окаут-опцион – это короткий перекос, и наоборот.
Механизм перекоса волатильности мы проанализируем в два этапа. Прежде всего определим время первого выхода и упростим мир, чтобы посмотреть на перекос в пространственном измерении. После получения некоторой информации о моменте остановки у нас появится возможность исследовать перекос в двух измерениях.
Таким образом, наш анализ (для наглядности) выполняется в плоском мире. Это означает, что опционы торгуются при одинаковой волатильности независимо от экспирации.
Трейдер может попытаться количественно оценить перекос для случая 1.
Если реплицирующий портфель оценивается на несимметричной кривой, трейдеру придется найти портфель, который в момент срабатывания триггера может стоить 0. Этот портфель будет включать продажу опционов пут еще глубже вне денег. В случае 1 в условиях перекоса не обеспечивается выполнение равенства: колл (K) – отношение × пут (K′) = 0. Скажем, перекос торгуется при наклоне, делающем волатильность сделки на уровне 91,47 на 1,7 пункта выше волатильности 105 коллов. Трейдер пытается выполнить репликацию, описанную ранее в разделе «Случай 1» (табл. 19.4).
Очевидно, что это не работает. Реверсия риска на барьере имеет остаточную стоимость (0,45). Поэтому наш трейдер должен масштабировать симметрию опционов пут/колл, чтобы на нее немного повлиял эффект перекоса волатильности. Он ищет опцион пут, который в сочетании с опционом колл обеспечит стоимость реплицирующего портфеля на барьере на уровне 0.
Пут – 89,92. Это значение наш трейдер нашел путем последовательного приближения; он обнаружил, что страйк пута, который будет стоить 1,74, – это стоимость колла, умноженная на квадратный корень из 105/страйк. Он также обнаружил, что может торговать при волатильности на 2 пункта выше волатильности 105 колла. Опцион пут 89,92 на уровне 98 стоит 1,62; умножаем на и получаем 1,74 – точную стоимость колла.
Подсказка: поскольку трейдер продал пут, который более глубоко находится вне денег, структура в целом начала вести себя иначе, чем раньше. Первый урок трейдинга в условиях перекоса волатильности, который нужно усвоить, заключается в том, что опционы, которые торгуются при разных волатильностях, демонстрируют неодинаковый временной распад. Трейдер нашел стоимость опциона для реплицирующего портфеля, который не имеет остаточной стоимости при достижении триггера сегодня. Завтра, однако, остаточная стоимость на триггере будет ненулевой, учитывая, что 89,92 пут, в котором он имеет короткую позицию, станет разрушаться со временем быстрее, чем 105 колл.
Результат: положительный перекос волатильности снижает стоимость барьерного опциона.
Табл. 19.5 позволяет убедиться в том, что выше барьера реплицирующий портфель имеет остаточную стоимость, которая позволяет трейдеру, торгующему против барьерного опциона, оцененного с большим перекосом, получить прибыль.
Это подтверждение того, что на уровне интуиции знает любой трейдер: симметрия опционов пут/колл, полученная при перекосе волатильности, будет разрушаться благоприятным для трейдера образом. В последнем столбце показана чистая разница. Она достигает максимального значения, но упадет до 0, если рынок не сдвинется с места, поскольку все опционы в этом случае истекают без исполнения.
Зависимость премии за перекос волатильности от времени до экспирации показана на рис. 19.21 и 19.22. Графики говорят о том, что при наличии на рынке любого перекоса трейдерам нужен более сложный инструмент ценообразования. В настоящее время никто не знает простой, лаконичной формулы для этой цели, что лишний раз говорит о необходимости использования численного метода, учитывающего перекос волатильности при ценообразовании барьерных опционов.
Формула разложения следующая:
Глубже понять этот метод помогут принцип отражения и теорема Гирсанова.
Другой подход к симметрии барьерного опциона – взгляд через призму принципа отражения (см. рис. 19.23)[195]. При случайном блуждании пути от пункта a до пункта b, не проходящие через начало оси координат (ноль), равны числу путей от пункта – a до пункта b.
Этот принцип работает только для арифметических путей. Чтобы применить его к финансовым рынкам, необходимо «перехитрить» его с помощью логарифмов цен.
Это возвращает нас к понятию симметрии опционов (см. рис. 19.24). Если взять наш обычный пример, когда рынок торгуется на отметке 100 с выключением на уровне барьера 98, то количество путей от 100 до любой точки выше этого значения до касания барьера 98 будет равно количеству путей от 982/100 до той же точки. Симметрия опционов позволяет определять расстояние логарифмически для учета геометрического броуновского движения. Соответственно, Log(100/98) = Log(98/96,04).
