Бинарные опционы: американский тип
Адам К., один из величайших опционных трейдеров всех времен (и один из умнейших людей), обратился к автору со следующей просьбой: «Я слышал, вы ведете четырехдневный семинар по хеджированию экзотических опционов. Не могли бы вы провести его персонально для меня завтра за ланчем? Мне нужно только "мясо". Я, знаете ли, слишком нетерпелив, чтобы вдаваться в детали».
■ Американский бинарный опцион (он же цифровой) – это обычный опцион ставки, отличающийся только тем, что ставка выигрывает не тогда, когда цена актива оказывается ниже или выше определенного уровня, а когда она касается его.
Согласно определению, американский бинарный опцион – это опцион последовательности цен (рис. 18.1). Трейдер не может отправиться в продолжительный отпуск, а в день экспирации вернуться и выполнить свои обязательства по опциону, поскольку тот может быть исполнен в любой момент в течение срока его действия.
Первое бросающееся в глаза отличие американского опциона ставки от европейского – это его цена. Поскольку американский опцион ставки имеет по крайней мере такие же шансы оказаться выключенным, как и сыграть, он обходится покупателю дороже, чем европейский опцион ставки, причем на всех этапах (как правило, в два раза)[192]. Покупатель – это лицо, получающее выплату, если цена актива коснулась оговоренного уровня. Американский опцион ставки, таким образом, стоит дороже европейского, и поэтому риск того, что ставка не сыграет, для продавца намного выше.
Мастер опционов: принцип загрязнения и барьерные опционы
Если существует точка, т. е. барьер, в которой появляются положительные прибыль/убыток (для покупателя означающие исполнение ставки), то данная позиция отличается длинной гаммой при плавно уменьшающихся значениях в соседних областях. Соответственно, начиная с этой позиции вега становится длинной.
Если из-за высокой стоимости поддержания позиции (см. раздел «Теорема Гирсанова» в главе 19) при исполнении ставки прибыль/убыток отрицательны, то в областях, близких к данной точке, гамма будет отрицательной.
Пример. Цена спот на уровне 100. Пусть волатильность составляет 15,7 %. Соответственно, цена европейской ставки на то, что цена спот при экспирации через 100 дней будет выше 105, составит 26 % номинальной стоимости опциона. Цена американской ставки составит 51 % номинала выплаты.
Другое отличие американского опциона ставки от европейского состоит в том, что из-за невозможности для него пересечь ограду (т. е. войти в деньги) для продавца он всегда будет характеризоваться длинной волатильностью. На интуитивном уровне нетрудно понять, что, в отличие от европейского, американский опцион ставки позволяет продавцу выигрывать от движения, если оно приближает опцион к деньгам. Если движение в одну сторону ведет к более высокой прибыли, то в соответствии с принципом загрязнения продавец выиграет и от движения в противоположном направлении.
В главе 17 было показано, что европейский бинарный опцион – это реверсия риска. Американский бинарный опцион, как правило (но не всегда), характеризуется монотонной гаммой (рис. 18.2).
Правило управления рисками: при отсутствии дрейфа (форвардные сделки в боковике с базовым активом) значение вег и гамм американского бинарного опциона никогда не меняется с положительного на отрицательное и наоборот. Он остается карманом локализованной длинной веги.
Вопрос о процентных ставках будет рассмотрен в главах 19 и 20. Положительная кривая может обуславливать отрицательную гамму вблизи цены ставки американского бинарного опциона и положительную гамму при удалении от нее. Правило управления риском следующее.
Правило управления рисками: американский бинарный опцион характеризуется положительной гаммой везде (для владельца, т. е. лица, получающего выплату в случае касания барьера), когда дельта-хедж по отношению к опциону обуславливает отрицательную стоимость поддержания позиции.
Под отрицательной стоимостью поддержания позиции в активе понимается следующее: форвардная цена в период t + 1 выше форвардной цены в период t (спот).
Правило управления рисками: профиль американского бинарного опциона выглядит как профиль реверсии риска (т. е. третий момент позиции, отличный от 0), если дельта-хедж владельца опциона приносит положительную стоимость поддержания позиции, превышающую временной распад того же бинарного опциона на тот же актив без дрейфа.
