Экзотические опционы: трейдинг и хеджирование
Часть III этой книги посвящена главным образом рискам основных экзотических опционов для трейдера, занимающегося динамическим хеджированием (и информированного клиента). Не докучая читателю нудным перечислением всех имеющихся инструментов, мы сосредоточимся на обсуждении методов хеджирования, связанных с разложением рисков на отдельные блоки.
Риск-менеджеры, никогда ранее не занимавшиеся трейдингом, узнают следующее.
● Чтобы понимать риски любых опционов мягкой последовательности цен, нужно хорошо разбираться в американских бинарных опционах и моментах остановки. Как правило, те, кто отвлекается на другие аспекты (в основном из области ценообразования), не имеющие прямого отношения к делу, совершают роковую ошибку.
● К пониманию мультиактивных опционов необходимо подходить с точки зрения матричного анализа и кросс-гамм, на интуитивном уровне рассматривая ковариационную матрицу как матрицу волатильности. Кроме того, любая структура может стать мультиактивной за счет хеджирования на корреляции.
● Понимание неоднородных по времени рисков требует умения ориентироваться в календарных спредах и знания особенностей форвардной волатильности, а не копания в отсроченных опционах и других малозначимых разновидностях опционов.
В этой части книги мы не будем много говорить об азиатских и лукбэк-опционах. Азиатские опционы – это лишь частный случай применения метода корзины (опционы корзины мы рассмотрим в свое время), а лукбэк-опцион можно считать частным случаем барьерного опциона.
Наконец, необходимо подчеркнуть, что научиться работать с экзотическими опционами обычно легче трейдерам, имеющим хорошую базовую подготовку и системные знания о ванильных опционах пут и колл. Торговля обычными опционами позволяет глубже понимать недостатки распределений. Речь идет о так называемом сложном трейдинге с использованием простых инструментов (в противовес простому трейдингу с использованием сложных инструментов).
Глава 17Бинарные опционы: европейский тип
Опционы с простым ценообразованием (например, бинарные) трудно хеджировать. Опционы со сложным ценообразованием (например, азиатские) хеджировать чрезвычайно легко.
Две следующих главы посвящены вопросам торговли опционами ставки. Читателю придется прочесть эти главы до конца, иначе он не сможет понять, что такое барьерные опционы. Чтобы дело шло быстрее, рассмотрим для начала европейские бинарные опционы, поскольку, прежде чем перейти к американским бинарным опционам, необходимо прочно усвоить понятие «пин», усложняющее понимание такого трудно рассчитываемого и крайне изменчивого параметра, как продолжительность опциона, или момент остановки.
Понятие «пин» настолько важно для понимания как теории, так и практики торговли опционами, что автор учитывал его с самого начала работы над этой книгой. Он также организовал предыдущие главы таким образом, чтобы снабдить читателя инструментами управления рисками барьерной структуры. Однако тем, кто не боится работы, глубокие знания о барьерных и цифровых опционах обеспечат соответствующую подготовку в области управления рисками структур, которые трейдеры, торгующие экзотическими опционами, называют детской забавой.
Бинарные опционы – наверное, лучший полигон для трейдера, поскольку работа с ними дает глубокие знания в области продвинутого управления книгами опционов. Большинство экзотических структур и все ставки базируются на бинарных опционах. Последние также дают прекрасную возможность оценить навыки любого риск-менеджера: многим опытным риск-менеджерам, проваливающим экзамен по бинарным опционам, видимо, следует подумать о серьезной переподготовке.
Барьерные опционы также c трудом воспринимаются риск-менеджерами, обладающими лишь поверхностными знаниями об опционах. Парадоксально, но факт: трейдеры, не имеющие достаточного опыта, тоже неправильно трактуют эти опционы, хотя и балуются ими. В то же время начинающие трейдеры (часто более квалифицированные) прекрасно справляются с барьерными опционами. Эти инструменты всегда помогают автору отличить настоящего опытного риск-менеджера от нуждающегося в дальнейшей подготовке.
Европейские бинарные опционы также называют цифровыми деривативами, опционами ставки и гэп-путами и коллами.
■ Бинарный опцион приносит единовременную выплату только в случае исполнения условий опциона. Бинарным он называется по аналогии с двоичной системой счисления (либо 0, либо 1): трейдер получает все или ничего, без промежуточных вариантов.
Из-за дискретного характера выплат бинарные опционы особенно трудно хеджировать, используя стандартные структуры, предполагающие непрерывные выплаты.
Противоположностью дискретных выплат, или гэп-выплат («все или ничего»), характерных для бинарного опциона, являются пандусные выплаты, характерные для обычного опциона. Различают американские и европейские бинарные опционы.
■ Европейский бинарный опцион – это ставка на то, что цена актива будет выше или ниже определенного уровня в момент экспирации. Американские опционы ставки – это опционы типа «если коснется». Такой опцион считается исполненным, если цена актива достигнет оговоренного уровня в любой момент в течение срока действия опциона. Соответственно, такие опционы труднее хеджировать.
