Осторожно: распределение
Я лучше прислушаюсь к 55-летнему трейдеру, чем к 25-летнему математику.
■ Возьмите один срок исполнения и измерьте разницу подразумеваемой волатильности между опционами при деньгах и крыльями вне денег, оцененными по модели Блэка–Шоулза. Хвосты будут представлять цену крыльев, а перекос подразумеваемой волатильности – характеризовать асимметрию распределения.
Эта идея уже обсуждалась при рассмотрении поверхности волатильности. Данная глава посвящена причинам существования хвостов и асимметрии распределения.
Правило управления рисками: опционные трейдеры, скорее всего, получат «плохое» распределение в результате своего маркетмейкинга. Опасения рынков отражаются в их позиции. Экономисты называют этот феномен негативным отбором.
Хвосты
В то время как для большинства трейдеров асимметрия распределений является туманным вопросом, хвосты довольно просты для понимания. Хвосты – это волатильность опционов вне денег относительно опционов при деньгах при использовании традиционной формулы Блэка–Шоулза.
Главной причиной более высокой цены опционов в деньгах и вне денег относительно цены по формуле Блэка–Шоулза является феномен, который трейдеры называют волатильностью волатильности, или vvol. Он связан с четвертым моментом, или эксцессом[178]. Существуют и другие причины, например выпуклость веги. Раньше трейдеры не верили в данный феномен и приписывали завышенные цены опционов вне денег «лотерейному эффекту», подразумевая, что инвесторы готовы тратить небольшие суммы ради получения крупного выигрыша и что возможность крупного выигрыша ослепляла их, не давая реально оценивать опционы. Казалось, что в долгосрочной перспективе лотерейный эффект работает на инвесторов благодаря выпуклости, за которую они платят так мало.
Следующее простое объяснение данного эффекта при ценообразовании опционов использует адаптацию формулы Блэка–Шоулза–Мертона для переменной волатильности, базирующуюся на модели Халла и Уайта[179].
Предположим, что волатильность следует за процессом, подобным поведению самого актива, без какого-либо дрейфа цены. Это упрощенный метод, нацеленный на оценку ущерба от переменной волатильности, а не на моделирование самой волатильности. Большинство методов моделирования волатильности на момент работы над книгой не принесло убедительных результатов. Более подробно данная модель волатильности описана в модуле G.
В табл. 15.1 показано влияние фактических колебаний волатильности на 90-дневный опцион при деньгах, оцениваемый при волатильности 15,7 %. Рассматриваются три случая. Случай 1: vvol = 0,25 означает, что волатильность меняется в среднем на 0,16 в день (т. е. между 15,7 и 15,86). При этом она изменяется случайным образом, как и базовый актив. Случай 2: vvol = 0,5 означает, что волатильность изменяется в два раза больше, чем базовый актив. Случай 3: vvol = 0 соответствует типовому подходу по формуле Блэка–Шоулза, где волатильность остается постоянной, а вся выборка взята из учета одной и той же волатильности 15,7 %.
В каждом случае получается своя цена опционов. Легко заметить, что опцион при деньгах абсолютно нечувствителен к колебаниям волатильности и что опционы вне денег больше всего выигрывают от этого явления. В последних трех столбцах показана подразумеваемая волатильность по формуле Блэка–Шоулза по традиционному практическому методу, которая отклоняется от определенной цены к эквиваленту по подразумеваемой волатильности. Данный пример подтверждает, что значения по формуле Блэка–Шоулза идентичны случаю vvol = 0.
Модель стохастической волатильности, использованная на рис. 15.1, показывает результаты толстых хвостов в пропорции к волатильности волатильности. Поскольку волатильность волатильности неизвестна и едва ли может быть выведена теоретически, читатель должен придерживаться набора правил, а не моделировать какую-то структуру.
Результаты показывают увеличение значений там, где есть выпуклость к волатильности (т. е. вне денег). Опционы при деньгах незаметно теряют волатильность из-за небольшой вогнутости (колл ограничен ценой базового актива).
Если бы трейдер включил в модель корреляцию между ценой актива (или ее изменениями) и волатильностью (или ее изменениями), это дало бы значительный результат – улыбка наклоняется влево или вправо со следующими характеристиками:
Улыбка не меняет форму выпуклости, а поворачивается, чтобы учесть асимметрию между верхней и нижней частями. Отрицательная корреляция между ΔS/S (изменения в активах) и Δσ/σ (изменения волатильности) приводит к тому, что цены верхних по страйку опционов будут дешевле, чем нижних, и это может объяснить перекос. Положительная корреляция между ними приведет к положительному перекосу.
