Переоценка опциона показывает, что стоимость пакета изменилась (табл. 19.8).
Для обычных нокаут-опционов эффект времени не является по-настоящему разрушительным, в отличие от обратных нокаут-опционов, на которые он может воздействовать сильнее. Время заставляет базовый опцион быстрее терять стоимость, но при этом увеличивает разрыв на барьере, что смягчает эффект: стоимость выключения будет снижаться. Этот эффект показан на рис. 19.27.
Однако у нокин-опционов барьер не так сильно доминирует в структуре, поскольку в последней нет конфликтующих опционов. Этот эффект показан на рис. 19.28.
■ Ожидаемое время первого выхода (или момент остановки) – это момент, в который цена актива, как ожидается, достигнет конкретной отметки на рынке, в зависимости от даты экспирации. В модуле G («Ценообразование опционов») представлена методика расчета распределения как времени первого выхода, так и его ожидания.
В отличие от европейского бинарного опциона барьерный опцион следует хеджировать с помощью инструментов, имеющих аналогичную длительность. Для этого необходимо всегда знать ожидаемое время первого выхода, т. е. в данном случае – момента достижения барьера. Разница между номинальным окончанием срока действия опциона и ожидаемым моментом остановки соответствует уровню доминирования барьера в структуре. При слабом барьере (оказывающем незначительное влияние на риски структуры) ожидаемое время выхода будет совпадать с номинальной длительностью опциона. При сильном барьере оно будет значительно короче.
Таким образом, ожидаемое время первого выхода можно представить, как показано на рис. 19.29.
По мере увеличения волатильности опцион укорачивается, и барьер начинает доминировать. При низкой волатильности доминирует базовый опцион, а ожидаемое время первого выхода совпадает со сроком исполнения ванильного опциона.
Правило трейдинга: уверенность в том, что время первого выхода меньше или равно номинальному сроку исполнения, делает любую неарбитражную статическую репликацию барьерного опциона с помощью комбинации ванильных опционов неполной.
Существует множество упрощенных методов хеджирования опционов, включая репликацию с помощью реверсии риска, о которой шла речь выше. Поскольку эти методы не учитывают неопределенность длительности, их применение может быть чрезвычайно опасным.
Многие поставщики программного обеспечения взяли на вооружение упрощенные гомоскедастические (имеющие постоянную волатильность) инструменты ценообразования, которые можно найти в первых научных публикациях на эту тему, и буквально завалили ими трейдеров. Если существует вероятность того, что барьерный опцион истечет раньше, использование в расчетах только одной волатильности приводит к завышению цены, когда временна́я структура волатильности представляет собой восходящую функцию, и занижению цены, когда эта структура имеет противоположный характер (представляет собой нисходящую функцию).
Из вышеуказанного правила управления рисками вытекает следующее.
● Чтобы любое вега-хеджирование против барьера соответствовало выплате барьерного опциона, оно должно учитывать время первого выхода.
● Хеджирование форвардной экспозиции, вытекающей из барьерного опциона, следует осуществлять очень осторожно. Время первого выхода может меняться, а момент остановки наступать раньше или позже. Если ожидаемое время первого выхода увеличивается, требуется увеличение срока хеджа. Такое изменение баланса может привести к колоссальным транзакционным издержкам. Поэтому рекомендуется хеджировать при сроке меньше номинального.
● Время первого выхода зависит от волатильности. При наличии на рынке кривой волатильности (положительной или отрицательной) время первого выхода увеличивается или сокращается.
Поскольку время первого выхода неопределенно, для целей ценообразования необходимо знать его локализацию во временно́й структуре. В настоящее время большинство систем, предлагаемых трейдерам, основываются на ошибочной системе ценообразования. Существует два способа «перехитрить» эти методы.
1. Уловка единичной волатильности. Этот метод требует меньших затрат машинного времени, но он недостаточно точный. Автор этой книги рекомендует использовать его только для устранения недостатков в формулах ценообразования. Метод дает лишь частичный ответ.
2. Ценообразование по форвард-форвардной кривой (метод Дюпира). Этот метод требует более объемных вычислений, но, как правило, позволяет точнее определять реальную стоимость опциона и соответствующих хеджей. Некоторые жалуются на сложности, связанные с применением метода и конвергенцией.
● Шаг 1. Определяем кривую подразумеваемой волатильности предполагаемых цен спот на рынке.
