет потрясающую обучающую ценность, т. к. заставляет трейдера изучать тонкости торговли опционами, не прибегая к псевдоматематическим методам вроде отчетов по грекам. Вместо того чтобы просыпаться ночью в холодном поту и кричать: «Мне не нравится, что у меня короткие 22,23 гаммы и 71 взвешенная вега», трейдер выражал свои опасения по поводу позиции более точными словами: «У меня такая большая короткая позиция в 105 коллах, что мне нужна серьезная защита».
Современные операторы опционных книг, однако, лишены такой роскоши. Из-за отсутствия установленных дат экспирации и страйков для карты в табл. 14.2 понадобилось бы несколько тысяч строк и столбцов, чтобы отразить топографию такого большого портфеля. Кроме того, данный метод не допускает никакой опционной структуры, кроме ванильной.
Поэтому внебиржевые книги опционов нуждаются в таком представлении, которое позволяет трейдерам объединять экспозиции во временны́х и пространственных точках и изучать риски их концентрации. Топография страйков, как правило, должна иметь вид как в табл. 14.4.
Топография внебиржевых страйков отображает номинальную экспозицию для двухмерного интервала. Отчет показывает по горизонтали (по страйкам) чистую величину номинальной экспозиции между средними точками решетки и по вертикали (по временны́м периодам) чистую величину номинальной экспозиции между точками. Таким образом, интервал 1W/100 показывает чистую стоимость всех сделок между 2 днями и 1 неделей и каждого опциона, исполняемого между 99 и 101.
Страйковая топография должна исключать большинство неванильных опционов, которые могут быть отражены в отдельном отчете. Кроме того, следует с осторожностью относиться к американским опционам, т. к. их номинальная экспирация не совсем соответствует ожидаемой. В матрицу должны включаться только мягкие американские инструменты. Более аккуратное обращение с американскими опционами соответствует смещению их номинального срока в «омегу» (реальное время до экспирации с учетом возможного исполнения).
Применение метода топографии – это метод квадратов, который объяснялся в главе 9.
Добавление коррелирующих инструментов. Можно включать более одного сходного биржевого товара, суммируя их, т. е. предполагая 100 %-ную корреляцию. Такой метод нацелен только на анализ концентрации страйков или нулевых точек гаммы и веги и, таким образом, может упростить восприятие позиции, не вводя трейдера в заблуждение. Например, если оператор считает, что необходимо изучить риски французского франка и немецкой марки в одном отчете только в целях топографии, то все страйки в USD-FRF должны быть конвертированы в USD-DEM. Реальное улучшение, однако, дает практически неприменимая трехмерная карта, которая учитывает наклоны корреляции.
Масштабированная страйковая топография. Поскольку разница между страйками, близкими к деньгам, более значима для краткосрочных опционов, чем для структур дальних месяцев, ее необходимо масштабировать. Во всех отношениях разрыв между 100 и 101 страйками незначителен для 5-летнего опциона и очень ощутим в случае структуры овернайт. Метод, как показано в табл. 14.5, используемый для учета разницы в рисках, служит также методом масштабирования, где вместо страйков рассматриваются стандартные отклонения. При волатильности 15,7 одно стандартное отклонение разницы между страйками составляет 1 процентный пункт, т. е. между 100 и 101. За 1 год это квадратный корень из 252 (252 дня работы), а именно 15,7. Таким образом, эквивалент разрыва овернайт в 1 пункт равен годичному разрыву в 15,7 пункта. Следовательно, если предположить, что спот торгуется на 100 (и нет никакого дрейфа), то в отчете в один тот же столбец попадет 101 страйк овернайт и 115,7 страйк через 1 год.
Динамическая топография является действенным методом анализа, т. к. позволяет выявлять стабильность позиции во времени. Она предполагает сохранение позиции постоянной и проведение симуляции на 1 день вперед, на 2 дня вперед, на 1 неделю вперед и т. д., а также раскрытие карты результирующих греков.
Потребность в динамической топографии возрастает в условиях, когда позиции быстро и часто меняются. Обычная гамма- или вега-матрица может сделать неясной реальную позицию, если со временем происходят сильные изменения. Например, если позиция представляет собой длинные 1-недельные опционы и короткие 2-недельные опционы в больших количествах, то отчет о позиции будет маскировать реальную проблему, которой является риск в течение 1 недели с сегодняшнего дня.
Техника расчетов. Отчет по этому методу не затрагивает дельты, а учитывает только гаммы. Оператор начинает с расчета сегодняшней гаммы для разных уровней цен на активы. Затем он блокирует опционы, истекающие на следующий день, и определяет гаммы на следующий день для всех уровней цен и т. д. Перемещение календаря на 1 день, следовательно, означает переоценку глобальной позиции, как если бы календарная дата портфеля была передвинута вперед на 1 день.
Нижеследующий отчет не очень хорошо подходит для экзотических опционов, поскольку их зависимость от пути делает отчеты условными. Другими словами, экспозиция по 100 коллу 103 нокауту зависит от того, прошел ли рынок через 103 в предыдущий день или нет.
В результате получается карта, представленная в табл. 14.6. Она может показаться похожей на предыдущую, но это действительно другая карта, которая устраняет позиции, которые истекают с течением времени.
Предыдущую технику топографии можно усовершенствовать с использованием корреляций. Оператору необходимо составлять отчеты, используя возможные изменения во времени корреляции между рынками.
Недостатки. Неизвестно, как из динамической топографии вывести экспозицию к опционам последовательных цен. Трейдер может посмотреть на гамму опционной книги, если рынок достигнет 102 в течение 1 месяца. Какое бы число он ни взял, оно не будет точным, если позиция включает опционы нокаут. Допустим, у него была структура, которая выбывала на 104,5. То, что рынок закрылся на 102, необязательно означает, что он в процессе движения не прошел через 104,5 (где опционы были бы исполнены), и в этом случае гамма-экспозиция была бы заметно иной. То же самое относится и к лукбэк-опционам. Снижение с высокого уровня приводит к более низкой гамме, чем в ситуации, когда рынок торгуется на экстремуме (максимуме или минимуме).
Сложности зависимости от пути заключаются в том, что возможных путей гораздо больше, чем конечных точек, и нет быстрого способа визуализировать позицию с учетом этого.
Топография выплат – это карта, показывающая, где значительная сумма денег может быть потеряна на пин-риске, что является наихудшим сценарием для опциона-ставки или обратного нокаута (см. главы 17–20). Пин-риск, который может быть массовым, не выявляется заблаговременно. Более того, к пин-риску не привязана истинная дата экспирации, что делает ожидаемое время остановки нечеткой функцией волатильности, ставок и т. д.
Тем не менее оператору необходимо видеть наихудший сценарий. Однако раскрытие информации значительно упрощается тем, что наихудший возможный случай барьера – это его страйк на экспирации. Поэтому достаточно создать карту номинальных сроков выплат, чтобы трейдер не попал в отрицательную зону. Такая карта показана на рис. 14.1.