Мы рассмотрим несколько разновидностей опционов – как американских, так и европейских. Европейские бинарные опционы предполагают только одну цену страйк, в отличие от американских бинарных опционов, которые могут быть типа «и/или». Двойных ставок в чистом виде не существует, поскольку европейская двойная ставка может быть построена как совокупность двух независимых опционов ставки.
Бинарные опционы присутствуют во многих структурах как европейского, так и американского типа. Опционы изменчивой премии представляют собой просто конструкцию из европейских ванильных опционов и опционов ставки, предполагающих выплату начальной премии, если опцион в деньгах.
Согласно представлениям, широко распространенным в кругах трейдеров, европейские ставки хеджировать легко, за исключением периодов, близких к экспирации, когда дельта резко возрастает, а цена спот приближается к цене страйк. Далее будет показано, что хеджирование в обоих этих случаях затруднено. Действительно, немало денег было впустую потрачено на текущее управление цифровыми опционами с длительным сроком действия.
Одна из причин, по которой трейдеры быстро учатся работать с опционами ставки, заключается в том, что дельта таких опционов ведет себя как гамма стандартного опциона.
У европейских опционов ставки проблему нередко создает нелинейность параметров, затрудняющая вега-хеджирование, особенно для динамических хеджеров.
На рис. 17.1 видно, что бинарный опцион – это короткая гамма и растущая (но умеренно) тета, когда опцион в деньгах, и длинная гамма и разрушаемая временем выплата, когда опцион вне денег. В состоянии при деньгах опцион теряет свою опциональность и работает как фьючерс. Эта особенность бинарного опциона – реверсия риска при достижении барьера, – несомненно, облегчает хеджирование с помощью ряда асимметричных инструментов. Ниже будет показано, что оптимальный хедж для барьерного опциона – узкий спред в диапазоне, учитывающем эффект перекоса. Как правило, при ценообразовании барьерных опционов следует принимать во внимание асимметричную структуру рынка. На товарном рынке, который становится волатильным после распродажи и выдыхается после ралли, асимметрия действительно весьма благоприятна, если цена барьерного опциона не включает компенсацию за этот дисбаланс (перепад волатильности, который мы называем перекосом).
Посмотрите внимательно (в микроскоп) на часть графика, где представлена длинная гамма (слева на рисунке).
Длинная гамма обусловлена локальной выпуклостью. Бинарный опцион имеет положительное плечо, когда он вне денег (трейдер рискует меньше, чтобы получить больше), и отрицательное плечо в противном случае (трейдер рискует больше, чтобы получить меньше). Если ставка на момент экспирации приносит $1, а в настоящее время стоит 1 цент, на графике будет наблюдаться выраженная выпуклость. Трейдер может получить 99 центов, а потерять только 1 цент. Это и будет структура с длинной гаммой.
На рис. 17.2 не видно серьезных трудностей в защите веги и гаммы бинарного опциона с помощью обыкновенных ванильных опционов. Однако по мере приближения к экспирации график начинает скользить в сторону пин-риска. На рис. 17.3 показана чувствительность к ценам по мере приближения экспирации. В узком сегменте график становится все ближе к вертикали, оставаясь горизонтальным в других сегментах.
Посмотрите на форму графика на рис. 17.3 и попробуйте найти профиль структуры, повторяющей такие выплаты. Первое, что приходит в голову, – это колл-спред.
Мастер опционов: еще несколько слов о реверсии риска
Реверсия риска, определение которой дается выше, относится к ситуациям, когда гамма и/или вега изменяют знак с положительного на отрицательный в одной точке.
Первоначально понятие «реверсия риска» применялось к такому инструменту защиты от риска, как «ограда» (покупка коллов вне денег, финансируемая за счет продажи путов), но вскоре трейдеры начали использовать его для обозначения асимметричного риска опционной позиции. Его стали понимать как третий момент.
Для букраннера реверсия риска – это переключение риска в одной точке. Лучшее определение реверсии риска на сегодняшний день[189]: «Это все равно что застраховаться от засухи, финансируя страховку за счет страхования от наводнения».
На рис. 17.4 представлен колл-спред, где у оператора длинный страйк 100,00 и короткий страйк 100,01.
Рис. 17.4 отличается от рис. 17.3 шкалой. Формы графиков очень похожи. Это говорит о том, что бинарный опцион – на самом деле замаскированный колл-спред. Он обладает всеми соответствующими характеристиками: длинной гаммой там, где она доминирует благодаря близости длинной ноги (ниже длинной ноги), и короткой гаммой там, где она доминирует благодаря близости короткой ноги (выше короткой ноги). Таким образом, микроскопический колл-спред – это длинная гамма ниже 100 и короткая гамма выше 100. Как и в обычном опционе, гамма ослабевает по мере удаления от цены страйк, и комбинация достигает пика при определенном уровне цены спот. Между этими точками позиция выглядит как реверсия риска.
