Второстепенные экзотические опционы: лукбэк- и азиатские опционы
Друг автора этой книги, интеллектуал и ветеран трейдинга, настроившись на философский лад после нескольких глотков отличного бордо, указал на бутылку и заметил: «Если у трейдера есть мозги, он, как хорошее вино, с возрастом становится только лучше. А плохой трейдер быстро прокисает и превращается в уксус».
В этой главе мы рассмотрим ряд экзотических опционов, которые, несмотря на множество посвященных им научных работ, с точки зрения трейдинга не являются чем-то принципиально новым. Мы называем их второстепенными, потому что бо́льшая часть информации о них была представлена в предыдущих главах, посвященных экзотическим опционам.
Лукбэк- и лестничные опционы
■ Лукбэк-опционы дают владельцу право в течение установленного периода продавать на максимумах или покупать на минимумах.
Соответственно, их еще называют опционами с плавающим страйком. Существуют и другие разновидности лукбэк-опционов, например опционы с фиксированной ценой страйк (владелец структуры держит опцион при деньгах, исполняющийся на максимуме за определенный период). Данную разновидность мы рассматривать не будем.
Основная проблема лукбэк-опционов заключается в том, что из-за их высокой цены они не торгуются в обычном порядке. Эти опционы действительно очень дороги – как правило, цена примерно в два раза выше премии обычного опциона.
Пример. Структура, представленная на рис. 23.1, позволяла владельцу продать на максимуме за определенный период. Максимум оказался на уровне 116,92. Владелец стал счастливым обладателем опциона пут с исполнением на уровне 116,92.
Существует множество методов анализа лукбэк-опционов с точки зрения управления рисками. Трейдеры, торгующие экзотическими инструментами, основанными на барьерных опционах, обычно не испытывают серьезных трудностей с пониманием экспозиции к перекосу волатильности, характерной для продукта.
Главный риск – гамма. Нетрудно заметить, что гамма опциона «односторонняя», т. к. она требует действий с одной стороны рынка. Лукбэк-опцион, достигающий максимума, скажем, на уровне 117 (как на рис. 23.1) и опускающийся ниже этого максимума, в действительности не будет отличаться серьезной гаммой для продавца, если рынок не достигнет нового максимума. Это называется односторонней гамма-экспозицией. В такой ситуации лукбэк напоминает барьерный опцион, где характер гаммы меняется за барьером.
В целях управления рисками лукбэк-опционы можно рассматривать двояко: во-первых, с точки зрения ролловер-репликации и, во-вторых, с точки зрения предельного разложения. Оригинальный метод ценообразования по модели Голдмана–Сосина–Гатто[208] базируется на следующей стратегии репликации.
Предположим, брокер продает клиенту лукбэк-колл, т. е. право купить на минимуме в течение следующего года. Сначала он покупает колл при деньгах сроком на 1 год. Если на рынке сразу же начинается ралли, трейдер может не волноваться, поскольку риск больше не потребует динамического хеджирования. Рынки, однако, имеют дурную привычку немного колебаться. Чтобы гарантировать исполнение колла на минимуме, при каждом падении рынка брокер должен менять позицию на колл с более низкой ценой страйк. Такая замена требует финансовых расходов. Дополнительные затраты можно легко рассчитать с помощью стохастического интегрирования. В этом случае лукбэк-опцион будет представлять собой сумму двух компонентов:
1. Исходный опцион;
2. Стоимость замены позиции на колл с более низкой ценой исполнения.
Стохастическое интегрирование (в приведенной стоимости) функции затрат соответствует наценке опциона при деньгах. Такой инструмент называют опционом со страйк-бонусом.
Использование этого метода анализа лукбэк-опционов может дать оператору понимание на интуитивном уровне серьезной проблемы трейдинга, а именно проблемы перекоса волатильности. Лукбэк-колл стоит дороже при нисходящем перекосе волатильности (когда более низкие страйки стоят дороже), потому что его максимальная гамма всегда будет позиционироваться по самой низкой цене, которой рынок достигнет за время жизни опциона. Соответственно, лукбэк-пут при таком же перекосе волатильности будет стоить дешевле, потому что его гамма будет располагаться на максимумах. Читатель уже знает, что на рынках с нисходящим перекосом гамма не располагается там, где находится восходящий перекос волатильности.
Правило управления рисками: лукбэк-опцион имеет экспозицию по третьему моменту, который невозможно хеджировать с помощью ванильных опционов.
Причина заключается в том, что гамма лукбэк-опциона всегда будет максимальной при зарегистрированном экстремальном значении в течение его жизни. Ванильный опцион, изначально соответствующий гамма-риску, при непрерывной распродаже быстро уйдет от денег, в то время как лукбэк-опцион сохранит свою гамму.
Есть, однако, один утешительный момент: гамма лукбэк-опциона остается односторонней. Оператор может не волноваться за обе стороны. На рис. 23.2 показана суть проблемы: гамма опциона образует колоколообразную кривую вокруг страйка, в то время как кривая гаммы лукбэка похожа на склон горы с плоской вершиной.
