Модули
Модуль AБроуновское движение в электронной таблице: краткое руководство
Данный модуль представляет собой введение в теорию случайных блужданий.
■ При ценообразовании ценных бумаг случайное блуждание обуславливает изменение за определенный период их цены в той части, в которой оно носит случайный характер. Изменение цены в той части, в которой оно не рассматривается как случайное, называется дрейфом.
Для простоты предположим, что поведение финансовых инструментов определяется случайным процессом, который можно смоделировать в электронной таблице.
Броуновское движение = случайное блуждание + дрейф.
Упражнения, предлагаемые в данном разделе, посвящены элементу случайности. Дрейф будет рассмотрен в модуле B.
Представим себе пьяницу, бредущего по Мэдисон-авеню. Выпил он крепко и не помнит, где был только что. Он может идти только вперед, причем с неизменной скоростью. При каждом шаге он будет продвигаться вперед, отклоняясь то вправо, то влево: шаг вперед + шаг влево или вперед + шаг вправо, как показано на рис. A.1.
Сделав 10 шагов, наш пьяница использует следующий набор комбинаций: 10 шагов вперед + максимум 10 шагов влево, 10 шагов вперед + максимум 10 шагов вправо, а также все промежуточные варианты.
Предполагается, что на рынке ценных бумаг происходит такое же случайное блуждание, с одной оговоркой: длина шагов увеличивается по мере роста цены актива. Наглядное представление об этой концепции дает моделирование случайного блуждания в электронной таблице Excel[211].
Откройте новую электронную таблицу.
Инструменты → Анализ данных → Генератор случайных чисел.
Количество переменных = 1.
Количество случайных чисел = 248.
Распределение = нормальное.
Среднее значение = 0.
Стандартное отклонение = 1.
Диапазон выходных данных = B4.
→ OK.
Exсel сгенерирует 248 случайных чисел. Среднее значение будет близко к нулю. Эти числа будут называться нормально распределенными вокруг среднего значения 0 при стандартном отклонении 1.
В ячейку A3 введите число 100. Это будет начальная цена актива. Далее в ячейке A2 укажите волатильность актива (скажем, 0,157). Это будет означать, что стандартное отклонение составит (дневной эквивалент 1 % из расчета 248 дней в году). В ячейку A4 введите следующую формулу:
A3 × EXP(–0,5.$A$2^2 × (1/248) + $A$2 × (1/15,7) × B4).
Cкопируйте ее в ячейку A251. Это будет путь (последовательность) доходов за день:
St = St–1 × Exp (–1/2 σ2t + σ × × Wt).
Приравнивание значений ячеек в соответствии с формулой выполняется следующим образом:
St = A4;
St–1 = A3;
= 1/248;
= SQRT(1/248); поскольку каждая строка будет отражать один день, то = SQRT(1/15,7);
Wt – случайное число; среднее значение = 0, среднее положительное значение = 1, среднее отрицательное значение = –1.
Теперь выделим интервал (A3:А251) и построим график. Результат показан на рис. А.2.
При моделировании процесса в компьютере повторение генерирования случайных чисел для получения новой волны «белого шума» создает новые пути (последовательности).
По мере увеличения волатильности амплитуда движений будет расти.
Вопрос 1 (который задают всегда). Как перейти от пьяницы, все шаги которого имеют одинаковую длину, к шагам разной длины Wt? (Wt может быть любым числом от минус бесконечности до плюс бесконечности, имеющим любое значение в широком диапазоне – например, 0,56, 1,03.)
Ответ лежит в фундаментальных законах теории вероятности. Чтобы его найти, необходимо разбить время на бесконечно малые отрезки размером 1/10 секунды, на которых броуновское движение происходит в цифровом виде: +1 и –1.
Результирующая движений через секунду (включающую 10 движений) в среднем будет равна 0, но значения отдельных движений будут варьировать от –10 до +10. Если предположить, что +1 и –1 – результат работы справедливого генератора случайных чисел, то полученная в результате гистограмма движений за секунду будет иметь отчетливо выраженную форму колокола. Читатель может попробовать смоделировать процесс в электронной таблице, создав дерево с восходящими ветвями +1 и нисходящими ветвями –1. Количество комбинаций составит 1024. Это так называемые пути случайной выборки. Соответственно, будет получено 11 возможных результатов. После 10 шагов результат может выражаться только четным числом шагов. Окончательные пропорции представлены в табл. A.1 и на рис. A.3.
