Составные опционы, опционы c правом выбора и опционы более высокого порядка
Самым явным признаком использования составных опционов служит наем трейдера с нестабильными прибылью/убытком.
Составными называют опционы на другие опционы. Чаще всего они встречаются в категории продлеваемых опционов и других структур, владелец которых в какой-то момент получает возможность расширить выбор за вознаграждение.
Составные опционы чрезвычайно чувствительны к производным более высокого порядка от цены спот, в частности к четвертому моменту распределения, который трейдеры называют волатильностью волатильности, помимо второго момента (чувствительности к волатильности, в определенной степени связанной с четвертым моментом). Из-за этого их обычно оценивают неправильно. Они сильнее, чем обычные опционы, зависят от толщины хвостов распределения. Из-за этого модель на основе постоянной волатильности использовать опасно. Эта глава также предупреждает об опасности использования и более сложных методов моделирования, включающих волатильность волатильности, из-за трудностей ее оценки и зависимости от поведения цены базового актива.
На момент написания этой книги не было ни известных формул, ни доступных широкой общественности методов корректной оценки составных опционов (с использованием стохастической волатильности), за исключением нескольких численных методов, которыми баловался и сам автор. Поэтому здесь мы будем использовать те несовершенные формулы, что доступны, и попытаемся работать с их помощью, добавляя соответствующую наценку.
■ Составной опцион, или опцион второго порядка, – это опцион на европейский опцион, дающий владельцу право на покупку или продажу европейского опциона (называемого базовым опционом) по оговоренной цене страйк в определенный период и за определенную цену.
Опцион третьего порядка – это опцион на составной опцион, и т. д. Составной опцион имеет одну окончательную цену страйк и одну окончательную дату экспирации (эквивалентную дате ванильного опциона). Кроме того, он имеет промежуточные страйки и промежуточные даты экспирации. Таким образом,
Опцион второго порядка (Ф1K1, ФfinalKfinal, t1, tfinal),
где Kfinal и tfinal – цена страйк и время до экспирации ванильного опциона, K1 и t1 – промежуточные значения, K1 – цена страйк, по которой кто-то имеет право купить или продать опцион (Kfinal и tfinal) в период tl. Кроме того, период t1 должен быть короче, чем конечный период. Обратите внимание, что каждая цена страйк нуждается в дальнейшем уточнении, пут это или колл (т. е. право на покупку или право на продажу), что делается с помощью показателя Ф.
Опцион более высокого порядка имеет следующие параметры:
Опцион n-го порядка (Ф1K1, … ФnKn, ФfinalKfinal, t1, … tn, tfinal),
где tl<t2< … <tn<tfinal.
Пример. На рис. 21.1 показаны цены опциона колл на опцион колл со страйком $1 при волатильности 16 % и плоской форвардной кривой.
На рис. 21.2 показан опцион пут вне денег на опцион колл. На рис. 21.3 представлен стрэддл.
Вега-выпуклость проще всего иллюстрировать с помощью следующего примера (см. табл. 21.1). Срок действия базового опциона – 2 года, страйк 100, форвардная кривая плоская, волатильность 15 %. Предположим для простоты, что кривая волатильности плоская. Поскольку цена опциона изначально составляет 8 %, трейдер покупает опцион колл вне денег (16 %) на опцион колл и хеджирует его вега-нейтрально в базовой ценной бумаге.
Для простоты предположим, что вега-нейтральность может быть достигнута без поправочных коэффициентов. Поправочные коэффициенты, или веса, ничего не добавляют к примеру. На рис. 21.4 показана нестабильность вега-нейтральности. Что получает трейдер, когда идет вега-нейтрально против длинного составного опциона, так это стрэддл на волатильность.
Использование составных опционов: Хеджирование веги барьерных опционов
Поскольку барьерные опционы в пакете демонстрируют экстремальную вега-вогнутость, наиболее разумным представляется хеджирование веги с помощью составных опционов, если они доступны на рынке и не требуют высоких затрат.
■ Опционы с правом выбора – это опционы, которые в заранее определенное время можно превратить либо в пут, либо в колл.
Они имеют следующие параметры:
простой опцион с правом выбора (K, tintermediate, tfinal),
более сложный «закрученный» опцион с правом выбора (K2, K1, tintermediate, tfinal),
где K – цена страйк, tintermediate – период, в течение которого владелец структуры должен решить, что для него предпочтительнее, пут или колл. «Закрученный» опцион может иметь две цены страйк, и владелец опциона, разумеется, выберет ту из них, которая глубже в деньгах.
Европейский опцион с правом выбора, имеющий промежуточную дату, совпадающую с конечной датой, идентичен стрэддлу. В другом предельном случае опцион с правом выбора с очень небольшим периодом принятия решения оценивается по самой высокой цене пут или колл.