Прежде чем перейти ко второму методу ценообразования лукбэк-опционов для целей хеджирования, необходимо рассмотреть одну из комбинаций с их участием.
■ Лестничные опционы – это лукбэк-опционы, дающие владельцу право продавать на максимуме или покупать на минимуме с установленными дискретными приращениями. Эти опционы также называются дискретными лукбэк-опционами.
Пример. Такой же лукбэк-опцион, как и рассмотренный выше, позволяет владельцу продавать на максимуме, но с приращением $5. Владелец может продавать на уровне 105, 110, 115, 120 и т. д. В нашем примере максимум составлял 116,90, но владелец структуры смог продать по 115, что не катастрофично.
На рис. 23.3 видно, что лестничные опционы похожи на лукбэк-опционы, округляемые по цене. Они стоят дешевле, потому что выплата по ним ограничена – верхним пределом является выплата по лукбэк-опциону. В предыдущем примере выплата по лестничному опциону была на $1,90 меньше, чем по лукбэк-опциону.
Математики знают, что прикладные проблемы можно рассматривать на основе междисциплинарного подхода, получая одинаковые результаты. Это относится и к ценообразованию опционов. Лестничный опцион можно рассматривать как лукбэк-опцион, в котором часть страйк-бонуса вычисляется только по установленному приращению цены. Его также можно рассматривать как стрип нокин-опционов.
Предположим, что опцион дает право продать актив на максимуме с округлением в сторону понижения с шагом 5 пунктов – скажем, по 100, 105, 110, 115 и т. д. – в течение следующего года. Предположим также, что цена актива составляет 100. Опцион можно разложить на следующие опционы, используя для нокин-опциона обозначение KI (страйк, триггер):
Длинный 1 KI(100,100) (который должен включаться немедленно);
Короткий 1 KI(100, 105);
Длинный 1 KI(105, 105);
Короткий –1 KI(105, 110);
Длинный 1 KI(110, 110);
Короткий 1 KI(110, 115);
Длинный 1 KI(115, 115);
Короткий 1 KI(115, 120);
Длинный 1 KI(120, 120)
и т. д., пока разность KI(S, S) и KI(S, S + 5) не станет очень маленькой.
Теперь рассмотрим перекос волатильности. Читатель может рассчитать его для нокин-опционов с помощью метода, рассмотренного в главе 19, таким образом построив более точную модель как для лестничного опциона, так и для лукбэк-опциона.
Лукбэк-опцион можно рассматривать как предельный случай такого разложения, поскольку разница между страйками становится очень незначительной. Общая формула представлена ниже.
Max лестничного опциона = limit ϵ → 0 Sum(KIP(Si, Si) – KIP(Si, Si + ϵ)) от i = 1 до бесконечности, где ϵ – приращение, а KIP – нокин-пут.
Минимум лестничного опциона – такая же зеркальная конструкция с нокин-коллами. Трейдеры, ориентирующиеся на перекос волатильности, усовершенствуют эту формулу, используя функцию волатильности, связанную с ценой страйк барьерного опциона. Но, как правило, при этом цена лукбэк-опциона оказывается значительно выше.
На рис. 23.4 показано, как цена стрипа нокин-опционов удаляется от цены лукбэк-опциона, когда трейдер увеличивает разницу между ногами нокина. На графике представлен опцион сроком на 1 год без дрейфа с волатильностью на уровне 10 %. В крайней левой части рисунка – цена лукбэк-опциона, близкая к удвоенной цене ванильного опциона, в крайней правой – стоимость ванильного опциона.
Помимо перекоса волатильности продукт демонстрирует эффект дрифтвуда, как его обычно называют трейдеры. Для продукта он является такой же хронической проблемой, как и для барьерных опционов. Дрифтвуд – это концентрация страйков непосредственно ниже недавних минимумов и выше недавних максимумов. Это приводит к значительной плохой гамме, т. е. гамме, от которой оператор начнет страдать, как только затраты на ее закрытие станут обременительными.
Наконец, следует упомянуть еще об одном применении вездесущего арксинусного закона случайного блуждания, который использовался для распределения прибыли/убытка индивидуального трейдера в главе 3 (см. рис. 23.5). Распределение экстремумов любого броуновского движения будет максимальным в самом начале и в самом конце игры.
Почему?
Понять концепцию будет легче, если начать с середины периода. Предположим, что до экспирации опциона осталось 6 месяцев и что рынок только что достиг новых минимумов. Вероятность того, что новый минимум будет минимумом за следующие 6 месяцев, очень невелика, поскольку рынок с высокой вероятностью продолжит падать. Это выглядит так, словно трейдер начал торговать совершенно новым лукбэк-опционом.