Интересная особенность американского бинарного опциона, подводящая нас к понятию момента остановки, состоит в том, что значение имеет прежде всего распределение ожидаемого времени до исполнения опциона. В каком-то смысле американский бинарный опцион – это ставка на время.
Понятие ожидаемого времени выхода в какой-то период рассматривалось в рамках теории вероятностей. Технические подробности и ссылки приводятся в модуле G. Этот вопрос также дополнительно рассматривается в главе 19.
Этот раздел представляет собой краткое руководство по управлению вега-рисками любых неванильных структур с вогнутой вегой.
В этом примере рассматривается попытка хеджирования следующего опциона: ставка 105 типа «касание», выплата $1 за единицу в момент исполнения. Трейдер из Национального банка веги из-за уродливой структуры, которой, если он ничего не предпримет, грозит превращение в стрип-опцион и хеджирование, открывает длинную позицию в американском опционе ставки 105 на $10 млн. Спот на уровне 100, и, как обычно, форвард торгуется в боковике (флэте). Волатильность, как и в большинстве примеров, составляет около 15,7 %, что соответствует 1 %-ному дневному движению за день при 252 днях в году. Опцион ставки истекает ровно через 100 дней, начиная с текущего момента. «Справедливая» цена (которую лучше было бы назвать несправедливой) составляет 54,7 % (т. е. $5 470 000).
Покупая, трейдер имеет такую же позицию, как если бы у него был длинный колл-спред с длинной дельтой. Кроме того, поскольку он делает ставку на движение цены спот, у него будет длинная волатильность.
Первое, что приходит на ум, – дельта. Трейдер хеджирует ее путем продажи эквивалента 8 % номинальной стоимости ценной бумаги, а именно $800 000.
В табл. 18.1 и на рис. 18.3 представлены три получившихся ноги сделки: прибыль/убыток для бинарного опциона, для дельты и для конечного итога. Как показано на рис. 18.3, позиция отличается умеренно длинной гаммой. Однако после прохождения барьера гамма исчезает. Кроме того, трейдеру нужно быстро закрыть позицию. Как показано на рис. 18.3 и ниже во врезке «Мастер опционов: гэп-дельта», выплаты носят дискретный характер. Если трейдер вовремя не поймает рынок, хедж не сработает из-за фактора проскальзывания.
Рис. 18.4 иллюстрирует влияние времени на два уровня цены актива. С течением времени гамма растет вблизи барьера и уменьшается во всех других областях. В точке 103 (в 2 пунктах от барьера) наклон временно́го распада выражен намного сильнее, чем в точке 100 (в 5 пунктах от барьера). Поскольку временной распад и гамма движутся неразрывно, читатель может заключить, что с течением времени гамма вблизи барьера будет расти.
На рис. 18.5 представлена исходная позиция с меньшим количеством дней до экспирации, демонстрирующая влияние времени. Излишне говорить, что по мере приближения экспирации гамма позиции растет. С течением времени возникает проблема: ставки возрастают при приближении к барьеру.
Мастер опционов: гэп-дельта (I)
Гэп-дельта – это разница в значении дельт вблизи конкретного барьера. Трейдеру необходимо закрыть определенное количество дельт, использовавшихся для хеджирования барьерной структуры, путем сбрасывания этого количества на рынке по определенной цене.
Из-за проблем с ликвидностью трейдеру не гарантировано получение точной целевой цены. Попытка исполнить опцион перед барьером тоже опасна, т. к. она увеличивает риск срабатывания «ложного триггера» (создает ситуацию, в которой рынок торгуется возле барьера, а затем откатывается назад, не достигая его).
Разница между ценой, по которой трейдер избавляется от дельт, и барьером называется проскальзыванием (см. определение в главе 4). При приближении рынков к барьеру многих трейдеров поджидают неприятные сюрпризы. Неликвидные рынки могут оказаться порочными, поскольку вблизи конкретного барьера на них образуются дыры ликвидности (как показано в главе 4).
Работа с гэп-дельтой подробно обсуждается в других разделах книги – она заслуживает того, чтобы уделить ей как можно больше внимания.
Прибыль/убыток не считываются между двумя датами на графике на рис. 18.5. Они соответствуют возвращению к исходной позиции 100 в день истечения опциона. На отметке 100 все значения прибыли/убытка должны быть равны нулю, что не позволяет пользователю сравнивать две даты, но дает возможность визуализировать прибыль/убыток на одну дату. Эта проблема несопоставимости объясняется во врезке «Мастер опционов: о чем говорит поведение графика во времени».