Предупреждение. Трудно установить зависимость между ценой актива и волатильностью. Чтобы показать поведение цен активов в условиях перекоса, необходимо соответствующим образом изменить теоретический пример, чтобы учесть следующие факторы:
1. Доходность и волатильность активов могут коррелировать, но нелинейно. Обычно корреляция сохраняется стабильной при небольших движениях, но может быть обратной при больших движениях. Наглядным примером являются фьючерсы на индекс S&P500. Волатильность падает после небольшого ралли, но увеличивается после большого.
2. Для трейдеров, которые изучили исторические данные, очевидно, что волатильность, если она есть, коррелирует (или, что более уместно, ассоциирована) с диапазоном цен активов, а не с ценой актива или ее вариацией. Неудивительно, что ее поведение оценивается по пороговым значениям. Падения рынка не увеличивают волатильность, если они происходят в пределах устоявшегося диапазона, особенно после ралли. Такие связи нелегко смоделировать (несмотря на все попытки подобных моделей ARCH).
Часто возникает вопрос – почему переменная волатильность приводит к появлению толстых хвостов[180]?
● Основным объяснением данного явления является вероятность, что цены активов зависят от состояния волатильности. Рассмотрим для примера случайную волатильность и случайные цены активов. Легко понять, что условием попадания в хвосты является состояние высокой волатильности. Высокая волатильность легче выталкивает рынок в хвосты, чем низкая. Таким образом, хвосты будут иметь толщину более высокой волатильности.
● Низкая волатильность с большей вероятностью удержит рынок в середине, на пике распределения. Таким образом, распределение, когда оно находится посередине (т. е. при отсутствии существенных изменений рыночных цен), с большей вероятностью примет форму более низкой волатильности.
Эту концепцию еще проще понять графически. На рис. 15.2 показаны два распределения, одно из которых имеет в четыре раза бо́льшую волатильность, чем другое. Распределение с высокой волатильностью имеет более толстые хвосты. Распределение с низкой волатильностью имеет более высокий пик. Таким образом, можно представить, что при смешении двух распределений более высокая волатильность будет доминировать над хвостами, а более низкая – над центральном сегментом.
Гистограммы рынков
■ Гистограмма показывает относительную частоту некоторых величин доходности (или, чаще, логарифмов изменения цены) в определенном временно́м интервале. Обычно гистограмма показывает суточные изменения. Частота получается путем разбивки движений на интервалы и подсчета процентного (или общего числа) количества вхождений в каждом интервале.
На рис. 15.3–15.6 показано фактическое распределение следующих активов: доходность японской иены, S&P500 и 30-летних американских государственных облигаций, а также фьючерсов на евромарку. Данные по первым трем охватывают 10 лет, а по последним – 3 года. Они демонстрируют гистограммы периодической разницы в логарифмах цен (доходностей), построенных против нормального распределения с такой же общей волатильностью. На всех рисунках виден синдром высокого пика.
Наблюдательный читатель может заметить высокие пики вместо толстых хвостов. По факту трейдеры, делающие ставки против толстых хвостов, обычно играют против пика. Они чаще пытаются получить прибыль, когда ничего не происходит, а не во время экстремальных движений.
Пример: индивидуализированное распределение с толстыми хвостами. Для развлечения (в летний день, который квалифицируется как «высокий пик») автор придумал следующее распределение – три режима на рынке, каждый из которых имеет свою волатильность:
● случай 1: волатильность составляет 15 % (нормальные рыночные условия);
● случай 2: волатильность составляет 5 % (праздничное настроение и летняя дремота);
● случай 3: волатильность составляет 20 % (беспокойство).
Возможность нахождения в каждом режиме волатильности одинакова.
Моделирование методом Монте-Карло дает гистограмму, показанную на рис. 15.7.
