При добавлении еще одной валюты к этому миру количество измерений увеличивается на 1. Для включения в расчеты GBP нужно добавить еще одно измерение к уже имеющимся. В трехмерной системе координат {x, y, z} результат будет таким, как показано на рис. D.6.
USD (валюта расчетов) = {0, 0, 0}.
DEM = {7, 12,12, 0}.
JPY = {11, 4,79, 0}.
GBP = {0, 9,57, 2,91}.
Что, если пользователь добавит S&P500? Теперь у него будет пять единиц, которые придется представлять в четырех измерениях. Однако для наглядности он может каждый раз ликвидировать одну единицу.
Трейдер может представить подпространство USD, S&P, DEM, JPY (без GBP). Для этого можно удалить третью строку и представить (nl, n2, n4), учитывая тот факт, что даже трейдеры способны воспринимать мир только в трех измерениях.
USD = {0, 0, 0}.
DEM = {7, 12,12, 0}.
JPY = {11, 4,79, 0}.
S&P = {0, 0, 10}.
Пара S&P500-USD не коррелирует ни с одним другим сегментом. В качестве упражнения читатель может убедиться в этом самостоятельно. Это очевидно: поскольку corr(2 сегмента) = 0, значит, cos(угол) = 0, что означает прямой угол между S&P-USD и JPY-USD; та же ситуация со S&P-USD и DEM-USD, как показано на рис. D.7.
Результат: мир волатильностей можно представить как вселенную точек.
Отсутствие арбитража волатильность/корреляция требует, чтобы все волатильности на рынке (и вытекающие из них корреляции) соответствовали одной и той же метрике между точками. Любое смещение точки влево, вправо, вверх или вниз приведет к арбитражу.
Наличие разных сторон позволяет построить кривую корреляции, которая будет корреляцией, диктуемой правилами треугольника (табл. D.l).
Модуль EСтоимость под риском
Abyssus abyssum invocat. (Бездна взывает к бездне[221].)
Ниже речь пойдет о методе управления рисками, который, подобно портфельному страхованию, эффективен лишь при условии, что его использует небольшое количество людей. Парадокс, рассматриваемый в одной из работ автора этой книги (Taleb, 1997), состоит в том, что метод работает (и успешно) только в том случае, если не пользуется успехом.
■ Стоимость под риском[223] – это метод оценки максимального убытка для портфеля на уровне уверенности, предполагающем знание процесса, управляющего элементами этого портфеля.
Метод стоимости под риском дает трейдерам несколько полезных инструментов краткосрочного хеджирования, которые мы рассмотрели при обсуждении объединения в блоки в главе 12. Тем не менее метод спровоцировал заявления представителей компаний, занимающихся управлением рисками, которые (возможно, непреднамеренно) убеждали своих клиентов в том, что обладают инструментами для оценки общего рыночного риска позиции, физического лица, подразделения компании или всей фирмы в виде одного простого количественного показателя, причем без стандартной ошибки.
Поскольку применение метода постоянно эволюционирует, в данном разделе мы ограничимся его кратким представлением, чтобы он был понятен на интуитивном уровне.
Метод стоимости под риском[224] все чаще используется банками и корпорациями как для адекватного распределения рисков, так и для надлежащей количественной оценки доходности капитала с учетом риска. Концепция раскрытия общей экспозиции с помощью одного простого количественного показателя нравится большинству членов советов директоров и регуляторов, многие из которых не знают всех тонкостей и сложностей рисков на финансовом рынке. Их легко впечатлить «научными» инструментами.
На точность измерения, разумеется, влияет не только огромное количество сложных факторов. Критики метода стоимости под риском (включая автора этой книги) утверждают, что упрощение может привести к искажениям, сводящим на нет значение самого показателя. Более того, оно может обернуться шарлатанством: убаюкивание невинного инвестора или бизнес-менеджера и внушение ему ложного чувства безопасности грозит подрывом доверия к трейдерам. В отличие от представителей точных наук операторы фондового рынка имеют дело с нестабильными параметрами, и измерение риска не сводится к расплывчатой и неточной оценке. Такой подход запросто может привести к искажениям. Самое вредоносное последствие применения метода стоимости под риском заключается в том, что он позволяет высказываться по этому вопросу людям, никогда не имевшим дела с рыночными рисками.