На рис. 21.5 представлен 2-месячный опцион (страйк = 100, дрейф отсутствует), период выбора которого варьирует от немедленного принятия решения до принятия решения при истечении. В одном предельном случае, поскольку период выбора равен нулю, структура оценивается по стоимости опциона колл или пут сроком на 2 месяца (в этом случае они имеют одинаковую стоимость). В другом предельном случае опцион оценивается по цене стрэддла.
Парадоксально, но факт: опцион с правом выбора похож на радужный опцион, потому что трейдеру приходится выбирать один из двух активов. Опцион достигает максимума (т. е. цены стрэддла), когда корреляция между двумя активами (пут и колл) равна –1, что бывает близко к дате экспирации. Читатель должен исходить из того, что опционы пут и колл являются двумя активами с отрицательной корреляцией.
На рис. 21.6 сравнивается опцион с правом выбора и стрэддл.
Чего-то еще интересного в опционе с правом выбора нет за исключением того, что он занимает промежуточное положение между ванильным опционом и стрэддлом. Его чувствительность к волатильности строго линейна, когда он при деньгах, и более выпукла, чем чувствительность ванильного опциона вне денег, когда он глубоко в деньгах (особенностью опциона с правом выбора является то, что он никогда не бывает вне денег в простом случае с одной ценой страйк).
На рис. 21.7 показано различие вега-выпуклости ванильного опциона вне денег и соответствующего опциона с правом выбора глубоко в деньгах, цена спот при этом находится на уровне 100, а опцион с правом выбора и ванильный колл имеют одинаковую цену страйк 110. Волатильность, как обычно, находится на уровне l5,7 %. Время до экспирации обоих опционов – 60 дней, время до принятия решения для опциона с правом выбора – 30 дней.
Анализ веги показывает дополнительную выпуклость опциона с правом выбора, хотя и не такую выраженную, как у классического составного опциона (см. рис. 21.8). При волатильности ниже 10 % опцион не имеет веги: при низкой волатильности составной опцион в деньгах превращается в колл и становится нечувствительным к веге; при высокой волатильности возможность переключения с пута на колл становится более заметной.
● Кэпционы, флорционы – это опционы на кэпы или флоры, которые, в свою очередь, являются наименьшими разлагаемыми фрагментами как совокупность опционов на независимые форвардные инструменты – евродепозиты (или другие процентные инструменты), т. е. так называемые кэплеты и флорлеты. Таким образом, кэпционы и флорционы – это опционы на опционы корзины (корзины евро) и одновременно составные опционы. Принадлежность к первой категории позволяет трейдерам использовать для анализа ковариационные матрицы, а принадлежность ко второй обуславливает необходимость тщательного анализа волатильности волатильности.
● Принадлежность кэпционов и флорционов к категории составных опционов ничем не примечательна, т. к. волатильность корзины снижает волатильность всей структуры. Отдаленные контракты не будут отличаться такой же чувствительностью к волатильности, как ближние. Кроме того, первые будут не слишком волатильными.
● Принадлежность кэпционов и флорционов к категории мультипараметрических структур доминирует не до такой степени, как в обычных процентных инструментах. Корреляция между ценами на кэплеты и флорлеты более стабильна, чем у базовых форвардных евродепозитов.
Глава 22Мультиактивные опционы
Принципиальное отличие кванта от трейдера заключается в том, что первый отдает предпочтение безупречным моделям, основанным на сомнительных предположениях, а второй – несовершенным моделям, основанным на правильных предположениях.
Мультиактивные опционы (опционы на несколько активов) варьируют от корзинных до радужных опционов. При этом любую структуру на валютную пару, не включающую «домашнюю» валюту в качестве расчетной, можно считать мультиактивным опционом. В данной главе мы рассмотрим главные риски большинства разновидностей мультиактивных опционов, но особое внимание уделим объяснению основ управления рисками с помощью упрощенной опционной структуры с двумя активами.
Математики обычно решают задачи в более низких измерениях, а затем делают обобщения для Rn. Читатель может таким же образом обобщать структуры, двигаясь от более низких измерений к более высоким. Именно здесь начинается количественная торговля: если в сфере низких измерений можно положиться на интуитивное понимание и суждение трейдера, то для более высоких измерений требуются математическая модель и матричный анализ.
Мультиактивные структуры предполагают следующее.
● Выбор. Опционы, предполагающие возможность выбора из двух и более инструментов: опционы на лучший или худший актив, радужные опционы и т. д. В качестве примера мы будем рассматривать радужные опционы.
● Линейные комбинации. Это комбинации, включающие корзинные опционы, спреды. В данной главе будет представлен краткий анализ корзинных опционов. В отличие от этого продукта и других сумма двух экспоненциальных броуновских движений не дает экспоненциального броуновского движения. Данные инструменты похожи на азиатские опционы – в том смысле, что для них, помимо незначительной экспозиции к перекосу волатильности при хеджировании с помощью других инструментов, характерны некоторые трудности в плане ценообразования.
● Произведения или отношения. Опционы, связанные с перемножением двух или более инструментов. Ценообразование не представляет трудности, а вот хеджировать их гораздо сложнее. В этой главе будет представлен анализ на примере мексиканской структурированной ноты.