Перекос и смещенные активы
■ Перекос – это асимметрия в распределении. Возьмем дневное движение базового актива и σ' – нецентрированную волатильность (принимаем среднюю доходность равной 0, как объяснялось в главе 6). Тогда перекос (нецентрированный) составит:
Он будет положительным, если есть положительная корреляция между xt и и отрицательным, если есть отрицательная корреляция. Интуитивно перекос выражает корреляцию между движением случайной переменной (xt)и ее волатильностью
На рис. 15.8 и 15.9 показаны две степени перекоса в распределении. Перекос довольно сложно преобразовать в перекошенную поверхность волатильности. Представленный выше линейный показатель перекоса слишком неинформативен, чтобы правильно объяснить истинную зависимость между волатильностью и ценой базового актива. Во многих случаях динамический хеджер зарабатывает деньги, владея дорогими путами и продавая дешевые коллы, несмотря на близкую к симметричной гистограмму.
Мастер опционов: графическое представление распределения Парето–Леви[181]
Многие трейдеры слышали о семействе стабильных распределений Парето–Леви. Это широкий класс распределений, которые называют стабильными, поскольку они могут быть смещенными. Трейдер должен знать, что колоколообразное распределение – это лишь один из конкретных случаев этого большого и несчастливого семейства.
Характеристическая функция распределения Парето–Леви:
Log f (t)= iσt – Γ |t|α (l + iβ (t/|t|) tan (απ/2),
где i – мнимое число При α = 2 оно становится преобразованием Фурье нормального распределения (если при этом β = 0, γ = 1, δ = 1), exp (–t2)).
Функция не имеет второго момента (т. е. не имеет дисперсии), когда α < 2, и не имеет первого момента (это значит, что нет среднего) для α < 1. Это означает, что функция имеет бесконечную дисперсию – нечто пугающее для любого участника рынка. Физически левый и правый хвосты никогда не приближаются к источнику.
Как показано на следующем графике, обратная характеристическая функция (т. е. вытекающая из нее функция плотности) имеет следующую форму: по мере того как α снижается с 2 до 0, хвосты становятся толще, а сближение плотности с нулевой вероятностной отметкой происходит медленнее. По мере уменьшения α для отображения распределения требуется все более широкий и широкий график. Это иллюстрирует понятие бесконечной волатильности – невозможно вписать график в границы визуального кадра[182].
Еще больше пугает ситуация, когда распределение не имеет математического ожидания, пик не виден, но линии поднимаются к потолку, не встречаясь.
Многие сторонники теории хаоса жаловались на злоупотребление распределениями Парето–Леви в литературе, посвященной низкому рынку.
Трейдерам легче думать о толстых хвостах как о результате изменения волатильности, а не о продукте раздутой дисперсии. На самом деле распределение Парето–Леви – это плод очень высокой волатильности волатильности на очень малой волатильности.
Гистограмма не показывает путь базового актива. Предположим, что сильдавийская валюта изначально движется вверх и вниз симметрично на 1 %. Однако при ее снижении на протяжении 3 дней подряд волатильность возрастает. Такое увеличение волатильности, скорее всего, подтолкнет ее вниз сильнее, но с тем же успехом может вернуть в исходное состояние. Гистограмма будет выглядеть почти сбалансированной. В реальности она получит слегка раздутый левый хвост, но ничего достаточно серьезного, чтобы обращать на это внимание. То, что хорошо видно на гистограмме, – это классический сценарий рынка, который идет вниз, скажем, на $4 (с вероятностью 20 %) и поднимается на $1 (с вероятностью 80 %). Она не очень наглядно показывает корреляцию между ценой актива и волатильностью, демонстрируя только корреляцию между изменениями активов и волатильностью.
Правило управления рисками: гистограмма не очень наглядно показывает зависимость между уровнем цен и волатильностью рынка.
Как перевести эту зависимость в распределение подразумеваемой волатильности между ценами страйк, неясно. Обычный метод – это просмотр окончательной гистограммы, выведение вероятностного распределения и попытка сравнить его с распределением, подразумеваемым ценами опционов. Трейдер может сгенерировать плотность, взяв вторую производную цен опционов относительно цен страйк. (См. Breeden and Liechtenberger, 1978.) Как трейдер, автор крайне подозрительно относится к этой технике, поскольку она игнорирует зависимость от последовательных цен, возникающую в результате изменения волатильности. Как объяснялось в теории большего дурака (глава 3), поведение подразумеваемой волатильности является определяющим фактором в торговле опционами. Путы вне денег дают большое преимущество не только из-за возможности резкого падения рынка, но и потому, что поведение рынка на более низких уровнях может пойти на пользу их владельцу. Это приводит к следующему правилу.