Примечание. Предположим, что после достижения барьера трейдер не закрыл свою дельту на рынке. Это приведет к резкому падению прибыли/убытка, поскольку в момент исполнения бинарный опцион перестает генерировать положительные прибыль/убыток, а дельта по-прежнему обуславливает его отрицательный рост.
На рис. 18.5 видно, что сразу после экспирации дельта вблизи цены страйк растет. Соответственно, трейдер должен продать актив во время ралли.
Мастер опционов: о чем говорит поведение графика во времени
В отличие от многих функций, без труда проецируемых во времени, позицию опциона следует анализировать, памятуя о том, что между периодами рынки не стоят на месте и что трейдеры – не чучела птиц. Позиции меняются, и трейдеры соответствующим образом реагируют на изменения.
График, представляющий ту же позицию месяц спустя, не позволяет точно прогнозировать прибыль/убыток, т. к. он не учитывает изменения, постоянно вносимые в опционную позицию.
Однако происходит следующее. Дельты создают множество требующих решения потенциальных проблем. Количество последних обуславливается тем, что при серьезном падении цены бинарного опциона требуется все больше и больше денег для закрытия позиции. Трейдеру придется выкупить то, что он продал. Чем выше дельта, тем больше ему нужно будет продать, а значит, тем больше выкупить. У кого? Скорее всего, у тех, кому он изначально продал.
Кроме того, следует обратить внимание на одну потенциальную опасность. Что, если бинарный опцион не подешевеет? Прибыль/убыток, накопленные за счет создания временно́й стоимости бинарного опциона, начнут быстро сдуваться, обуславливая сильный временной распад.
Посмотрите на тот же график без возвращения на исходную позицию (рис. 18.6). Нетрудно сделать вывод, что гамма позиции с течением времени и, соответственно, по мере временно́го распада растет. Как мы видим, ближе к концу временной распад становится серьезной проблемой. Прибыль/убыток следует интерпретировать от позиции 100 до следующего пункта. Это предполагает дельта-хеджирование на эту дату и по цене 100 без последующего хеджирования до тех пор, пока не будет преодолен барьер. Таким образом, позиция 10-го дня становится дельта-нейтральной на значении дельты 10-го дня, которое значительно ниже значения дельты 70-го дня. Если бы это было не так, цена ставки вела бы себя иначе.
С помощью того же графика, но без дельта-хеджирования, можно получить и другую информацию.
Рис. 18.6 немного отличается от рис. 18.5. Отличие совсем незначительное. На рис. 18.5 30-дневная кривая располагается ниже как 10-дневной, так и 70-дневной из-за дельта-нейтральности на уровне 100.
Рис. 18.7 дает наглядное представление о реальных рисках. Чем больше времени до экспирации опциона, тем более пологим становится наклон отношения цены актива к стоимости опциона и тем ниже риски. Когда до экспирации остается мало времени, торговля безопасна вдали от страйка и рискованна рядом с ним. На рис. 18.8 показана соответствующая гамма.
Первое, что бросается в глаза на рис. 18.9, – это сближение графиков в крайних областях. Хотя любой опционный трейдер знает, что вега опциона уменьшается по мере удаления от цены страйк, эта тенденция, видимо, сильно преувеличена. Более того, у барьера вега полностью исчезает.
Этот эффект нетривиален. В связи с ним встает вопрос о том, как хеджировать вегу американского бинарного опциона с помощью инструментов, не исчезающих у барьера. Предпринималось (без особого успеха) немало попыток так называемой репликации статических опционов и поиска структуры, способной повторять выплаты на всем протяжении и устранять пин-риск.
Понятие вега-выпуклости лучше всего иллюстрируется с помощью создания портфеля с длинной вегой бинарного опциона и короткой вегой других инструментов на рынке, демонстрирующем линейную чувствительность к подразумеваемой волатильности.
Прежде всего посмотрите, как изменение волатильности влияет на структуру, представленную на рис. 18.10.