Базовое представление об управлении рисками мультиактивных опционов можно получить на примере радужного опциона. Разумеется, существует множество разных структур, но ко всем применим один и тот же метод динамического хеджирования, что делает ненужным рассмотрение всех известных комбинаций.
■ Радужными называют опционы, имеющие более одной цены страйк на несколько базовых активов.
Обычно они определяются как имеющие одну дату экспирации и выплату, эквивалентную самой значительной части в деньгах любой из цен страйк:
Радужный опцион (Ф1, K1, Ф2, K2, … Фn, Kn, t),
где Фi указывает, является ли опцион путом или коллом (это может быть колл на актив 1 и пут на актив 2), а время до экспирации в простом случае одно (структуры могут усложнять жизнь при наличии нескольких дат экспирации).
В нашем простом примере представлен опцион «или-или» на два актива (A и B), каждый из которых в настоящее время торгуется на уровне 100, с двумя ценами страйк – 100 для актива A и 100 для актива B. Читателю нужно сначала рассмотреть чувствительность структуры за 30 дней до экспирации, а затем увеличить этот срок до 6 месяцев для более глубокого анализа. Оба актива торгуются с волатильностью 15,7 %. Предположим, что начальная корреляция между ними составляет 50 %.
Обратите внимание, что можно масштабировать активы для базы, отличной от 100, при условии, что и цены, и страйки умножаются на одну и ту же величину.
На интуитивном уровне понятно, что окончательная выплата (рис. 22.1) покрывает больше областей, чем любой из двух опционов в отдельности, но она несколько меньше суммы выплат по двум независимым опционам (см. рис. 22.2 и 22.3).
С учетом принципа загрязнения видно, что цена структуры по мере сокращения времени до экспирации надувается, как воздушный шарик, а потом «зависает под потолком» (рис. 22.1), поскольку сокращаются и волатильность, и время до экспирации.
Помимо обычного набора греков структура демонстрирует чувствительность к корреляции. На самом деле она имеет корреляционную вегу, которую исследователи обычно игнорируют, поскольку из-за плохой подготовки в области точных наук считают корреляцию постоянной.
На рис. 22.4 показана чувствительность структуры к корреляции. Поскольку корреляция находится в границах между –1 и 1, трейдеру не придется тратить много времени на моделирование структуры с двумя активами. Структура с более высокими измерениями потребует более сложного матричного анализа.
При корреляции на уровне 1 говорить об опционе на два актива фактически не приходится. Поскольку оба актива оцениваются с одинаковой волатильностью, структура может торговаться по цене любого из них. Если (по какой-то причине, обусловленной перекрестной волатильностью между активами A и B) волатильность активов различается, структура будет характеризоваться более высокой из двух волатильностей.
При корреляции на уровне –1 структура торгуется по цене, в два раза превышающей стоимость обычного опциона, потому что гарантированно находится в деньгах по одному из двух активов. Для каждого движения вниз по одному активу оператору гарантировано движение вверх по другому активу, так что один из активов обязательно будет в деньгах.
Примечание. В нашем примере оба опциона – коллы. Структура с коллом на один актив и путом на другой (при этом только один из опционов может быть исполнен при наступлении срока) демонстрирует противоположную тенденцию: отрицательная корреляция будет обуславливать снижение цены.
■ Корреляционная вега структуры на два актива отражает изменение цены структуры в результате изменения корреляции.
У опциона более чем на два актива существует множество корреляционных вег, по одной на каждую возможную пару. Соответственно, для структуры на четыре базовых актива мы имеем следующее:
Сумма по диагонали, разумеется, равна 0, поскольку каждый актив имеет корреляцию с самим собой, равную единице. Выше представлена только половина матрицы, потому что корреляции являются зеркальными (корреляция между активом 1 и активом 2 будет равна корреляции между активом 2 и активом 1).
Существует чувствительность к каждой из этих корреляций.
Можно пойти дальше и развить данный метод, поместив его в контекст ковариационной матрицы (т. е. риска всего портфеля). Матрицу, показывающую ковариации между активами, автор книги называет ковариационной матрицей для портфеля (обозначаемой символом ∑). Трейдеров обычно учат рассматривать ∑ как эквивалент волатильности актива.
где σij – ковариация между активом i и активом j. Общая матрица должна удовлетворять определенным ограничениям[201], а корреляция и волатильность должны находиться в определенных пределах, иначе матрица станет отрицательной, эквивалент волатильности – отрицательным, а с подобным даже опытные трейдеры еще не сталкивались.
Опцион с двумя активами имеет более одной дельты, и хеджер должен сделать некоторые допущения (рис. 22.5). Тот, кто верит в стабильность корреляции, всегда будет торговать структурой иначе, чем сторонник конспирологических теорий.
Поэтому необходимо построить градиент, также называемый общей дельтой и коррелированной дельтой, состоящей из частных дельт.