Посмотрите на начало периода: вероятность того, что рынок достигнет одного из своих экстремумов, очень высока, поскольку любая тенденция будет развиваться и с противоположной стороны. Если один игрок бросает кости и выигрывает три раза, кумулятивные прибыль/убыток равны трем. Тенденция такова: вероятность того, что минимум (в данном случае 0) будет близок к оси координат, является самой высокой.
Операции с азиатскими опционами обычно доверяют молодым неопытным трейдерам, поскольку риски таких опционов отличаются постоянством и управлять ими несложно.
■ Под азиатскими понимаются опционы на средние значения[209]. Выплаты по ним зависят от взвешенной комбинации событий в течение определенного периода.
К азиатским относятся опционы со средним плавающим страйком, которые, как и лукбэк-опционы, дают владельцу право на цену страйк за определенный период, и опционы с фиксированным страйком, в которых эта цена устанавливается заранее как средневзвешенное значение для определенного временно́го окна. Существует несколько типов среднего: наиболее распространены среднегеометрические и среднеарифметические значения. Для упрощения обычное броуновское движение мы на этот раз делим на равные интервалы в один шаг (без дрейфа):
где σ – волатильность, t – время до экспирации, а z – центрированная случайная величина с нормальным распределением.
● Среднее геометрическое:
с такими значениями wi, чтобы их произведение было равно p. Автор не видел ни одной такой сделки, но необходимо проанализировать ее, чтобы понять разницу между средним геометрическим и арифметическим, поскольку среднее геометрическое чаще используется на финансовых рынках.
● Среднее арифметическое:
с такими значениями wi, чтобы их сумма была равна n.
Следующее упражнение, как и упражнение в главе 22, поможет понять некоторые трудности, связанные с ценообразованием опционов.
Возьмем среднее значение за 4 дня.
Процесс принимает экспоненциальную форму, и определенные лаконичные результаты без труда можно получить с помощью простой формулы Блэка–Шоулза–Мертона.
Среднее арифметическое, однако, более информативно:
Точно так же, как если бы пользователь смотрел на линейную комбинацию опционов на независимые активы с одинаковой волатильностью (известно, что z1, z2, … zn являются независимыми). Здесь мало логнормальности, т. к. процесс не может быть обобщен в виде St = S0exp(что-то). Иными словами, нельзя получить dS/S – нормально распределенную переменную.
Это осложнение несколько оживляет картину. Как трейдера автора этой книги азиатские опционы быстро вгоняют в сон. Как любитель теории вероятностей он находит процесс довольно необычным[210].
Оставшаяся часть главы посвящена нескольким важным моментам, касающимся хеджирования. Существующие в настоящее время методы ценообразования нацелены на то, чтобы обойти процесс вычисления среднего значения ∑wiSi путем нахождения какой-либо формы, позволяющей отслеживать расхождение между логнормальным распределением и средним значением.
Читатель будет рад узнать, что такое расхождение – это перекос волатильности. Большинство методов обхода нацелено на репликацию распределения за счет обнаружения его моментов и использования функции логнормального распределения, удовлетворяющей таким моментам. Однако, как будет показано далее, большинство трейдеров по-прежнему довольствуются методом Монте-Карло.
Сравнивая распределение средних с распределением базового актива, можно увидеть, что отношение вторых моментов распределений близко к Таким образом, мгновенную локальную дисперсию можно уменьшить с помощью пропорционального хеджирования равных сумм.
● Трейдер покупает азиатский опцион и продает соответствующий ванильный опцион в правильном гамма-нейтральном соотношении (примерно 1,73 к 1). На рис. 23.6 представлено сравнение двух позиций, каждая из которых независима от другой.
● На рис. 23.7 показан спред двух опционов; как и ожидалось, имеет место короткий перекос волатильности.
Хороший способ разобраться в этом эффекте – обратиться к понятию компаундинга. Сумма экспонент – это то же самое, что экспонента суммы. Сумма экспонент, скажем exp(n) + exp(m), равная экспоненте exp(a + b), не будет расти так же, как последняя при умножении на 2. Сравните результаты: exp(2n) + exp(2m) и exp(2 × (a + b)). Читатель может попробовать проделать это в качестве упражнения, чтобы увидеть одну из выпуклых характеристик экспоненты.
При ценообразовании азиатских опционов мы рекомендуем учитывать волатильность и процентные ставки (т. е. всю кривую), потому что имеет значение каждый интервал. Кроме того, при росте волатильности выше 30 % рекомендуется использовать метод Монте-Карло. В большинстве других случаев можно применять модель ценообразования, основанную на обычных приблизительных оценках. Более высокая точность при аппроксимировании несущественна по сравнению с точностью, потерянной при использовании гомоскедастической модели.
В заключение сделаем еще несколько замечаний.
● Разбивка на интервалы. Азиатские опционы требуют отслеживания интервальных вег и распределения форвардов. Как ни странно, средняя точка для форвардных хеджей визуально напоминает точку момента остановки.
● Тонкость. Среднее арифметическое необратимо из-за неравенства Дженсена. Среднее значение USD-DEM не равно 1/среднее значение DEM-USD.