Правило управления рисками: зависимость от пути. Ценность перекоса для динамического хеджера заключается скорее в поведении подразумеваемой волатильности на пути, ведущем к терминальной стоимости, а не в вероятности того, что актив окажется на этой терминальной стоимости.
Старая поговорка трейдера «Вверх на эскалаторе, вниз по желобу», похоже, описывает поведение самых разных активов.
■ Смещенными называют активы с асимметричным распределением, характеризующиеся повышенной волатильностью при коррекции и, в меньшей степени, пониженной волатильностью при ралли.
Структура их рынка такова, что коррекция вызывает тревогу, а ралли – эйфорию. Тревога обуславливает сильную волатильность при коррекции, в то время как эйфория, как правило, приводит к упорядоченности рынков при росте цены. Пример, который сразу приходит на ум, – мексиканская валюта. В табл. 15.2 представлен упрощенный мир, состоящий из двух экстремально разных полюсов для смещенных активов. Между ними находятся переходные состояния, а также переходные периоды между состояниями.
Существует множество объяснений смещенных активов, и некоторые из них будут описаны в следующих разделах.
То, что у некоторых активов есть владельцы, но никто сознательно не открывает по ним коротких позиций, является одним из чудес современных финансов. Другими словами, существует расхождение в учете между владельцем, который подчиняется каким-то правилам при приобретении актива, и продавцом, который не переоценивается по рынку.
Облигации, выпущенные правительством Италии, переоцениваются по рынку их владельцами, которые радуются, когда цены растут (т. е. доходность падает). Как ни парадоксально, но правительство Италии тоже довольно, когда цены растут, поскольку стоимость будущего финансирования для него снижается. Если благосостояние владельца увеличивается при росте цены, то благосостояние Итальянской Республики не уменьшается. Если бы правительство Италии имело счет прибылей/убытков, показывающий, что облигации, выпущенные по 100, сейчас торгуются по 105 и что оно потеряло бы несколько триллионов лир, если бы выкупило выпуски облигаций, ситуация воспринималась бы по-другому.
Акции выпускаются компаниями. В конце дня, когда акции растут, богатство страны увеличивается за счет роста капитализации. Дополнительное богатство появляется из ниоткуда. Но компании, выпустившие акции, не должны переживать из-за стоимости, созданной за их счет. Владельцы компаний могут выпустить еще больше акций, опционы на акции у топ-менеджеров становятся дороже, пенсионные накопления сотрудников возрастают и т. д. Это чудо, где за небольшими исключениями почти все в мире получают выгоду от восходящего тренда. Несчастное меньшинство состоит из 1) тех, кто не имеет акций и видит, что сосед ездит на новой машине, – их можно считать истинными «шортистами», и только в редких случаях они становятся большинством; 2) непокрытых шорт-трейдеров (хедж-фондов), рассчитывающих сорвать куш на следующем обвале рынка.
Рост цен на акции часто придает стабильность компании, поскольку она получает более дешевое финансирование. Когда рыночная стоимость предприятия повышается, отношение долга к собственному капиталу улучшается как с бухгалтерской, так и с экономической точки зрения[183]. С бухгалтерской точки зрения предприятие может привлечь денежные средства и погасить долг, улучшая тем самым свой баланс. С экономической точки зрения увеличивается общая капитализация компании. Такое увеличение может привести к повышению кредитного рейтинга и обеспечить более легкое (и более дешевое) заимствование. Точно так же падение цены делает акцию более рискованной, а значит, более волатильной. То же самое относится и к правительствам. Когда у развивающейся страны высокая цена активов, правительство может легко выполнить свои долговые обязательства, выпустив дополнительный долг. Но когда цены на активы падают, правительствам все труднее заимствовать, что ведет к возникновению порочного круга и усиливает неопределенность.
Ветераны торговли опционами могут легко определить, имеет ли валютная пара асимметричное распределение. Как правило, «параллельные» валюты демонстрируют симметричное поведение при коррекциях и ралли. К ним относятся те валютные пары, которые доминируют в расчетах при коммерческом товарообороте между странами. В то же время валюты, которые представляют собой инвестиционные активы по отношению друг к другу, будут вести себя асимметрично. Немецкая марка по отношению к итальянской лире, испанской песете или греческой драхме демонстрирует именно такое поведение.