Короче говоря, метод нельзя использовать для того, чтобы сказать: «С вероятностью около 99,7 % (в пределах 90 % или вроде того) в следующем месяце вы не потеряете больше $1 млн». Неискушенный казначей или сотрудник компании будет считать, что оценка опирается на научные статистические данные, аналогичные статистике авиакатастроф. Однако метод можно использовать для того, чтобы сказать: «С вероятностью 66 % можно ожидать, что в течение следующих 2 часов вы потеряете не более $100 000, если не попытаетесь ликвидировать позицию и если у других компаний, подобных вашей, нет такого же портфеля, как у вас».
В представленных ниже примерах стоимость под риском соответствует риску для одного стандартного отклонения (66 % времени), а не трех стандартных отклонений, как принято в общедоступной литературе.
Предположим, что несколько представленных ниже примеров относятся к вселенной, в которой на рабочем месте трейдера открыты четыре позиции.
USD-DEM: доллар против немецкой марки, валютная пара котируется на межбанковском рынке.
USD-JPY: доллар против японской иены, валютная пара котируется на межбанковском рынке.
Фьючерсы на казначейские облигации: торгуются на Чикагской бирже (в нашем примере расчетные единицы переводятся в номинальную стоимость под риском).
Фьючерсы на индекс S&P500, котирующиеся на Чикагской товарной бирже.
В примере используются данные по состоянию на 23 мая 1995 г.
Историческая волатильность за 9 месяцев (в годовом исчислении, в процентах) следующая:
Волатильность определяется как стандартное отклонение логарифма доходности (невзвешенной).
У трейдера есть лимит по номинальной стоимости $20 млн, и он решает купить один из четырех инструментов, но не знает, какой выбрать. В табл. E.2 показана чистая экспозиция, соответствующая каждой недиверсифицированной позиции. Чистая экспозиция определяется произвольно для одного дневного стандартного отклонения движений на рынке, которое (теоретически, если не меняется распределение) должно представлять 67 % всех событий. Оно также должно примерно соответствовать дневным колебаниям в портфеле. Если трейдер решит включить больше событий, например три стандартных отклонения, он может умножить экспозицию на 3: в этом случае он получит общий максимально возможный убыток с уверенностью 99,7 %. Однако менеджеры этого трейдера слышали о толстых хвостах и предпочитают рассматривать одно стандартное отклонение в качестве эталона для целей сравнения.
Трейдер может захотеть работать со встречными позициями. Выиграет ли он от положительной корреляции?
В данном случае очевидно, что стоимость под риском, вытекающая из позиции во встречной валюте, как показано в табл. E.3, из-за более высокой корреляции изменений между парами доллар/марка и доллар/иена будет соответствовать 71 % риска позиции пары доллар/марка.
Очевидно, что диверсификация работает. Поскольку наш трейдер не исчерпал полностью свой общий лимит, он может увеличить позицию и использовать остаток в размере $10 млн в целях диверсификации (табл. E.4).
Таким образом, общая позиция сокращается по сравнению с недиверсифицированной позицией в примере 1: капитал, подверженный риску одного стандартного отклонения, соответствует по меньшей мере половине рисков любой из четырех начальных позиций.
В парах USD-DEM и USD-FRF две валюты с высокой корреляцией. Трейдер может открыть позицию в одной и в другой валюте или во встречной валюте.
Матрица корреляции:
Риск встречной позиции соответствует 25 % рисков каждой из позиций. Стоимость под риском эквивалентной позиции можно рассчитать через волатильность полученной валютной пары DEM-FRF: 3,03 %. Альтернативный профиль риска выглядит следующим образом.
Проблема 1. Предполагаемая гомоскедастичность рынков. (Эта проблема рассматривается в главе 15.) Используемые модели в значительной степени предполагают нормальность рынков (т. е. когда изменение цен соответствует колоколообразной кривой, что случается крайне редко). Любой опционный трейдер, осознающий несовершенство моделей, знает, что такое толстые хвосты и высокие пики.
Хотя предположение о нормальности рынка в некоторых случаях, таких как ценообразование на опционы при деньгах, может быть приемлемым, такое приближение распределения можно считать неподходящим для измерения рисков наихудшего случая. Риски находятся в хвостах, где распределение известно хуже всего.
Если предположить, что волатильность рынков непостоянна, то правило перестает выполняться. Результат: на гетероскедастическом рынке дисперсия не кратна временно́му горизонту. Недельная (5-дневная) волатильность доллара не превышает дневную в 2,23 раза.
Кроме того, поскольку корреляции не являются постоянными (мы рассматривали этот вопрос в главе 6), совместные хвосты нескольких активов хуже поддаются моделированию.