∆A, называемая частной дельтой актива A, отражает чувствительность структуры к изменениям цены актива A, предполагая, что актив B движется скоррелированно с активом A.
∆B, называемая частной дельтой актива В, отражает чувствительность структуры к изменениям цены актива B, предполагая, что актив A движется скоррелированно с активом B.
Градиент ∇, также называемый коррелированной дельтой, отражает чувствительность структуры к изменениям цены активов A и B, предполагая скоррелированное движение этих активов.
На рис. 22.6 показаны два сценария, смоделированные для актива А. В одном из них актив A меняется без учета соответствующего скоррелированного движения актива B, а в другом последнее учитывается.
Результат независимого движения актива A отличается от результата движения актива A, учитывающего коррелированное движение актива В.
В этом случае реальный риск необходимо рассматривать в двух дельтах, ∆A и ∆B, а также в общих дельтах. Полезно сравнивать дельты структуры в целом.
В табл. 22.1 представлена чувствительность частной дельты опциона А только к активу A (актив B остается замороженным).
Для измерения общей, или некоррелированной, дельты требуется более активное использование матричного анализа.
Общая дельта: ∇TΣ∇.
Она может быть рассчитана для двух позиций с двумя активами следующим образом:
Это подводит нас к понятию частной гаммы.
Поскольку каждая структура имеет четыре возможные дельты, она также будет иметь следующие гаммы. Мы рассмотрим только реалистичные коррелированные гаммы.
ГаммаAA = изменения ∆A, обусловленные изменениями актива A (актив B движется в соответствии с его корреляцией).
ГаммаAB = изменения ∆A, обусловленные изменениями актива B (актив A движется в соответствии с его корреляцией).
ГаммаBA = изменения ∆B, обусловленные изменениями актива A (актив B движется в соответствии с его корреляцией).
ГаммаAB и гаммаBA дают одинаковый результат.
ГаммаBB = изменение ∆B, обусловленные изменениями актива B (актив A движется в соответствии с его корреляцией).
Еще один опцион, предполагающий выбор, – это сверхдоходный опцион.
■ Сверхдоходный опцион (предполагающий выбор между двумя активами) – это опцион, который дает владельцу право покупать или продавать один актив против другого по заранее определенной ставке. Такие опционы, как правило, являются коллами на максимуме и путами на минимуме[202].
Сверхдоходные опционы являются полезным инструментом при изучении вопросов расчетных единиц. Интересно смотреть на них с точки зрения индексного распределения активов. Управляющий фондом, у которого нет фиксированного распределения активов, может предположить, что есть теоретическая дельта, аналогичная такому опциону, а затем, используя дельта-векторы и гамма-матрицы, постоянно корректировать свою позицию.
Сверхдоходный опцион можно спокойно рассматривать как спред-опцион, если он обозначен следующим образом:
Max(S1, S2) = [S1 + Max(0, S2 – S1)].
Это означает, что сверхдоходный опцион есть не что иное, как один актив плюс спред между двумя активами. Что касается спред-опционов, то их лучше рассматривать как корзинные опционы, считая, что один из активов имеет отрицательный вес.
Возможно, мать всех сверхдоходных опционов – это опцион на фьючерс на облигации. Он дает право стороне, имеющей короткую позицию во фьючерсе, поставлять самые дешевые подходящие облигации. Таким образом, это опцион как минимум на несколько активов.
■ Опцион на линейную комбинацию активов имеет следующие характеристики:
В эту категорию входят корзинные опционы, спред-опционы и любые комбинации, которые только можно представить. Кроме того, как мы увидим далее, в нее можно включить и азиатские опционы.
Пример.
● При n = 2 и w1 = w2 = 1 опцион будет коллом, путом или другим опционом (например, цифровым) на базовый актив, представляющий собой сумму двух активов.
● При n = 2 и w1 = w2 = –1 опцион будет коллом, путом или другим опционом на базовый актив, представляющий собой спред между двумя активами. Такие опционы обычно называют опционами Маргрейба[203].
● При n = 500 и wi переменная базовая корзина будет опционом на фондовый индекс, и т. д.
Линейные комбинации активов ставят проблему логнормальности, которая не возникает в других структурах. Для иллюстрации предположим, что активы A и B являются логнормальными.
где ∆t – время до экспирации структуры, A0 и B0 – начальная цена активов, σA и σB – волатильности, ZA и ZB – винеровские процессы, независимо одинаково распределенные с единичным отклонением и средним значением 0.
Нетрудно заметить, что сумма W = A + B не укладывается в геометрическую броуновскую форму.
Это относится и к W = A – B, в то время как при W = AB мы получаем:
а при W = A/B:
т. е. в обоих случаях имеем геометрическое броуновское движение.
Корзинными называют опционы на взвешенную сумму двух или более активов. Цена страйк обычно устанавливается на чистую взвешенную сумму. Корзинные опционы распространены чрезвычайно широко, поскольку многие продукты нередко рассматриваются как корзинные опционы какого-либо подкомпонента.