Пример: биномиальное дерево (в упрощенном виде). Теперь мы можем перейти к интуитивному пониманию перекоса волатильности в связи с барьерным опционом. Этот пример также позволит читателю познакомиться с основами биномиального ценообразования на опционы. На рис. 19.25 показаны пути от точки 100, ведущие к областям на карте в деньгах (выше 100). Предполагается, что у нас 20 торговых дней (1 календарный месяц), рынок движется на 0,99 в день риск-нейтрально, значение выбрано просто для наглядности (мы игнорируем логнормальность для такого интервала и для упрощения немного хитрим, предполагая, что повышающая вероятность изначально равна понижающей[196]). В столбце «Путь 1» показано количество путей от 100 до каждого конечного узла (т. е. ванильный опцион). В столбце «Путь 2» показано количество путей от точки 96,04 до тех же конечных узлов (т. е. разница между ванильным и барьерным опционами).
Цена ванильного опциона обычно рассчитывается путем умножения внутренней стоимости в конечном узле на риск-нейтральную вероятность события. Трейдер должен внимательно относиться к этой риск-нейтральности как к следствию арбитража (т. е. опцион = ожидаемые прибыль/убыток гаммы, как будет показано в модуле B). В нашем примере ее легко рассчитать как количество путей, ведущих к узлу, деленное на общее количество возможных путей, умноженное на выплату.
На рис. 19.25 общее количество путей составляет 220 = 1 048 576. Ожидаемая выплата в любом узле равна внутренней стоимости, умноженной на вероятность. Вероятность равна количеству возможных путей / общее количество путей. Таким образом, если посмотреть на столбец «Путь 1», мы увидим, что ожидаемая выплата в узле составляет 103,96 = 3,96 × 38 760/1 048 576 = 0,1463.
Читатель также может убедиться в риск-нейтральности при отсутствии дрейфа: каждый возможный результат, взвешенный по его вероятности, в сумме должен давать 100. Это называется «условное ожидание будущей цены актива в момент t» и означает, что ожидание основано на информации, имеющейся на текущий момент.
Читатель также может оценить ванильный опцион колл со страйком 100. Его цена равна внутренней стоимости, умноженной на вероятность каждого уровня, как показано в табл. 19.6.
Стоимость ванильного опциона может быть интуитивно рассчитана как сумма ожидаемых стоимостей в каждом узле. Чем больше число шагов, тем выше точность расчета.
На рис. 19.25 в столбце «Путь 2» показано количество путей, не пересекающих барьер, полученное с помощью принципа отражения. Таким образом, стоимость барьерного опциона равна выплате (столбец «Внутренняя стоимость»), умноженной на значения в столбце «Разница» и деленной на общее количество путей.
Повторяя упражнение, показанное в табл. 19.6, трейдер получит цену того же опциона, но с нокаут-барьером 98 (см. табл. 19.7).
Это приводит к следующему равенству: при отсутствии перекоса волатильности и дрейфа обычный нокаут-опцион (который выключается вне денег), когда актив торгуется по цене S, с ценой страйк K и барьером H, равен ванильному опциону с такой же ценой страйк и таким же сроком истечения минус тот же ванильный опцион с ценой спот S′, которая является симметричным отражением S, центрированным вокруг H (S S′ = H2). Значения должны соответствовать надлежащему отношению
Пример. Цена 3-месячного нокаут-колла с ценой страйк 100, ценой спот 100 и барьером на уровне 98 равна цене ванильного опциона минус 100/98 умножить на такой же ванильный опцион стоимостью 96,04.
Отсюда мы можем перейти к понятию реверсии риска. При использовании принципа паритета пут-колл, а также изменении метода расчета цена 100 колла, рассчитанная на уровне спот 96,04, будет равна цене 96,04 пута, рассчитанной на уровне спот 100. Это подтверждает справедливость правил перекоса волатильности, представленных выше.
Следствием этого принципа является то, что в отношении обратного нокаут-опциона или обычного нокаут-опциона, торгуемого с рибейтом, действуют более сложные правила, поскольку приходится учитывать выплату соответствующего американского бинарного опциона.
В представленную выше схему нетрудно ввести дрейф и учитывать его при использовании принципа отражения. Это можно сделать, предположив, что для компенсации дрейфа структуры с одинаковыми путями имеют разные вероятности. Путь остается прежним, а вероятности меняются, чтобы изменилась выплата без изменения путей.
Допустим, в тот же период цена спот растет на 0,99 % в месяц. Соответственно, мы ожидаем, что через месяц цена составит 100,99.
Теорема Гирсанова позволяет трейдерам менять вероятность каждого результата в сторону повышения или понижения, чтобы получить ожидаемую выплату 100,99. В нашем примере трейдер должен изменить конечные вероятности. В модуле G «Ценообразование опционов» приводится более строгое изложение метода. На рис. 19.26 показаны выплаты.