● Шаг 2. Находим ожидаемый момент остановки. Обратите внимание, что мы имеем дело с распределением, а не фиксированной временно́й точкой. Предположим, что полученный ожидаемый момент остановки будет составлять около 6 месяцев. С помощью интерполяции, показанной на рис. 19.30, определяем, что волатильность, которую мы будем использовать, составляет 10,95. Это волатильность нокаут-опциона.
● Шаг 3. Определяем цену нокаут-опциона, используя синтетическую реверсию риска. Основной опцион (105 колл в предыдущем примере) должен оцениваться как истекающий при номинальной стоимости. Второй опцион должен оцениваться с использованием параметров времени первого выхода. Таким образом, реверсия риска получает новое измерение – перекос волатильности.
● Шаг 4. Находим форвард-форвард между моментом остановки и конечной датой. Используя формулу, приведенную в главе 9, получим FFwd (6,9) = 12 %. Этот показатель поможет определить стоимость нокин-опциона такой же номинальной длительности.
Наконец, тот факт, что момент остановки не фиксирован, а имеет распределение, приводит к следующему правилу.
Правило управления рисками: хеджирование форвардных активов, соответствующее позиции в опционе, должно рассеиваться в соответствии с распределением времени первого выхода.
В 1992 г. Дюпир сформулировал основополагающее понятие двухмерного процесса волатильности. Между двумя точками в пространстве (спот/страйк) и временем (до экспирации) существует волатильность, определяемая как перекосом, так и форвард-форвардной волатильностью на рынке[197]. Затем последовали прорывные исследования Дюпира (1993 г.), Дермана и Кани (1994 г.). Они предложили численный метод, разбив время на меньшие отрезки между узлами, и таким образом вывели календарную функцию времени-скорости (которую даже можно назвать диагональной). Метод позволяет использовать некоторые формы гибких узлов на биномиальном (или полиномиальном) дереве.
Метод ценообразования на дереве имеет большое значение для любой структуры последовательности цен (зависящей от пути). Поскольку барьерный опцион зависит не только от единичной волатильности, но и от волатильности в каждом узле, данный метод ценообразования позволяет точнее определить стоимость барьерного опциона с помощью двухмерной поверхности волатильности. Фактически метод позволяет снять как форвард-форвардную проблему, так и проблему оценки момента остановки.
Независимо от указанных выше исследователей Марк Рубинштейн, работавший в Беркли, ввел понятие подразумеваемого биномиального дерева и изучил латеральную волатильность между двумя ценами активов, выведенными из цен опционов. Иными словами, пока Дюпир, Дерман и Кани исследовали процесс между точкой в пространстве (цена актива) и временем (S, t) и (S + ∆S, t + ∆t), Рубинштейн независимо обнаружил подразумеваемый процесс между (S, t) и (S + ∆S, t).
Однако применение этих техник оказалось затруднительным из-за ряда проблем. Главная из них заключается в следующем: для того, чтобы биномиальное (или триномиальное) дерево сходилось к устойчивой цене, требуется большое количество шагов. Расчеты требуют больших затрат времени, поэтому предпринимаются серьезные усилия в области поиска численных методов для ускорения расчетов и разработки удобных методов ценообразования опционов.
Пока на рынке нет ни одной системы, использующей данный метод.
Опционные трейдеры хеджируются с определенной частотой, скажем через наблюдаемые временны́е промежутки. Их беспокоит волатильность на временно́й шкале интервенции. Трейдера, хеджирующегося каждые несколько минут, не будет беспокоить волатильность тика. Однако барьерный опцион реагирует на бесконечно малую волатильность. Как показано в главе 6, две эти волатильности могут заметно различаться.
Барьерные опционы оцениваются исходя из предположения, что распределение минимумов максимума броуновского движения характеризуется той же волатильностью, что и само броуновское движение. Подход к барьерному опциону, легче всего воспринимаемый на уровне интуиции, заключается в принятии допущения о риск-нейтральности (да-да!) дисконтированной стохастической выплаты ванильного опциона (т. е. S – K для колла и K – S для пута) при условии, что момент остановки не был достигнут в течение данного периода. Соблюдение этого условия отличает обычный опцион от ванильного.
Однако условие, связанное с моментом остановки, может зависеть от распределения минимумов максимума. Анализ числа Паркинсона (см. главу 6) подсказывает, что распределение экстремумов в конкретный день может заметно отличаться от ожидаемого логнормального (или даже нормального, поскольку оно не имеет большого значения в течение одного дня) распределения.