Ниже перечислены некоторые правила, которые следует помнить.
● Как правило, валюты, которые выступают в качестве активов, демонстрируют сильную связь цены и процентной ставки. Процентные ставки повышаются либо для «защиты» валюты, либо из-за бегства капитала при коррекциях.
● Для валют, являющихся торговыми инструментами, характерна независимость цены от процентной ставки.
Некоторые активы, такие как золото и (в меньшей степени) швейцарский франк и иена, являются зеркальным образом других активов. Часто они ведут себя как противоположность финансовому активу. Они выигрывают от бегства капитала из обычных инвестиционных валют и акций.
Высокая волатильность в течение короткого времени, за которым следует низкая волатильность в течение продолжительного периода, приводит к появлению толстого хвоста на гистограмме распределения. Многие приложения, оценивающие время прибытия по распределению Пуассона, показывают согласующиеся результаты с фактическими гистограммами при таких методах, как скачкообразный процесс диффузии.
Обычно гистограмма показывает также перекос; распределение становится асимметричным, с толстым хвостом слева и тонким хвостом справа. Однако, как уже говорилось, гистограмма скрывает последовательность событий. Условный перекос (при условии, что предыдущий режим относился к типу 2) очень высок.
Эти факты довольно хорошо проявляют на гистограмме, если выделить режим типа 1 из режима типа 2.
На рис. 15.10 показан режим типа 1, включающий первое движение вниз на рынках, обеспечивающее переход к рынку типа 2.
Для режима типа 1 в сочетании с переходом необходима торговая стратегия, выигрывающая от следующих сценариев:
Главной особенностью смещенных активов является сильная корреляция между процентными ставками и стоимостью поддержания позиции. Более подробно об этом рассказано в главе 8, которая посвящена гамме и теневой гамме.
Более продвинутые правила паритета пут-колл
В целом для европейских и мягких американских опционов дельта-нейтральный колл воспроизводит профиль риска дельта-нейтрального пута. По этой причине волатильность колла в деньгах должна быть такой же, как и у соответствующего пута вне денег. Поэтому при упоминании кредитовых или дебетовых сделок трейдер изучает операцию, удаляя в каждом инструменте внутреннюю часть премии (с учетом приведенной стоимости) из общей суммы премий.
Таким образом, контраст между операциями с опционами в деньгах и вне денег становится нулевым (за исключением разницы дельт), поскольку обе позиции имеют эквивалентную временну́ю стоимость и каждая из них может синтетически повторить другую, используя определенный инструмент. Разница становится видимой на уровне денежности – по дистанции между ценой страйк и ценой актива.
Соответственно, в данном анализе рассматриваются опционы на уровне понятий денежности вверх (насколько страйк выше текущей цены актива) и денежности вниз (насколько страйк ниже нее).
Барьерные продукты. Короткий обычный нокаут-опцион и длинный ванильный будут воспроизводить длинный нокин-опцион с тем же страйком и аутстрайком:
– KO + V = KI.
Следовательно,
KI – V = —KO.
Например, 102 нокаут-колл с 98 аутстрайком может быть воспроизведен путем покупки 102 нокин-колла на 98 и продажей ванильного 102 колла. У барьера обе операции будут нейтральными.
Это относится и к обратным нокаут-опционам.
Американские бинарные опционы. Они могут быть синтетически построены с помощью нокаут-опциона со скидкой, соответствующей размеру ставки. Синтетически бинарная колл-ставка (если она задета) на страйке 104 с выплатой $2 – это 104 нокаут-колл со страйками и аутстрайками на 104 (опцион никогда не будет в деньгах) и скидкой в размере $2. Скидка может быть истолкована как американский бинарный опцион с некоторыми возможными осложнениями во временно́й стоимости на дату оплаты.
Европейские бинарные продукты. Они имеют те же правила паритета пут-колл, что и обычные опционы, но с особенностью. Длинный колл – зеркало короткого пута в веге и всех греках, в отличие от обычного опциона, где соблюдается правило «длинный колл + дельта = длинный пут + дельта». Это называется правилом обратимости и может быть реализовано следующим образом.
В предельном случае бинарный опцион – это спред. Сначала устанавливают эквивалентность спредов, взяв два теоретических страйка 96 и 94:
Длинный 96 пут, короткий 94 пут, длинная позиция в 0,13 дельты будут воспроизводить короткий 94 колл, длинный 96 колл, но длинные 0,13 дельты (на удивление). В отличие от простого опциона воспроизведение спреда осуществляется через дельты того же направления сделки и той же величины.