Мы не будем подробно рассматривать эти опционы, поскольку их можно анализировать просто как опционы на продукт, причем продуктом выступает базовая корзина. Однако две особенности этих опционов – логнормальность и корреляция между основными активами – в каком-то смысле делают их уникальными.
Хеджирование корзинных опционов может оказаться довольно сложным при торговле на рынках, характеризующихся сильным перекосом волатильности.
Многие операторы оценивают корзинные опционы так, как если бы базовая корзина была товаром сама по себе и подчинялась стохастическому процессу, аналогичному процессу, которому подчиняются другие сырьевые товары, с волатильностью, вытекающей из ее собственных временны́х рядов. Это, однако, противоречит тому факту, что среднее значение (или любая линейная комбинация) активов с логнормальным распределением не подчиняется логнормальному распределению. Соответственно, возникает конфликт между утверждением, что компоненты S&P100 являются логнормальными, и тем, что S&P100 – это товар. В таких случаях операторы выходят из положения с помощью произвольного допущения, что наиболее продаваемая часть корзины или какой-либо компонент становится логнормальным продуктом.
Эта проблема характерна для свопов и евродолларовых опционов. Как известно, стрип – это корзина евродолларовых контрактов, собранных воедино и взвешенных с помощью дисконтирующего фактора. Опцион на стрип, таким образом, является корзинным. Какой из них должен быть логнормальным?
Ситуация с фондовыми индексами и продуктами с фиксированным доходом смягчается тем, что при высокой корреляции между компонентами их сумма становится похожей на актив с логнормальным распределением.
Проблему иллюстрирует следующий пример.
Пример. Имеем два некоррелированных актива A и B с ценами SA и SB, независимо логнормально распределенными с волатильностями σA и σB.
В соответствии с правилом корзины, волатильность корзины S, содержащей два актива (A и B), будет равна взвешенному квадратному корню из разности волатильностей и корреляции, в данном случае равной нулю. Поэтому
где wA и wB – веса активов (более общая формула представлена в следующем разделе).
На рис. 22.7 наглядно показано, почему процесс, волатильность которого известна, не является логнормальным.
Допустим, что дрейфа нет, а веса равные – 0,5, SA и SB торгуются по начальной цене 100 и при волатильности 50 %. В этом случае оператор может ожидать результирующую чувствительность позиции, являющейся длинной по комбинации опционов на активы и короткой по корзине (в соотношении, соответствующем гамма-нейтральности). Это похоже на реверсию риска. На рис. 22.7 представлена такая позиция при высокой волатильности. Более серьезную проблему в этой области мы обсудим в разделе, посвященном азиатским опционам.
Рассмотрим мультиактивную структуру на n базовых ценных бумаг. Не учитывая проблему логнормальности[204], оператор может считать структуру псевдованильным опционом и оценивать исходя из предположения, что ее волатильность является волатильностью корзины. Чтобы определить чувствительность к корреляции, он должен оценить структуру при разных уровнях корреляции. Наиболее высокой точности можно достичь, умножив вегу на эффект корреляции для волатильности.
Мастер опционов: псевдованильные опционы
Псевдованильными называют опционы, используемые при управлении рисками для тестирования отдельных видов чувствительности более сложного продукта.
Псевдованильные опционы для корзины – это опционы, которые торгуются при чистой волатильности корзины. Их можно использовать только для тестирования отдельных видов чувствительности.
Псевдованильные опционы для барьерного опциона – это, как мы видели ранее, реверсия риска, если они протестированы только на эффект перекоса волатильности. Они также могут представлять собой (да-да, разумеется) календарный спред, если они протестированы только на чувствительность к временнóй структуре волатильности.
Прежде чем оценивать влияние повышения любой из волатильностей на структуру в целом, трейдер должен обновить некоторые формулы в электронной таблице.
Предположим, что корзина S является суммой активов с Xi по Xn с индивидуальными весами w, т. е.:
S = w1X1 + w2X2 + … + wnXn.
Если σS – волатильность корзины, а σi – волатильность актива i, cov(i, j) – ковариация между активами i и j, ρi, j – корреляция между активами i и j, то оператор имеет:
Поскольку корреляция является отношением ковариаций к произведению отдельных дисперсий, получаем следующее равенство:
Отсюда следует, что вега корреляции (как мы можем ее назвать) структуры равна:
Пример (упрощенный). Однолетний опцион на среднее значение USD-DEM и USD-JPY, страйк 1,19 (для простоты делим иену на 100), в настоящее время при деньгах. Пара USD-DEM торгуется на уровне 1,42, USD-JPY – на уровне 100. Ставки составляют 5 % по USD, 5 % по DEM и 1 % по JPY. Примечание. Чтобы рассчитать форвард корзины, можно использовать линейные веса форвардов. Это несложно (учитывая однородность функции), поскольку:
Форвард (∑wiSi, t) = ∑wi форвард (Si, t).