Для понимания сходства двух позиций чрезвычайно важна следующая дополнительная информация: оба опциона являются европейскими, не зависят от последовательности цен и истекают одновременно. Поскольку разница только в шкале, увеличение размера одной позиции должно полностью воспроизводиться другой.
Следующий шаг – расчет номинальной стоимости колл-спреда, пригодного для хеджирования барьерного опциона.
Предположим, что выплата по барьерному опциону составляет $100 за единицу, если ставка сыграла, и ничего, если она не сыграла. Следовательно, количество единиц колл-спреда должно быть таким, чтобы один тик соответствовал $100. Для этого трейдеру достаточно ничтожно малого количества единиц колл-спреда – 10 000. Такая репликация, однако, будет эффективной везде на карте возможных риск-нейтральных результатов только при отсутствии области, в которой нельзя следовать за другой ногой. В рассматриваемом примере трейдер выбрал рынок, двигавшийся неделимыми тиками 0,01. Если бы рынок двигался с дискретными приращениями 0,05, это облегчило бы задачу трейдеру, поскольку реплицирующее количество единиц было бы меньше (2000 единиц).
Мастер опционов: деление тика
Биржи запрещают нарезать тики и использовать меньшие приращения.
Если бы они этого не делали, трейдеры могли бы торговать более мелкими единицами путем деления сделки. Представьте, что рынок двигается с минимальным приращением 0,01. Покупка 50 лотов по 100,00 и 50 лотов по 100,01 у одного и того же продавца была бы своего рода жульничеством, поскольку среднее значение составило бы 100,005.
Биржи не запрещают покупать по двум разным ценам; незаконными считаются лишь сделки с намерением разбить тик на более мелкие ценовые приращения. Незаконно говорить трейдеру: «Я куплю у вас что-то по 100,01, если вы также продадите мне что-то по 100,00».
При непрерывном во времени финансировании реплицирующие сделки пришлось бы проводить в бесконечно больших объемах при бесконечно малой разнице между ценами страйк, чтобы должным образом хеджировать книгу. Но рынки не торгуют непрерывно, пускай даже лишь ради соблюдения условностей, поскольку существует установленное минимальное приращение цены, называемое тиком. На биржах такое приращение устанавливается официально, и сделки с меньшими приращениями цены запрещены (см. врезку «Мастер опционов: деление тика»). На внебиржевых рынках это правило – дань этикету и результат договоренности, поскольку большинство дисплеев и систем не настроены на обработку значений менее установленного минимального приращения. На некоторых рынках трейдеры считают абсолютно недопустимым показывать цену со слишком малым приращением (менее 1/100).
Важно понимать, оговаривается ли в контракте опциона ставки достижение ценой уровня «выше» или «не ниже» цены страйк. Это условие выражается с помощью математического символа > или ≥. Разница незначительна, но она влияет на репликацию. Если ставка определена как «я плачу, если цена актива достигает 100 и более», то колл-спред должен определяться как длинный с ценой страйк 99,99 и короткий с ценой страйк 100. Если ставка определена как «больше 100», репликация потребует длинного колл-спреда с ценой страйк 100 и короткого с ценой страйк 100,01.
Еще один важный момент – сроки выплат. Некоторые ставки, особенно вне денег, продаются как опционы, где покупатель сразу же выплачивает премию и получает выплату, если актив достигает оговоренного значения ставки при экспирации. Другие опционы ставки деноминируются как опционы, где платит проигравшая сторона. Единственное различие между этими двумя разновидностями ставок заключается в дисконтировании премии.
■ Ставка спот – это ставка, по условиям которой одна из сторон сразу же платит премию и получает выплату, если ставка сыграла.
Форвардной называют ставку, по условиям которой стороны рассчитываются в конце. Соответственно, сторона, выплачивающая начальную премию, условно считается покупателем. Ниже приведены примеры.
● Ставка, по условиям которой одна из сторон платит $50, если цена спот окажется выше 100 в пятницу после Дня благодарения, и получает $50, – это форвардная ставка.
● Ставка на результат теннисного матча, как правило, является форвардной.
● Нота, по которой выплачиваются 6 %, если Мексика останется выше диапазона, и 5 % в противном случае, – это ставка спот. Держатель ноты через уменьшенный купон платит за ставку заранее.
● Контракт, по условиям которого одна из сторон платит другой 10 центов и получает $1, если Федеральная резервная система на следующем заседании снизит ключевую ставку, – это ставка спот.
Таким образом, анализ не составляет труда, за исключением следующих случаев:
● Форвардная ставка оценивается как форвард.
● Ставка спот имеет одну ногу, оцениваемую вначале (начальная выплата), и одну ногу, оцениваемую как форвард (получаемая выплата).
Автор этой книги постарался свести к минимуму использование арифметики простых процентных ставок. Соответственно, читатель должен представить (на какое-то время), что процентные ставки равны нулю, и сосредоточиться на более важных и интересных вещах.
Ставкой колл принято называть контракт, по условиям которого одна из сторон делает ставку на то, что на момент экспирации цена актива будет выше цены страйк. Ставка колл для одной стороны – это ставка пут для другой стороны.