Таким образом, мы эвристически вывели теорему о центральном пределе (в простейшем виде – теорема Муавра–Лапласа). При увеличении количества наблюдений результирующая случайных шагов (+1, –1) имеет распределение, близкое к колоколообразному (рис. A.3). Очевидное ограничение: шаги всегда должны быть одинаковой длины. В данном контексте понять закон нетрудно, вот только он, возможно, чаще других математических законов трактуется неверно.
Вопрос 2. Почему стандартное отклонение – это квадратный корень из времени?
В представленном выше примере мы предположили, что каждый шаг при распределении от +1 до –1 – это единица времени. Стандартное отклонение – квадратный корень из суммы квадратов шагов. В данном случае все шаги возводятся в квадрат: (–1)2 и (1)2, что дает единицу. Кроме того, математическое ожидание E(W) = 0.
Поскольку все значения W2 = 1, а время t = n, σ = .
Поэтому стандартное отклонение для двух значений +1, –1 равно квадратному корню из числа движений. Очевидно, что стандартное отклонение в нашем упражнении будет составлять Приблизительно две трети путей находятся в интервале от +3,16 до –3,16.
Мастер опционов: диффузия
Случайное блуждание, смоделированное в электронной таблице, иллюстрирует процесс диффузии.
Суть диффузии состоит в том, что, какими бы мелкими ни были временны́е интервалы, функция остается зубчатой. Графически она всегда будет отражать приблизительно такой путь случайной выборки, как на рисунке ниже.
При увеличении частоты наблюдений этот путь будет выглядеть следующим образом:
Разбивка времени на более короткие интервалы не приводит к сглаживанию зубцов графика ни в одном из его сегментов. Хотя функция непрерывная, график не меняется и не становится более сглаженным ни на одном отрезке. Для обозначения такой зубчатости используется модный термин «фрактальная структура». Студенты, изучающие курс математического анализа, в том числе ряды Тейлора, знают, что любая функция в очень узком сегменте может быть развернута в многочлен, включающий ее производные:
f(x + ∆x) = f(x) + f′(x)∆x + 1/2 f′′(x)(∆x)2 + … + 1/n fn(x)(∆x)n.
Они также знают, что для функции S от времени t на очень малых временны́х интервалах (∆S)2 → 0, если t → 0. Один из фундаментальных законов стохастического исчисления гласит: какими бы малыми ни были временны́е интервалы, ∆S2 не стремится к нулю благодаря содержащемуся в ней элементу случайности. На самом деле ∆S2 → σ2∆t.
Опционному трейдеру чрезвычайно важно понимать, что если бы существовала возможность сглаживания кривой базового актива, то операционные затраты на опцион можно было бы снизить за счет изменения баланса гаммы, что позволило бы оператору выбирать частоту хеджирования, соответствующую приращениям. Модель Блэка–Шоулза–Мертона этого не позволяет. Даже если трейдер будет менять баланс каждую миллиардную долю секунды, затраты на опцион не снизятся.
В случае с одним активом мы сравнивали случайное блуждание с прогулкой пьяницы. А теперь представьте себе парящую в небе пьяную птицу. В любой момент ее местоположение будет задано высотой над землей, широтой и долготой (направлением с севера на юг и с востока на запад). Соответственно, местонахождение птицы будет определяться тремя видами данных, т. е. рассчитываться в трех измерениях.
В случае двух активов случайное блуждание нетрудно смоделировать на компьютере, и для этого не требуется знание такой сложной дисциплины, как матричная алгебра. Просто нам придется принять во внимание три параметра: волатильность актива А, волатильность актива В и корреляцию активов.
Примечание. Читателю необязательно немедленно углубляться в матричную алгебру. Он может просто принять наши результаты как данность.
Как и в предыдущем примере, можно смоделировать соответствующее броуновское движение в электронной таблице, аналогичной той, которую мы создали ранее. Для упрощения расчетов присвоим ячейкам соответствующие имена.
Итак, мы имеем два актива: A и B.
Войдите в Excel.
Откройте новую электронную таблицу.
Панель инструментов → Анализ данных → Генератор случайных чисел.
Количество переменных = 2.
Количество случайных чисел = 252.
Распределение = нормальное.
Среднее значение = 0.
Стандартное отклонение = 1.
Диапазон выходных данных = B4.
→ OK.
Как и в предыдущем примере, получаем два набора независимых случайных чисел. Первый актив, A, будет независимым. Второй актив, В, должен быть привязан к первому соответствующей корре