Таким образом, оператор может игнорировать форвардную кривую (принимая во внимание отсутствие теневой гаммы) и для вычисления волатильности просто использовать спот.
Волатильности USD-DEM и USD-JPY за 6 месяцев составят 11,85 % и 11 % соответственно. Предположим, что каждый вес равен 0,5. Корреляция между инструментами составляет 0,60. Без учета логнормальности корзинный опцион может быть оценен как ванильный опцион с волатильностью, равной:
(1,19 0,5 + 1,42 0,5)–l (0,52 0,112 1,192 + 0,52 0,11852 1,422 + 2 0,5 0,5 0,6 0,11 0,1185 1,42 1,19)½ = 10,28 %.
Если корреляция упадет до 0,5, волатильность корзины уменьшится до 9,96 %. Если корреляция начнет двигаться в сторону –1, цена опциона будет снижаться.
В табл. 22.2 представлен упрощенный пример арбитражных аберраций при экстремальных значениях 0,9 и –0,9.
Правило управления рисками: корреляционная ловушка. Корзинный опцион должен торговаться ниже уровня, соответствующего корреляции 1, и выше уровня, соответствующего корреляции –1, где любая из волатильностей является независимой (или частично независимой) переменной. Это просто следствие принципа загрязнения. Причина состоит в том, что вблизи значения 1 корреляция становится выпуклой для продавца, а вблизи значения –1 – для покупателя.
Еще один опцион рассматриваемого типа – опцион кванто. Это опцион, в котором чистый результат сделки (т. е. прибыль/убыток) зависит от курса иностранной валюты, которая может быть коррелирована с ним. Этим обуславливается слабый эффект корреляции, который необходимо учитывать.
■ Композитными называют ценные бумаги, выплаты по которым определяются формулой, привязанной к цене двух или более ценных бумаг. Как правило, к этой категории операторы относят опционы на активы, скомбинированные так, чтобы устранять некоррелированную дельта-нейтральность.
Из-за того, что эти ценные бумаги индивидуализированные, у них нет постоянной спецификации. Они могут представлять собой пропорциональные или взвешенные комбинации (линейные или нелинейные). Линейные комбинации рассматривались выше. В представленном далее примере мы проанализируем индексные ноты (комбинацию, зависящую от отношения).
Отнести эти инструменты к какой-либо определенной категории довольно сложно, поэтому каждый из них должен оцениваться индивидуально, как правило с помощью численных методов. Сложности могут возникнуть, если задействована сумма: отношение двух логнормальных доходностей является логнормальным, но не их сумма, что возвращает оператора к проблеме корзины.
Эти инструменты часто зависят от корреляции. Однако при поиске частных производных (частной дельты, гаммы и т. д.) операторы должны проявлять большую осторожность, поскольку показатели корреляции демонстрируют высокую нестабильность.
Не вдаваясь в мотивы фирм, выпускающих такие инструменты, автор книги предупреждает потенциальных клиентов: зависящие от пути выплаты нельзя рассматривать без корректирующей линзы, поскольку окончательные соглашения по срокам и условиям могут ввести в заблуждение, если зависят от определенного пути, как будет показано на примере французского франка.
Количественный пример: Индексные ноты
Этот пример поможет читателю понять, что такое композитная базовая ценная бумага, которую можно разложить только с помощью корреляционного анализа.
Математическое примечание: помимо всего прочего, пример с данной индексной нотой иллюстрирует классическую проблему инструментов, представленных на неполных рынках и подлежащих оценке на статистической (ожидаемая стоимость на момент экспирации), а не арбитражной основе.
Как следствие, в данном случае нельзя использовать одномоментную волатильность и корреляцию. Вместо них следует учитывать скорее временну́ю (на момент экспирации) волатильность и корреляцию. Мы также рекомендуем опираться на чутье трейдера, указывающее на возможные дискретные состояния, а не на непрерывное финансирование.
Как рассказал другу автора один из продавцов индексных нот, они предлагают ноту со «встроенным валютным опционом», поскольку это делает ее более ценной в глазах его фирмы. Друг автора, достаточно опытный для того, чтобы критически относиться к мнениям продавцов (особенно по таким вопросам, как оценка опционов), попросил проанализировать такую ноту в контексте вопросов, освещаемых в книге. При анализе мы ограничимся интуитивным подходом; оценивая облигацию, попытаемся лишь выявить ее общую качественную чувствительность, а не установить неуловимую справедливую стоимость.
5 декабря 1995 г. правительство Мексики выпустило ноту, деноминированную в долларах США, со следующими условиями выплаты (мы используем обозначения, указанные в описании сроков и условий):
Номинальная стоимость (в долларах США) × Max (опцион CETES[205] или опцион LIBOR) на 27 ноября 1996 г.
● Опцион LIBOR = FV × (1 + USD LIBOR × фактическое количество дней / 360), точно известна на дату выпуска ноты.
● LIBOR = 12-месячная ставка USD LIBOR за 2 дня до выпуска. Предположим, что опцион LIBOR был зафиксирован на уровне 1,056.