Также принято считать, что ставки котируются в процентах от общей суммы на кону. Если конечная выплата составляет $1, то ставка, оцениваемая в 25 центов, соответствует спотовым или форвардным расходам в размере 25 центов. Если конечная выплата составляет $500, эти расходы возрастают до $125.
Ценообразование с учетом перекоса волатильности
Хотя репликация важна с точки зрения анализа структуры опциона и понимания ее теоретической стоимости, она не всегда целесообразна, если учитывать все транзакционные издержки. Автор этой книги ни разу не слышал, чтобы кто-либо реплицировал бинарные опционы узкими спредами.
Поскольку для большинства рынков характерен перекос волатильности, а бинарные опционы чувствительны к нему, при ценообразовании приходится делать соответствующую поправку. Если минимальный тик оставляет 0,01, опцион будет чувствителен к возникающей из-за перепада волатильности разнице в перекосе между значениями 100 и 100,01. Это не шутка: если между ценами страйк существует даже микроскопическая разница перекоса волатильности, при больших объемах, требуемых спредом, такой перекос существенно снизит теоретическую стоимость последнего.
Заложить в цену эффект перекоса волатильности можно, подумав о расширении реплицирующего портфеля и увеличении его объема. Предположим, что между 99,5 и 100,5 страйками с тем же сроком, что и у бинарного опциона, наблюдается перепад волатильности 0,5 пункта. Влияние перекоса на структуру должно быть эквивалентно долларовому влиянию перекоса на реплицирующий портфель. Оно рассчитывается следующим образом.
Предположим, у трейдера есть 3-месячная ставка, по условиям которой он получает $100, если рынок будет выше 100 (для простоты примем, что процентные ставки равны нулю, а волатильность – 15,7). Цена, рассчитанная по формуле Блэка–Шоулза–Мертона, составляет 49,6. Реплицирующий спред 99,5/100,5 будет примерно равен ставке, умноженной на 100, если предположить, что в этом воображаемом мире рынок движется с очень большими приращениями в 1 пункт. Это предположение необходимо, чтобы исключить возможность остановки рынка между ценами 99,5 и 100,5, т. к. в этом случае реплицирующий портфель не будет соответствовать бинарному опциону. При цене, рассчитанной по формуле Блэка–Шоулза–Мертона для колл-спреда, цена ставки должна быть близкой к 49,6 (в рамках этой дискуссии мы не будем подробно обсуждать небольшую риск-нейтральную разницу между ценами обоих инструментов). Поэтому в идеальном мире только однодолларовых движений рынка можно считать, что трейдер хеджировался.
Но на рынке наблюдается перекос волатильности. Рассмотрим это на упрощенном примере.
Предположим, колл-спред торгуется по 0,69, потому что 99,5 колл торгуется на 1 пункт волатильности выше, чем 100,5 колл. Это означает, что для компенсации перекоса бинарный опцион должен стоить дороже и торговаться по $69 (а не по $49,6 по формуле Блэка–Шоулза–Мертона). Готов ли кто-нибудь поставить столько на то, что цена спот при экспирации будет выше? Эти цифры говорят о том, насколько серьезно перекос волатильности может влиять на барьерный опцион.
Возникает противоречие. Ставка торгуется с вероятностью того, что цена актива в конце концов окажется выше уровня ставки. Расхождение между дельтой и ставкой будет объяснено позже; сейчас важно отметить, что перекос волатильности (любой перекос) заставляет два элемента расходиться. Это расхождение ведет к более сложному представлению о парадоксе перекоса волатильности.
На практике, однако, перекос волатильности не будет столь выраженным, как в рассмотренном выше примере, за исключением лишь, может быть, случаев смещенных активов или опционов на S&P100 после всплеска паники. Нормальный перекос волатильности (для хорошо работающих активов) варьирует между 0,5 и 3 пунктами и при разнице между 0,25 дельты колла и 0,25 дельты пута (т. е. между 75-дельтовым коллом и 25-дельтовым коллом). При интерполяции перекоса волатильности на 2 пункта 3-месячный опцион демонстрирует перекос около 0,12 при волатильности 15,7 для разности значений 99,5 и 100,5 (поскольку разница между 0,06 дельты и 0,5 дельты вызывает отклонение на 2 пункта). Влияние перекоса 0,12 на цену колл-спреда составляет 0,025, что увеличивает разницу между ценами страйк с 0,49 до 0,524. Соответственно, с помощью реплицирующего портфеля цена опциона ставки может возрасти с $49,6 примерно до $52,4. Этого, однако, вполне достаточно, чтобы предостеречь трейдеров от потенциально ошибочного ценообразования.
Мастер опционов: карта репликации
Два опциона, не зависящие от последовательности цен, должны стоить одинаково, если они предполагают одинаковые выплаты везде на карте возможных цен (в соответствии с принципом стохастического доминирования).