Как следствие, длинный бинарный 95 пут с длинной 0,13 дельтой (в форварде) эквивалентен короткому бинарному 95 коллу (тоже с длинной 0,13 дельтой).
Радужные опционы (с двойным или множественным страйком). Правило паритета пут-колл тут соблюдается не полностью. Например, пут на IBM или Microsoft не может быть реплицирован коллом на IBM или Microsoft и базовыми активами. Трейдеры просто довольствуются тем, что на финансовых рынках представлено не так уж много подобных инструментов. Большинство из них ненавидят эти инструменты за путаницу.
Составные опционы. Правила паритета пут-колл сохраняются на уровне опциона второго порядка. Длинный (европейский) колл-опцион на колл можно воспроизвести с помощью длинного пут-опциона на колл и длинного колла, все с одинаковым страйком и аутстрайком. Короткий пут-опцион на пут можно воспроизвести с помощью короткого колла на тот же самый опцион, короткого опциона и т. д. Даже опционы третьего порядка, как и колл на составной опцион, можно хеджировать с помощью пута на тот же самый порядок и опцион на порядок ниже.
Нарушение правил паритета пут-колл для американского опциона приводит к появлению омеги, ожидаемого срока жизни опциона (который отличается от номинального срока существования). Поэтому лучше считать, что американские опционы необходимо оценивать по временно́й структуре волатильности, которая короче, чем номинальная европейская. Во всех случаях опцион на один страйк близок к европейскому опциону (вне денег с более длительным ожидаемым сроком жизни), в то время как внебиржевой опцион оценивается как американский.
На более продвинутом уровне необходимо оценивать эффект перекоса. При приостановке паритета пут-колл опцион глубоко в деньгах подчиняется правилам досрочного исполнения, что в дополнение к эффекту временно́й структуры изменяет перекос.
Мастер опционов: непростой вопрос
В одном из известных финансовых институтов руководитель трейдеров по свопам, проводя собеседование с запуганным кандидатом со степенью MBA, задал такой вопрос:
«Предположим, евродоллары ограничены на уровне 100,00 и не могут торговаться выше. Когда рынок приближается к 100,00, какой будет цена 100 коллов?»
«Ноль», – ответил кандидат.
«Правильно. Это хороший ответ. А что скажешь о путах?»
(Продолжительное молчание.)
«Ну, – заключил трейдер по свопам, – ты провалил мой тест, пут должен торговаться на нуле. Разве ты не понимаешь правила паритета пут-колл? Пожалуй, тебе стоит попробовать себя на производстве или в бухгалтерии какой-нибудь компании».
Однажды трейдер по свопам столкнулся с равным себе в лице друга автора, трейдера-ветерана, специализирующегося на количественном анализе (довольно редкое занятие). Трейдер по свопам и ему задал свой вопрос на засыпку, на что ветеран ответил:
«Ваш вопрос не имеет смысла. Если вы считаете, что рынок евродолларов не может подняться до 100 (ставки в этом случае опустятся до нуля), то в ваших рассуждениях есть изъян. Рынок может приблизиться по доходности к 0, но волатильность тогда будет такой, что для достижения этого состояния потребуется вечность.
Потом, может быть и худший вывод. Рынок, который достигнет 100 (если предположить, что он там ограничен), будет мертв и на нем не будет никакой волатильности.
Этому есть много объяснений. Если посмотреть с позиции трейдинга, то рынок, который достигает 100, сам по себе становится бесплатным опционом. Трейдеры смогут продавать базовый актив по 100,00, зная, что это будут бесплатные деньги. Здесь можно участвовать в коррекции без возможного ралли! Зная, что на рынке есть какая-то волатильность, трейдеры станут продавать ее из расчета цены базового актива 99,99, таким образом заплатив тик за опцион и т. д. Тогда рынок остановится на цене, где ваш колл будет стоить больше нуля.
Если говорить математическим языком, то рынок, где сделки идут по цене 100, будет дегенеративным, что делает ваш вопрос о путах и коллах излишним».
Количественный трейдер не получил эту работу (к его счастью). Но трейдер по свопам перестал с той поры задавать на собеседованиях этот вопрос.