Опцион CETES = FV MXNA MXNB/USDR.
● MXNA = MXN-USD (т. е. количество песо за один доллар США) за 2 дня до выпуска ноты. Предположим, что значение было зафиксировано на уровне 7,7.
● MXNB = 1 + Max (ставка CETES на момент экспирации минус 2 дня (фактическая в годовом исчислении/360–0,06, 0). Ставка CETES – это обязательство мексиканского правительства. При анализе мы не учитываем, что ставка CETES дисконтируется со дня выпуска, что обуславливает разницу в пределах 30 базисных пунктов.
● USDR = курс песо MXN-USD на момент экспирации минус два дня.
В описании условий выпуска поясняется, что правительство Соединенных Штатов Мексики будет радо предоставить владельцу ноты кредит в местной валюте, если у него закончатся доллары. Это можно интерпретировать как указание на то, что владелец ноты не защищен от весьма вероятного риска дефолта или конвертируемости: правительства имеют дурную привычку объявлять перевод денег за рубеж незаконным, сталкиваясь с нехваткой резервов в иностранной валюте. Таким образом, нота в конечном итоге может погашаться в неконвертируемых песо, что вынудит ее держателя усовершенствовать свой испанский и согласиться на тихую и спокойную жизнь вблизи поля для гольфа где-нибудь в Мексике.
С учетом пересмотренных условий стоимость ноты (в долларах США) составляет:
exp (–rt) Max (7,7 (1 + ct) × 1/MXN-USD, 1,056) – {риск дефолта},
или, грубо,
exp (–rt) Max (7,7 (1 + ct) × 1/MXN-USD – 1,056, 0) + 1 – {риск дефолта},
поскольку сумма 1 + LIBOR первоначально равна ставке финансирования exp(r); r – непрерывно начисляемая ставка, используемая в этих формулах; c – ставка CETES. Соответственно, получаем:
1 + колл на U с ценой страйк 0 – {риск дефолта},
где U = 7,7 (1 + ct) × 1/MXN-USD – 1,056.
Без учета риска дефолта нота выглядит как простой опцион колл на базовую ценную бумагу, которую сначала нужно определить. Ценная бумага включает прежде всего произведение CETES и валюты (в условиях по доллару США) или отношение CETES к валюте (в условиях по песо). Это произведение – валюта? Маловероятно, если только одна из составляющих (ставка CETES) не остается замороженной. Также нота могла бы быть опционом колл на ставку CETES, если замороженной остается валюта. Однако случаи, когда одна составляющая движется, а другая остается замороженной, возможны разве что в упражнениях с электронными таблицами. Предположим, что CETES и валюта движутся в противоположных направлениях в долларовом выражении (ставки растут, когда песо ослабевает) и в одном направлении, если оператор рассматривает валюту в пересчете на песо (ставки растут, когда доллар растет по отношению к песо). Таким образом, базовый актив валютного опциона будет условно привязан к валюте или CETES.
В результате потенциальный покупатель может начать поправлять продавца. Он может сказать: «У этой ноты есть встроенный опцион на инструмент. Я не могу точно определить его, но он до некоторой степени привязан к валюте».
Если бы такой продукт существовал на рынке, владельцу ноты не составило бы труда пойти против него дельта-нейтрально и применить все замечательные правила динамического хеджирования. Но продавец, без сомнения, не захочет создать такой рынок. Поэтому следует рассматривать структуру как мультиактивную по конструкции, как говорилось в главе 1. Она похожа на валютный опцион на причудливую пару, которую владелец должен хеджировать только с помощью триангуляризации, и поэтому ему придется анализировать такие вещи, как корреляция.
Что касается риска дефолта, то его лучше всего оценивать, рассматривая структуру как американский бинарный опцион на процент от номинальной стоимости, как таковой коррелированный с валютным курсом.
На некоторое время опустим 1 в формуле. Посмотрите на выплату на момент экспирации опциона (рис. 22.8).
Как показано на рисунке, бо́льшая часть выплаты по ноте приходится на северо-восточное направление, где более высокие CETES и более сильный мексиканский песо, что вряд ли возможно в реальности. Нет необходимости оценивать структуру, чтобы увидеть, что такая область не очень вероятна: операторы, как правило, ожидают роста курсов высокодоходных валют, когда они ослабевают, и его снижения в случае (редких) периодов укрепления. Встроенный валютный опцион вступает игру только в таких областях.
Кроме того, ожидаемая доходность мексиканского песо находится далеко справа от начального курса, потому что мексиканский форвард торгуется со скидкой (доллар – с премией).
Предполагая, что однолетние форвардные ставки = CETES (упрощение, поскольку кривая доходности для облегчения анализа не рассматривается),
Mu = дифференциал процентных ставок. Пусть он составляет 0,225 % (разница между ставками по условиям для США и Мексики, если использовать только информацию, содержащуюся в описании сроков и условий).