Независимость от последовательности цен, или пути, означает, что с такими опционами следует работать, обращая внимание исключительно на дату экспирации. Об этом говорилось выше при объяснении того, как опционы, не зависящие от последовательности цен, при динамическом хеджировании становятся зависимыми. В данном случае речь идет о статических, а не о динамических хеджах.
При репликации бинарного опциона колл-спредом следует обращать внимание на предельные случаи. Колл-спред работает за пределами страйков, а не внутри. Таким образом, чем более узкий колл-спред, тем совершеннее репликация.
Колл-спред как предельное разложение бинарного опциона всегда будет стоить дороже – его цена всегда выше на небольшую величину, стремящуюся к нулю по мере сужения приращений.
Верификация. Расширение приращений для покрытия спреда на 50 дельт (т. е. котирующегося эквивалентно реверсии риска на 25 дельт) обуславливает следующие цены страйк: 95,7 и 105,4, т. е. отстоящие друг от друга на 9,7 пункта. Следовательно, чтобы получить $100, придется исполнить 9,52 спреда по хеджу, если ставка сыграет (если рынок поднимется выше 105,4), и потерять премию, выплаченную за спред, если рынок опустится ниже 95,7. С учетом перекоса волатильности цена ванильного колл-спреда составит $52,3, в то время как его цена по формуле Блэка–Шоулза–Мертона (при использовании одинаковой волатильности для обеих ног) будет равна $49, т. е. справедливой стоимости ставки без учета перекоса волатильности.
На уровне интуиции цена бинарного опциона может быть определена как риск-нейтральная (т. е. без учета среднего значения доходности активов в уравнении вследствие дельта-нейтральности) вероятность в итоге оказаться в деньгах. Если вспомнить рассмотренную выше концепцию идеальной репликации с помощью колл-спреда, то получим следующее уравнение:
где C – цена опциона колл, K – цена страйк бинарного опциона, h – разница между ценами страйк реплицирующего колл-спреда.
Это похоже на производную опциона колл по цене страйк[190].
Далее, если трейдер считает, что волатильность опциона колл является функцией h, то он получает функцию перекоса волатильности и механизм ценообразования.
Если перекос волатильности – функция K, т. е. σ(K), то наклон перекоса в точке K – это производная волатильности по цене страйк, как показано на рис. 17.5. Цена ставки составляет:
δC/δK + δC/σδ × σδ/δK = ставка (без учета отклонения) + вега ванильного колла с тем же страйком × наклон перекоса[191].
Пример. Спот торгуется на уровне 100. Для простоты примем, что процентные ставки нулевые. Рассмотрим 3-месячный 100 колл ставки. При сроке исполнения 3 месяца перекос волатильности между точками 99,5 и 100,5 увеличивается на 0,5 пункта. Наклон перекоса будет составлять 0,5/1 = 0,5. Вега колла ставки при деньгах со сроком исполнения 3 месяца составляет 0,19 на 1 пункт волатильности. Следовательно, цена ставки составляет 0,496 (цена, рассчитанная по формуле Блэка–Шоулза–Мертона при волатильности 15,7 %) + 0,19 × 0,5 = 0,591 за единицу, приносящую выплату при экспирации в случае, если ставка сыграла.
Задача. Читателю говорят, что рынок в любой день растет только с шагом $1 и падает с шагом $9 без другого возможного изменения цены. Такое движение показано на рис. 17.6. Девять из десяти шагов – вверх, один шаг – вниз. Во сколько читателю обойдется 1-дневный колл ставки при деньгах с выплатой в размере $1, если рынок завтра закроется выше сегодняшнего уровня?
Ответ: $0,90. Дело в том, что ставка зависит не от ожидаемой выплаты, а от ожидаемого количества раз, когда цена спот будет выше сегодняшнего уровня. Тот факт, что рынок серьезно падает, не играет роли. Выплата по опциону ставки одинакова при падении рынка и на $1, и на $50.
Как правило паритета пут-колл, так и использование рассмотренной выше концепции приводит нас к значению 0,1 для пута. Это объясняет перекос волатильности на интуитивном уровне и показывает разницу между ставкой и дельтой: последняя, в отличие от ставки, зависит от амплитуды движений, поскольку трейдер должен быть защищен от такой возможности.
Графически это можно представить так, как показано на рис. 17.7. Область A должна быть равна области B. Финансовые рынки накладывают ограничение на любую ценную бумагу, чтобы левый интеграл был равен правому плюс риск-нейтральный дрейф, что приводит к среднему риск-нейтральному дрейфу m.
Следовательно, m рассчитывается так:
где f(x) – выплата, p(x) – вероятность этой выплаты.
Это не означает, что одинаковое число наблюдений будет иметь место по обе стороны ограды. Дело в том, что для ставки важно количество наблюдений, а не ожидаемые значения каждого из них.
Поэтому ставка на то, что на определенную дату x будет выше m, рассчитывается просто:
Перекос в сторону увеличения потенциальной выплаты по левому интегралу необходимо компенсировать за счет сдвига математического ожидания вправо, чтобы предотвратить ситуацию, когда рынки обеспечивают короткому продавцу более высокую ожидаемую доходность, чем длинному держателю (так называемая концепция честной игры в кости) (рис. 17.8).