Читатель может видеть, что функция представляет собой вогнутую кривую. По мере роста волатильности цена растет, но темпы роста снижаются. Это значит, что, если трейдер пойдет вега-нейтрально против структуры, он в конечном итоге получит короткую волатильность волатильности, или, иначе говоря, короткий четвертый момент. Опыт трейдера подсказывает, что худший момент для короткой позиции – это как раз четвертый момент, поскольку, в отличие от третьего момента (перекос волатильности), здесь, как правило, не происходит четкой компенсации за понесенные риски. При использовании моделей постоянной волатильности цены на рынке не учитывают такую экспозицию.
Начиная с волатильности 15,7 трейдер решает хеджировать вегу с помощью инструмента той же официальной продолжительности. Поэтому он продает достаточно волатильности, чтобы стать «вега-нейтральным», т. е. добиться небольших колебаний волатильности.
На рис. 18.11 показана вогнутость графика волатильности. В основном она обусловлена сокращением времени первого выхода по мере повышения волатильности. Чувствительность веги снижается, когда трейдер приближается к триггеру. Такая вогнутость меняется в соответствии с изменением положения рынка относительно барьера. На рис. 18.12 показана вогнутость вблизи барьера, более выраженная, чем на рис. 18.11.
Итак, мы рассмотрели следующие риски.
● Риск продолжительности. Барьерный опцион – это ставка на продолжительность. При сдвигающейся кривой волатильности ванильные опционы не хеджируют от сдвигов, удлинения и укорочения структуры. О статической репликации опционов сказано достаточно.
● Гэп-риск. Риск того, что придется платить за закрытие дельты вблизи уровня ставки.
● Вега-риск (после прохождения барьера). При хеджировании веги следует учитывать, что риск исчезает после прохождения цены ставки. Это означает, что любой хедж, используемый трейдером, после прохождения этого уровня должен соответственно сокращаться. Удачи в поиске!
● Вега-вогнутость (для владельца опциона). Любая структура, используемая в качестве хеджа, должна иметь положительный четвертый момент (т. е. длинную волатильность волатильности), чтобы быть способной компенсировать риски структуры.
Эти риски, присущие американским бинарным опционам, в той или иной форме характерны для всех барьерных опционов.
Американские бинарные опционы – на самом деле опционы не на актив, а на время. Соответственно, их можно хеджировать только с помощью инструментов, являющихся опционами на время. Эти инструменты тоже должны быть барьерными опционами с аналогичными выплатами в точке срабатывания триггера, расположенной не слишком далеко от уровня хеджируемой ставки.
Хеджирование длинной позиции в американском опционе ставки с помощью европейских ванильных опционов на самом деле является проигрышным вариантом за исключением случаев, когда в цену структуры закладывается риск четвертого момента. Хеджирование бинарными опционами европейского типа – это лишь иллюзия хеджирования. Европейская ставка – тоже непригодный инструмент (за исключением минуты экспирации).
Самая серьезная опасность грозит трейдерам при считывании риска с электронной таблицы. Веги, вытекающие из европейских ванильных опционов с их четко и строго заданной продолжительностью, более надежны, чем вытекающие из американских бинарных опционов с их неизвестной продолжительностью и нестабильными моментами. Поэтому трейдеры, ориентирующиеся на греки, могут подвергаться серьезной опасности. Трейдеры, не ориентирующиеся на греки (т. е. непараметрические трейдеры), старающиеся собрать как можно больше информации о своих страйках, находятся в намного более выгодном положении. Именно поэтому рекомендуется прежде всего отделить книгу барьерных опционов от ванильной позиции, чтобы лучше видеть страйки и действовать без учета поверхностной информации об обманчивых греках.
Некоторые бинарные опционы таят в себе дополнительные опасности (как будто и без того американские бинарные опционы недостаточно опасны), связанные c особенностями их условий. Помимо опционов «если коснется», существуют опционы «если установится», по сравнению с которыми торговля стандартными американскими бинарными опционами не составляет никакого труда.
Бинарный опцион «если установится» приносит выплату по ставке только в том случае, если базовый актив официально пересекает триггер. Это означает, что цена актива должна установиться выше уровня триггера, если ставка – колл, и ниже, если актив – пут.
Многие трейдеры считают, что эта особенность вступает в игру в последний день действия опциона. Но дело в том, что последним днем американского бинарного опциона может стать любой день до момента экспирации.