Форвард Мексика = Спот exp (–Mu t) эквивалент 9,64 песо к доллару. Дополнительная информация о ценообразовании содержится в техническом примечании.
● Первый вывод, который можно сделать, таков: как и сказал продавец в начале истории, наша нота действительно содержит некий элемент опциональности (при отсутствии риска дефолта), потому что она не приносит никакой выплаты в большинстве областей карты, но может где-то дать выплату. В соответствии с правилом стохастического доминирования это должно стоить определенной премии.
● Следующий шаг состоит в том, чтобы оценить опциональность путем вычисления вероятности попадания в каждую точку на карте. На интуитивном уровне оператор уже понял, что в приподнятых областях такое попадание маловероятно.
Далее необходимо оценить вероятностную среду при высокой корреляции между двумя элементами, MXN-USD и CETES. На рис. 22.9 показана вероятность оказаться в каждой точке на рис. 22.8 при корреляции на уровне 75 %.
● Предупреждение. Осторожнее с корреляцией! Данная карта составлена на момент экспирации, и она требует учета корреляции за более продолжительный период. Использование дневной корреляции будет создавать белый шум, не имеющий большого значения для такого аномального рынка, как Мексика. Другой подход – использование коэффициента дисперсии – основан на том, что может иметь место смещение, связанное с частотой выборки: более короткие периоды выборки будут демонстрировать более низкую корреляцию. Наконец, повышающая корреляция обычно отличается от понижающей, как было показано в главе 15.
● Еще одно предупреждение. При определении справедливой стоимости нашей ценной бумаги следует внимательно относиться к горизонту. Учитывая, что оператор имеет дело либо с возвратом к среднему, либо с процессом с некоторой долей гетероскедастичности, следует предупредить его о рискованности предположения, что («квадратный корень из времени») всегда работает (т. е. дисперсия прямо пропорциональна временно́му горизонту). Поэтому понятие дневной измеряемой волатильности нельзя использовать для оценки окончательной выплаты (см. обсуждение этого вопроса в главе 6).
Читатель может мысленно объединить две карты и рассмотреть условный характер выплаты. Не нужны дополнительные математические расчеты, чтобы увидеть, что область к северо-востоку от «холма» демонстрирует повышенный риск дефолта – риск, который не вознаграждается. Действительно, более высокие процентные ставки, более слабая валюта и повышенный риск дефолта неразрывно связаны между собой.
Анализ чувствительности показывает следующее.
● Стоимость ноты статически растет при росте волатильности CETES или валюты. Это видно на карте: «холм» на рис. 22.10 будет становиться все выше и покрывать все больше зон выплат.
● Стоимость ноты статически растет при ослаблении корреляции между CETES и валютой. Вследствие этого пространство, занимаемое «холмом», становится менее вытянутым по диагонали (см. рис. 22.11).
Если бы Мексика определялась как смещенный актив, как в главе 15, оператор ожидал бы поведения рынка, зависящего от его режима рынка: волатильность Мексики росла бы в условиях паники, связанной с положением валюты в определенных точках на карте. Кроме того, согласно определению смещенного актива, понижающая корреляция выше повышающей вследствие отрицательного распределения Пуассона, влияющего как на ставки, так и на валютную пару[206]. Если бы обе корреляции определялись диффузией плюс отрицательным скачком, влияющим на ту и другую, стало бы очевидно, что валюта и ставки демонстрируют относительную независимость (диффузия и, следовательно, ослабление корреляции) вне периодов паники (скачков и, следовательно, высокой корреляции).
Необходимо подчеркнуть, что статический анализ производных греков в действительности бесполезен. Поэтому в нашем анализе мы не рассматриваем чувствительность.
Вывод таков: корреляционно-зависимые продукты, особенно связанные со смещенными активами, слишком сложны, чтобы прислушиваться к мнению обычного продавца.
Ценообразование ноты (для продвинутых читателей)[207]. USD-MXN – курс мексиканской валюты по отношению к доллару США (валюте расчетов).
где Mu = 0,225 – дифференциал процентных ставок, USD-MXN0 = 1/7,7, x – случайная величина c нормальным распределением с единичной дисперсией и средним значением 0, σM – волатильность пары MXN-USD (такая же, как пары USD-MXN).
Оператор должен рассматривать процесс MXN-USD, а не USD-MXN, поскольку валюта расчетов (на текущий момент) – доллар США с ожидаемой ставкой за период t:
где ρ(x) – центрированная функция нормальной плотности. Примечательно, что, если трейдер выберет в качестве валюты расчетов MXN-USD, то в качестве процесса он получит:
Таким образом, ожидания для USD-MXN составляют 9,645, в то время как для MXN-USD при волатильности валюты на уровне 35 % – 10,90. Вот вам еще один пример парадокса двух стран.
Что касается ставки CETES, трейдер использует формулу:
где d – дрейф ставки CETES, а ρ – ее корреляция с валютой.
Таким образом, справедливая стоимость ноты составит:
и она может быть рассчитана на основе стандартных методов ценообразования.