Почему дельта не является вероятностью исполнения опциона?
Просто потому, что дельта учитывает выплаты.
На графике асимметричного распределения (рис. 17.7) дельта является просто правым интегралом для колла и левым – для пута. Грубо говоря, вероятность оказаться в деньгах – это бинарный опцион.
Отличие тонкое. При геометрическом броуновском движении распределение смещено вправо (кумулятивный эффект логнормальности обсуждался в главе 7), и чем выше волатильность, тем сильнее сдвиг с ростом актива на постоянный процент. Чем выше волатильность, тем сильнее сдвиг вправо. Это приводит к росту дельты как средства защиты при хеджировании.
Рост волатильности сопровождается увеличением правой части распределения. При более высокой волатильности в распределении будет наблюдаться разбухание правой части, иллюстрирующее эффект логнормальности. В соответствии с рассмотренным выше принципом это приведет к увеличению риск-нейтральной частоты наблюдений слева согласно принципу честной игры в кости, действующему в окружающей среде (см. модуль B). Такое увеличение количества наблюдений требуется для компенсации разницы между выплатой справа и выплатой слева. Следовательно, цена ставки упадет.
Дельта учитывает как возможные выплаты, так и их частоту, в то время как бинарный опцион учитывает только их частоту.
Мастер опционов: ценообразование на европейские ставки
Ванильный опцион колл = хN [d1] – k Exp [–rt] N [d2].
Дельта = N [d1].
Бинарный спот колл = e–rtN [d2].
Бинарный спот пут = e–rt (1 – N [d2]).
Бинарный спот колл = N [d2].
Бинарный спот пут = (1 – N [d2]).
S – базовый актив;
r – ставка процента в валюте расчетов;
rf – доходность актива (курс зарубежной валюты или дивидендные выплаты);
K – цена страйк;
t – время до экспирации.
Мастер опционов (продвинутый): дельта Дирака
Дельта Дирака обычно используется как импульсная функция. Она облегчает трейдерам визуализацию поведения волатильности в момент времени вблизи какого-либо чрезвычайного события. Дневная волатильность при этом может оставаться на уровне, скажем, 16 %, но форвард-форвардная волатильность будет чрезвычайно высокой (в сотни или тысячи раз выше), что сделает ее трудноизмеримой.
Дельта-функция может быть упрощена следующим образом. Пусть e – наименьшая возможная единица, какую только можно представить. Площадь прямоугольника со сторонами 1/e и e составит 1, в то время как все окружающие его области будут иметь значение 0.
Упрощенно это можно представить так: δ(t) = 1/e для 0 <t<e; δ(t) = 0 в любом другом месте.
Дельта Дирака часто используется вместо гаммы в момент экспирации: кумулятивная гамма будет дельтой, но она явно очень велика в чересчур узко определенный момент экспирации. Это также относится к дельте бинарного опциона, близкого к истечению.
Математическое примечание. Парадокс двух валют заключается в том, что дельта одной стороны является бинарным опционом для другой, и наоборот. Это связано с неравенством Йенсена: ожидание 1/x (инвертированная цена) не является инверсией ожидания x, как показано в модуле C. Кроме того, для одной конкретной цены страйк дельта пута будет равна цене бинарного колла, и наоборот. Это может привести к бинарному парадоксу – невозможной ситуации.
● Для трейдера, чья валюта расчетов – доллар США, ставка в долларах на пару USD-DEM отличается по цене (в переводе на немецкие марки) от ставки в немецких марках на пару USD-DEM при той же цене страйк и том же сроке экспирации. Эта разница будет увеличиваться как по мере приближения экспирации, так и по мере роста волатильности.
● Причина проста: пусть N(d2) – цена ставки трейдера, чья валюта расчетов – доллар США. Тогда N(dl) будет ценой ставки трейдера, чья валюта расчетов немецкая марка, при переходе на другую валюту.
● Следствие парадокса немного тревожит: две позиции на двух континентах не могут быть заявлены по одной цене. Кроме того, два трейдера, торгующие по разные стороны от ограды, покажут прибыль или убыток на одной ноге.
● Ставки должны оцениваться с учетом перекоса волатильности на рынке с помощью описанного выше метода.
● Трейдер не должен обманываться явно низкими значениями гаммы и веги на начальном этапе.
● Лучшая репликация для цифрового опциона – широкая реверсия риска (включающая защиту от перекоса). Она позволит соблюсти баланс между транзакционными издержками и оптимальными хеджами. По мере приближения экспирации трейдеру следует постепенно сокращать разницу между ценами страйк. Поскольку такой оптимальный подход влечет за собой транзакционные издержки, слишком часто хеджироваться не следует.
● Когда до экспирации опциона ставки далеко, реальные риски связаны с перекосом волатильности. По мере приближения экспирации риски становятся пин-рисками. На практике перекос волатильности можно хеджировать, пин-риски – нельзя.
