■ Переворачивание валюты расчетов – это переключение единицы, в которой ведутся расчеты, с базовой валюты на встречный актив t.
Колл на S со страйком K и риск-нейтральной ставкой rd и ставкой встречного актива d может оцениваться как пут на 1/S со страйком 1/K, риск-нейтральной ставкой d и ставкой встречного актива rd.
Трейдеров следует предупредить, что переворачивание валюты расчетов дает точно такой же ценовой эквивалент (за исключением азиатских и цифровых опционов), но дельта будет другой[216].
Любой риск-менеджер или трейдер, прежде чем приступить к анализу и измерению рисков, должен знать реальную, действительную валюту расчетов. Этот вопрос встает как при более высокой волатильности, так и в ситуациях, когда много пар торгуется друг против друга без какой-либо доминирующей «домашней» валюты.
Следующий раздел предназначен для ярых сторонников математических методов.
Вышеописанная ситуация является прямым следствием неравенства Дженсена: выпуклая[218] функция математического ожидания будет ниже, чем математическое ожидание функции.
Если Ф – выпуклая функция
Ф (E[x]) ≤ E[Ф(x)],
применима к обратной величине, определяемой как (актив 1 – актив 2) = 1/(актив 2 – актив 1), то
1/E(x) ≤ E(1/x).
Расширенный метод включает использование леммы Ито и рассмотрение эффекта изменения переменной. Он позволяет оператору учесть дрейф и получить точный показатель. Это можно сделать, создав функцию 1/x базовой ценной бумаги и выведя ее математическое ожидание.
Начнем с броуновского движения.
где S – ценная бумага, σ – волатильность, а Z – винеровский процесс.
Пусть U(S) = 1/S, обратный курс (встречной валюты). Используя лемму Ито, получаем
Мы имеем:
Используя таблицу умножения Ито, получаем:
dt2 = 0;
dt dZ = 0;
dZ2 = dt.
Это дает
В то время как для dS/S математическое ожидание составляет μdt, для dU/U оно равно (σ2 – μ)dt.
Каждый оператор сталкивается с особым риск-нейтральным стохастическим процессом в зависимости от его валюты расчетов[219].
Модуль DТреугольники корреляции: наглядный пример
Этот раздел необходим для подготовки к анализу мультиактивных опционов[220]. Анализ ограничивается подразумеваемой волатильностью и корреляциями, вытекающими из европейских опционов.
Активы с заданным сроком исполнения (сами активы, а не котируемые пары) могут быть наглядно представлены в виде точек в евклидовом пространстве. «Расстояние» от точки до точки соответствует подразумеваемой волатильности между последними. Этот метод облегчает понимание взаимосвязи волатильностей и влияния корреляции на все возможные пары.
Актив для этой цели определяется как единица, которую необходимо поставить в пару с какой-либо другой единицей, чтобы она могла торговаться. Соответственно, кукуруза может быть одним активом, золото – другим, доллар – третьим. Нетрудно увидеть, что контракт может представлять собой опцион на кукурузу против золота, ванильный продукт для физических лиц, чья «местная» валюта – кукуруза или золото.
Валюты всегда легче анализировать в свете сказанного, потому что они очень наглядно реагируют на изменение единицы расчетов. Валютный трейдер может встретить опцион доллар/иена с таким же успехом, как и опцион иена/монгольский тугрик. Валюта по определению является расчетной единицей, но последней может быть и любая другая единица, включая билеты на бейсбольный матч, – для тех, кто помешан на бейсболе и оценивает все остальное в билетах на матч.
● Подразумеваемая волатильность пары (при заданном сроке исполнения) измеряется расстоянием между точками, имеющими определенные координаты в евклидовом пространстве.
● В двухмерной вселенной формула расстояния между двумя активами с координатами (xl, x2) и (y1, y2) такова:
Ярому приверженцу математических методов нетрудно заметить, что заданная таким образом функция волатильности удовлетворяет условиям метрической функции, или функции расстояния. Следовательно, v(x, y) представляет собой волатильность торгуемой пары x-y, или x в единицах y.