Эта особенность сказывается на цене бинарного опциона довольно необычным образом, создавая вокруг цены барьера отрицательную гамма-дыру. Ранее мы видели, что важной особенностью американской бинарной ставки является то, что (за исключением некоторых случаев, связанных с высокой стоимостью поддержания позиции в дельте) для владельца она отличается длинной гаммой на протяжении всего срока действия опциона. Эта особенность обусловлена тем, что позиция может оставаться только по одну сторону от барьера и вообще не может пересекать его без исполнения опциона, что делает показатели веги и гаммы «немыми».
Следовательно, американский опцион, если он бинарный типа «если установится», в течение дня будет вести себя как европейский бинарный опцион, а между торговыми днями – как американский (см. рис. 18.13). Это создает серьезные трудности с точки зрения закрытия гэп-дельты.
Пример. Американская ставка типа «если установится» 105 колл по окончании срока действия приносит $1. Трейдер продает дельты против позиции. Поскольку на рынке наблюдается ралли, ему нужно продать больше, чтобы получить выгоду от вероятности реализации ставки. Однако, если рынок пересечет страйк, ему придется выкупить все проданное. Если рынок пересечет гэп в начале дня, неопределенность продлится дольше всего. Трейдер не будет иметь возможности узнать, останется ли он в зоне исполнения или же снова пересечет страйк и вновь войдет в противоположную зону. Что, если рынок сдвинется вниз и остановится на отрицательной стороне от ставки? Вокруг барьера образуется позиция с отрицательной гаммой, исчезающей на экстремумах, намного выше или намного ниже, как показано на рис. 18.13 и 18.14.
Как правило, анализировать поведение других греков, таких как ро, не имеет смысла из-за нестабильности меры. Когда очевидно, что гамма ведет себя необычно, нет необходимости вдаваться в анализ второстепенных, менее значимых греков.
Американские двойные бинарные опционы
■ Американский опцион двойной ставки – это опцион ставки, в соответствии с условиями которого рынок должен коснуться любого из двух уровней в течение срока действия опциона. Эти уровни обычно называют верхним барьером и нижним барьером.
Особенность американских двойных ставок заключается в том, что они не являются суммой двух отдельных ставок. Европейская двойная ставка – это наименьший разлагаемый фрагмент. Это означает, что можно сложить два европейских бинарных опциона и получить единую европейскую двойную ставку, которую по этой причине нет необходимости сейчас рассматривать. Американская двойная ставка – это структура, считающаяся исполненной всякий раз, когда цена касается одной из ног, а это совсем другое дело. Понятие «наименьший разлагаемый фрагмент» раскрывается в главе 2 во врезке «Мастер опционов: наименьший разлагаемый фрагмент торгового инструмента».
Особенность американских опционов двойной ставки, о которой нельзя забывать, заключается в том, что вопреки здравому смыслу они торгуются с очень небольшим дисконтом от цены ставки (которая обычно выражается в процентах; ставка по цене 96 % приносит 100 на каждые вложенные в нее $96). Такие цены, как 98 % или 99 %, характерны для опционов, которым осталось несколько недель до истечения, с барьерами, отстоящими друг от друга на рынке только на два-три дневных стандартных отклонения.
Интересной особенностью американских опционов ставки является то, насколько коротким может быть их ожидаемое время выхода. Грубо говоря, торговля двойной ставкой на уровне 80 % от номинальной стоимости подразумевает (при отсутствии дрейфа и процентных ставок), что у нее остается около 20 % номинального времени жизни.
Свойствами опциона двойной ставки нередко обладают так называемые диапазонные ноты, когда инвестору продают финансовые активы и облигации, проценты по которым выплачиваются в зависимости от того, останется ли рынок в определенном диапазоне. В этом случае купон выступает в качестве номинальной стоимости ставки. На рис. 18.15 показано поведение двойного бинарного опциона во времени.
Барьерный опцион реагирует на увеличение волатильности, сокращая ожидаемое время прибытия. Это очень «вогнутый» способ поддержания длинной веги. По этой причине даже хеджирования путем продажи других вогнутых вег (например, единственного барьера) может быть недостаточно. Инструмент, торгующийся на уровне 80 или 90, способен достигать уровня 100 только по мере увеличения волатильности, что ограничивает его вега-силу. В вогнутости, как правило, можно убедиться следующим простым способом: если суммы, которые можно потерять в результате торговли, становятся значительно больше сумм, которые можно заработать, значит, вогнутость усиливается.