Как показано на рис. 17.9, дельта ставки выглядит как гамма стандартного опциона. Кроме того, она ведет себя и «кровоточит», как гамма такого опциона. Это происходит потому, что дельта – это почти ставка (в риск-нейтральной вселенной, если выражаться точнее). Поэтому дельта ставки будет гаммой.
Знакомство с дельта-функцией Дирака помогает понять динамику дельты. Дельта-функция Дирака – интересная функция, имеющая нулевое значение везде, кроме одной точки, но с интегралом по всей карте, равным 1. Аналогично, дельта в момент экспирации равна нулю везде, но ее интеграл по возможным движениям равен номинальной стоимости ставки.
Гамма ванильного опциона следует за дельтой Дирака на экспирации, но лишь немногие трейдеры воспринимают гамму в этот момент всерьез, поскольку это лишь производная экспозиции. Однако, когда речь идет о бинарных опционах, громоздкая дельта вызывает некоторую озабоченность, потому что многие трейдеры хеджируют ее базовыми активами, когда ликвидность рынка позволяет это сделать.
Дельту можно рассматривать как количество, которое требуется купить, чтобы покрыть расходы при каком-либо движении базового актива. Поскольку трейдер знает, сколько денег нужно сделать на конкретном движении, это понятие становится почти тривиальным. Однако по мере приближения экспирации количество, которое необходимо купить, будет близким к нулю в областях, не пересекающих страйк ставки. Дельта ставки, однако, будет близка к бесконечности на одном очень узком отрезке вблизи цены страйк. На практике пример идеальной репликации все тот же: если бы рынку разрешалось двигаться только с шагом в один тик, между, скажем, 100,00 и 100,01, то дельта в этом интервале была бы в 100 раз выше величины выплаты по ставке (если сделка предполагает вариант «больше или равно»; в противном случае трейдеру придется создавать хедж между 99,99 и 100,00). Трейдер, ставящий $100, для покрытия риска должен будет иметь позицию по номинальной стоимости 100/0,01 = $10 000.
На рис. 17.9 показано, как по мере приближения экспирации опциона дельта концентрируется вокруг цены страйк. На рис. 17.10 показана ступенчатая функция цены ставки очень близко к моменту экспирации. На рис. 17.11 приведена дельта Дирака – производная функции, представленной на рис. 17.10.
Поскольку дельта ставки схожа с гаммой опциона, не исключено, что гамма ставки будет схожа с DgammaDspot (гаммой гаммы), или производной третьего порядка от функции цены спот. Интересно было бы увидеть, как торговля экзотическими опционами может помочь трейдеру больше узнать о поведении стандартных инструментов.
Как и гамма ванильного опциона, гамма ставки более пологая и устойчивая, когда до момента экспирации далеко (рис. 17.12 и 17.13).
Выводы: Статистический трейдинг или динамическое хеджирование?
Итак, мы пришли к выводу, что хеджировать бинарный опцион с помощью опциона с непрерывными выплатами чрезвычайно трудно из-за обременительных транзакционных издержек. Даже при минимальных приращениях можно использовать статическое хеджирование, которое идеально соответствует выплате бинарного опциона, но оно нецелесообразно и неисполнимо. Поэтому для хеджирования лучше не использовать структуры, способные нанести серьезный ущерб, при приближении к экспирации.
Хеджировать опцион ставки только дельтами должно быть проще, и иногда даже дисперсию прибыли/убытка можно уменьшить, но не устранить. В некоторых случаях она даже возрастает. Тем не менее легко «охотиться» за дельтой, т. е. перехеджировать ее, – в зонах, где для трейдера существует угроза убытков, превышающая его готовность к риску. Поэтому, если ставка 102 является для него проблемой, он может купить больше дельт по 101 и принять риск нового падения рынка. Стратегия покупки по 102 непосредственно перед барьером обеспечит дополнительный рост прибыли/убытка, и полученные средства можно будет пустить на покрытие транзакционных издержек, возрастающих в области вокруг цены страйк. «Охота» на дельту ни увеличивает, ни уменьшает суммарный доход. Она лишь сглаживает прибыль/убыток вокруг барьера за счет небольшого падения по мере удаления от него.
Управление некоторыми бинарными опционами – например, ставками – иногда лучше предоставить банкам. Они, как и страховые компании, способны выживать при определенном уровне локального риска, который можно устранить за счет диверсификации. Хорошая новость о бинарных опционах такова: их самые неблагоприятные сценарии немногочисленны и поддаются диверсификации. Их вега исчезает, когда они приближаются к положению в деньгах, обеспечивающему серьезную защиту. Загвоздка в том, что в таких случаях из-за отсутствия дельта-нейтральности трейдеры должны оценивать ставки с помощью не риск-нейтрального, а собственного субъективного распределения. На рис. 17.14 показаны различные стратегии хеджирования и оценки опционов, доступные институциональным игрокам.