1. Функция v(x, y) является строго положительной, если x отличается от y. Кроме того, v(x, x) = 0: волатильность актива, выраженная в нем самом как расчетной единице, равна нулю. Достаточно увидеть, что: волатильность наличного актива в пересчете на наличный актив равна 0.
2. Функция v(x, y) = v (y, x). Волатильность y в пересчете на x как расчетную единицу равна волатильности x в пересчете на y как расчетную единицу.
3. Функция v(x, y) всегда меньше или равна v(x, z) + v(z, y).
В n-мерном пространстве формула расстояния между двумя активами с координатами x = (x1, x2, …, xn) и x = (yl, y2, …, yn) равна:
Для начала предположим, что месячная волатильность DEM – точка в евклидовом (месячном) пространстве с координатами {7, 12,12}. Пусть USD имеет координаты (0, 0). Для простоты всегда рекомендуется использовать точку с координатами (0, 0) для валюты как товара, в котором рассчитывается прибыль/убыток.
В соответствии с правилами рынка выражение v(x, y) будет записываться как v(x_y) (читается как «волатильность пары x_y»). Далее, v(USD-DEM), величина между точкой {0, 0} и точкой {7, 12,12}, показанной на рис. D.1, будет равна т. е. волатильность USD-DEM будет составлять 14 % (для простоты значение в примере умножается на 100). Аналогичным образом, v(DEM-USD), т. е. волатильность DEM-USD также будет на уровне 14 %.
Теперь добавим JPY. Предположим, что пара USD-JPY торгуется с волатильностью на уровне 12 %, поэтому USD-JPY – вектор длины 12. Но есть много возможностей поместить его на диаграмму, т. к. координаты задают целую окружность с радиусом 12 и центром в точке (0, 0) (рис. D.2).
Выберем произвольные координаты (x1, x2) для точки, находящейся на окружности. Существует бесконечное количество возможностей, т. к. равенство порождает множество комбинаций. Пусть x1 = 11, тогда x2, соответственно, будет равен а точка для JPY в результате будет иметь координаты (11, 4,79).
Теперь мы имеем три точки в пространстве: USD = (0, 0), DEM = (7, 12,12) и JPY = (11, 4,79). Эти три точки должны давать дополнительную информацию. В соответствии с формулой (1) v(DEM-JPY) будет равна sqrt{(7–11)2 + (12,12–4,79)2} = 8,35.
Обратите внимание: равенство треугольника, показанное на рис. D.3, соблюдалось бы и в том случае, если бы иена помещалась на противоположной стороне, т. е. имела бы координаты (–1,35, 11,92).
Прежде чем перейти к анализу «что, если», рассмотрим корреляцию. Как известно, корреляция между сегментами волатильности равна косинусу угла между ними.
Пусть точка n = (n1, n2, … nn) определяется как валюта расчетов:
cos(b) = (x – n) · (y – n)/v(x, n) v(y, n),
где b – угол между сегментами скалярного произведения, «внутреннее произведение» (x – n) · (y – n) = ∑(xi – ni)(yi – ni), и уже известно, что показатель
Уравнение можно упростить, предположив, что X и Y имеют координаты (x1, x2), (y1, y2).
Нетрудно заметить, что корреляция (x-n, y-n) = корреляция (n-x, n-y). Иными словами, корреляция между активом x, выраженным в расчетных единицах n, и активом y, выраженным в расчетных единицах n, равна корреляции между активом n, выраженным в расчетных единицах x, и активом n, выраженным в расчетных единицах y.
Теперь можно вернуться к нашему примеру и рассчитать корреляцию, существующую в мире трех валют. Рассчитаем корреляцию между сегментом USD-DEM и USD-JPY.
Чтобы корреляция оставалась постоянной, волатильность сторон должна расти на одинаковый процент (рис. D.4). Это также приведет к росту третьей волатильности. Немного труднее представить, что волатильность DEM-JPY в этом случае будет расти, потому что выросла волатильность обоих компонентов по отношению к доллару. Автор этой книги попытался убедить в этом коллег, и они, хотя и неохотно, все же признали его правоту.
Более того, когда третья нога поворачивается (как показано на рис. D.5), волатильности остаются неизменными, а корреляция меняется.