Нетрудно заметить, что выше подразумеваемой волатильности 20 % ставка достигает цены, близкой к 100 %.
В табл. 18.2 представлена торговля двойной ставкой при волатильности 16 % (рис. 18.16 и 18.17) и попытка хеджировать вега-экспозицию с помощью линейной веги. Суммы указаны за единицу (1 % ставки).
Амортизация процентных ценных бумаг
■ Срок погашения, купон или, в некоторых структурах, основная сумма долга по амортизируемым процентным ценным бумагам варьируют в зависимости от достижения рынком того или иного заранее установленного уровня процентной ставки. Указанные показатели могут определяться любым возможным способом, но выплаты основного долга и процентов по бумагам, зависящим от последовательности цен, могут необратимо снижаться при достижении рынком конкретного уровня процентной ставки.
Таким образом, можно с уверенностью предположить, что амортизационный своп является инструментом с нулевым купоном плюс серия форвардных американских ставок на каждую выплату купона, причем каждая ставка связана с определенным уровнем на рынке. Это предположение не требует каких-либо особых уточнений, таких как требование, чтобы рынок оставался на определенном уровне в течение длительного периода.
Это могут быть форвардные ставки, поскольку по времени ставки распределяются подобно выплатам по регулярным купонам. Опять же, каждая структура варьирует в зависимости от целей ценообразования, но интуиция трейдера подсказывает, что она остается суммой американских ставок.
Амортизационные свопы – пример еще одной ситуации, когда трейдеры, имеющие длинные позиции в американских цифровых опционах, обнаруживали, что у них длинная гамма до барьера. Трейдеры продавали опционы, чтобы выровнять гамму, и быстро узнавали о таких вещах, как вега-выпуклость и исчезающая нога хеджа. Поскольку эти ценные бумаги в течение непродолжительного времени были очень популярны, злоупотребление ими привело к ряду впечатляющих потерь, когда дилеры бросались выкупать гамму.
Мастер опционов: излишнее хеджирование вредно
В завершение главы приведем одну историю. Агрессивная брокерская контора понесла серьезные потери, умудрившись купить дешевую волатильность с серией нокаут-опционов с использованием компенсационных выплат, фактически получив стрип американских бинарных опционов. Контора заработала серьезную маржу на сделке, и трейдер, отправляясь домой, размышлял о предполагаемых доходах от переоценки биржевых позиций и был очень доволен собой.
Босс попросил трейдера заняться риск-менеджментом и усилить защиту от риска. «Уходи в деньги», – велел он. Имелись в виду деньги, которые они вроде бы заработали на клиенте. Поэтому трейдер посмотрел на греки и продал вегу, чтобы повысить вега-нейтральность, стараясь быть достойным такой крутой конторы, как та, в которой он работал.
Через несколько недель наш трейдер лишился работы. Волатильность взорвалась, и он потерял огромные деньги из-за разницы в выпуклости между вегами, которыми он владел, и вегами, которые продавал в таком количестве. Его босс, не очень хорошо разбиравшийся в таких вещах, как четвертый момент и другие скучные материи, уволил беднягу на том основании, что тот не компенсировал должным образом риск. На самом деле трейдер, хеджируя двойной барьер с помощью опционов вне денег, имел даже короткую позицию в шестом моменте.
Наш трейдер, как и большинство торговцев деривативами, потерявших работу, в итоге нашел себе более достойное место (он ведь приобрел ценный опыт) и пришел к следующему мудрому выводу: «Чем больше хеджируешься, тем выше риски».
Правило управления рисками: следует избегать хеджирования дискретной экспозиции с помощью непрерывной экспозиции.
Предположим, трейдер покупает долговые обязательства монгольского правительства, деноминированные в долларах США. Поскольку ценная бумага торгуется по дифференциалу процентной ставки по ценной бумаге и безрисковой ставке по доллару, имеет смысл рассматривать дифференциал выплат как форму форвардной американской ставки на дефолт монгольского правительства. Опять же, американская ставка является общей схемой: можно считать, что номинальная стоимость ставки – это общая стоимость ценной бумаги минус ликвидационная стоимость.