Многие нефинансовые ставки, например на политические события, носят бинарный характер и не оставляют выбора: они не поддаются непрерывному хеджированию. Многие банки выпускают долговые обязательства, выплаты по которым привязаны к политическим событиям или решениям Федеральной резервной системы по ключевой ставке (например, ноты, представляющие собой ставки на снижение ключевой ставки). Именно потому, что для бинарных опционов характерны дискретные выплаты, они легко адаптируются к таким нефинансовым и неторгуемым ставкам.
Таким образом, трейдер может принять на себя пин-риск, если суммы на кону не опасны для жизни. Его задача – сделать их количество достаточным, чтобы они были «статистическими», т. е. чтобы дисперсия зависела от количества ставок. В противном случае трейдер должен в меньшей степени опираться на статистический подход и в большей степени – на репликационный.
Конкретный пример: Бинарные пакетные опционы с изменчивой премией
Эта комбинация рассматривается, несмотря на простоту конструкции, чтобы проиллюстрировать использование бинарных опционов в пакетах.
■ Опционы с изменчивой премией – это ванильные опционы, по условиям которых покупатель платит цену опциона только в случае, если он в деньгах.
Соответственно, такие опционы могут быть построены с помощью простых опционов и форвардных ставок на сумму премии.
Это похоже на бесплатный обед, но с одной оговоркой: вокруг цены страйк образуется область отрицательной доходности, как показано на рис. 17.15. Держателю опциона так или иначе придется заплатить премию за опцион, если он немного в деньгах, и эта сумма, если опцион изначально в деньгах, будет вдвое больше той, которую он заплатил бы за стандартный опцион. Иными словами, единственный способ потерять деньги на такой торговле – оказаться «немного правым».
Технически такой опцион обычно состоит из стандартного опциона и бинарного опциона, где номинальная стоимость ставки соответствует начальной премии.
Показания к применению: Угроза девальвации
Как правило, опцион с изменчивой премией используется при арбитраже на распределении. Трейдер может иметь опцион с изменчивой премией и с ценой страйк на уровне, где, по его мнению, существует отражающий барьер (например, валютный коридор) или официально установленные ограничения на движение актива. Идея состоит в том, что, если цена пробьет этот уровень, рынок больше не будет поддерживаться государством, и девальвация приведет к тому, что опцион окажется четко в деньгах.
На рис. 17.16 представлена карта рынка при мощном прорыве уровня интервенции.
Другой интересный вариант применения опционов с изменчивой премией связан с сильно смещенными активами (движения вниз редки, но акцентированны). Чтобы выиграть при стремительном падении рынка, трейдер может структурировать позицию с помощью опциона изменчивой премии пут в деньгах.
Наконец, использовать эту структуру можно на рынках с толстыми хвостами, на которых акцентированы движения в любом направлении, что делает промежуточные движения довольно редкими.
Конкретный пример: Бетспреды
Бетспреды – это простые бинарные колл- или пут-спреды. В них нет ничего загадочного, т. к. они представляют собой структуру, приносящую определенную сумму, если цена акций оказывается между страйком 1 и страйком 2, и не приносящую ничего в других случаях.
С точки зрения трейдинга эти опционы напоминают бабочек с четырьмя страйками или кондоров, когда бинарный опцион ставки аналогичен колл-спреду.
Хотя в этой книге мы не рассматриваем отдельные стратегии, бетспреды заслуживают некоторого внимания. Изучение бетспредов может много дать трейдеру в области управления книгой бинарных опционов. Если бинарный опцион по конструкции предполагает реверсию риска, то бетспред по конструкции предполагает двойную реверсию риска. Это обнадеживает, поскольку риск позиции может быть сдвинут вниз к одному моменту распределения, как показывает представленный ниже анализ.
Бетспред сроком на 6 месяцев, приносящий $1 в случае, если актив в конечном итоге окажется между уровнями 100 и 105, будет выглядеть как показано на рис. 17.17.
Со временем цена бетспреда, естественно, приближается к конечной выплате, и риск становится актуальным. Рис. 17.18 и 17.19 иллюстрируют влияние времени на цену конструкции.
На основании этого можно сделать вывод, что лучший хедж для бинарного опциона – это такой же бинарный опцион.
Рассмотрим гаммы. На рис. 17.20 показана гамма бетспреда. Сравните этот рисунок с рис. 17.12 (гамма ставки). Концепция реверсии риска (третий момент), по-видимому, заменена нестабильностью пятого момента, что в данном случае предпочтительно.
«Гармошка», представленная на рис. 17.21, – это серия бетспредов.
Вывод: опционы ставки хеджировать легче, чем стандартные опционы, т. к. асимметрия вег может быть уменьшена с помощью трейдинга другого опциона ставки.
Ставку, которая выигрывает, если любой из двух товаров на момент экспирации оказывается выше или ниже определенного уровня, называют мультиактивной.
В качестве упражнения читатель может изучить воздействие корреляции на структуру, представляющую собой две ставки типа «или-или», используя методику, рассмотренную выше в этой главе и в главе 22. Чтобы оценить эту структуру на уровне интуиции, можно представить себе цену предельного разложения радужного колл-спреда.