(S, t).
Опцион пут со страйком 101 при любых обстоятельствах будет стоить дороже опциона пут со страйком 100.
Правила бабочки:
C(S – α, t) + C(S + α, t) ≥ 2C(S, t).
Два опциона колл со страйком 101 стоят дешевле одного опциона колл со страйком 100 и одного опциона колл со страйком 102 вместе взятых. Это означает, что бабочка 100/101/102 будет стоить не меньше 0, – по той причине, что ее стоимость будет нулевой везде, кроме «глаза»; в центре она может составлять 1.
В соответствии с правилом паритета пут-колл,
P(S – α, t) + P(S + α, t) ≥ 2P(S, t).
Два опциона пут со страйком 101 будут стоить дороже одного опциона пут со страйком 100 и одного опциона пут со страйком 102, вместе взятых.
Эти правила могут показаться слишком простыми, но опытные опционные трейдеры на биржах умеют работать, ориентируясь исключительно на правила бабочки. Они способны оценить весь спектр по небольшому количеству опционов.
Идем дальше:
P(S, t) + C(S, t) ≥ P(S – α, t) + C(S + α, t).
Стрэддл всегда будет стоить дороже стрэнгла.
При строго положительном значении τ:
P(S, t + τ) + C(S, t + τ) ≥ P(S, t) + C(S, t).
(В приведенной стоимости: финансирование лучше вычитать.)
Из этого следует, что с учетом финансирования более длинный стрэддл будет стоить дороже, чем более короткий. Правило всегда применяется для серийных опционов, опционов только на один фьючерс (например, 1-месячный опцион, 2-месячный опцион на 3-месячный фьючерс). Оно не применяется безоговорочно к опционам, где базовая ценная бумага S не является фиксированной, причем этот недостаток усугубляется в случае невзаимозаменяемых активов (например, живого скота; исключения бывают, если ценная бумага не может быть заменена бумагой с более высоким сроком).
Американский цифровой опцион стоит дороже европейского. Американский цифровой опцион типа «касание», в рамках которого ставка выигрывает, если какое-то событие происходит в любое время в течение срока действия инструмента, стоит дороже, чем ставка на то, что событие произойдет строго в день экспирации.
Пример. Нота, выплата по которой составляет $1, если ценная бумага в любой момент следующего года превысит отметку 103, стоит дороже ноты, выплата по которой составит $1, если ценная бумага будет стоить более 103 в день экспирации:
C(S, t) ≥ C(S, t, HH) и ≥ C(S, t, HL).
Опцион без барьера всегда стоит дороже, чем опцион с барьером, т. к. существует возможность потерять опцион до момента экспирации:
C(S, t, HH) ≥ C(S, t, HH + α);
C(S, t, HL) ≥ C(S, t, HH – α).
Любой опцион с барьером стоит дороже, чем тот же опцион с барьером ближе к деньгам:
C(S, t, HH) ≥ C(S, t, HL, HH);
C(S, t, HL) ≥ C(S, t, HL, HH).
Любой опцион с одним барьером стоит дороже, чем опцион с двойным барьером, если они имеют один и тот же триггер H.
Эти разграничительные правила применяются к опционам при деньгах. Они работают для цен стрэддлов при деньгах (форвардных) или для опционов с подразумеваемой волатильностью.
Возможными валютами являются валюта A (используемая в качестве расчетной), валюта B и валюта C. Выражение v(A-B) используется для обозначения волатильности пары A против B.
v(A-B) + v(B-C) ≥ v(A-C).
Корреляция и волатильность. При ρ(A-B, A-C) корреляция пары A-B и пары B-C будет равна:
v(B-C)2 = v(A-B)2 + v(A-C)2 – 2ρ(A-B, A-C) v(A-B) v(A-C).
Пример:
v(USD-DEM) + v(DEM-FRF) ≥ v(USD-FRF).
(Это правило, судя по всему, часто нарушается.)
v(USD-FRF) + v(DEM-FRF) ≥ v(USD-DEM).
Это означает, что для трех наших пар ценных бумаг подразумеваемая волатильность между ними не может быть такой, при которой одна из подразумеваемых корреляций превышает 1 в абсолютном выражении.
Кроме того, согласно принципу загрязнения, никакая комбинация опционов не может быть комбинацией, дающей корреляцию выше 1 в абсолютном выражении.
Предупреждение. Это не является полным арбитражем (т. е. фиксированной прибылью или убытком), поскольку если прибыль/убыток комбинаций с расчетной валютой можно прогнозировать с уверенностью, то встречная позиция (в нашем случае DEM-FRF для оператора, ведущего расчеты в долларах США) может привести к прибыли/убытку, зависящим от поведения компонентов в отношении базовой валюты.
Обобщая вышесказанное, отметим, что матрица подразумеваемой ковариации (вытекающая из цен опционов при деньгах) должна быть положительно определенной (ее собственные значения должны быть положительно определенными). Это следствие разграничительных правил для мира трех валют. В противном случае оператор мог бы провести арбитраж, получив некоторую комбинацию опционов бесплатно (или в кредит).
v(USD-DEM) = σ1;
v(USD-FRF) = σ2.
Волатильность встречной пары (DEM-FRF) = волатильность пары FRF-DEM = σc.
Таким образом, получаем следующую ковариационную матрицу:
σ12 и σ21 – ковариация между USD-DEM и USD-FRF.
Нетрудно проверить, является ли матрица чистой, т. е. свободной от арбитража. Поскольку волатильность не может быть отрицательной, она должна быть положительно определенной, для чего требуется, чтобы ее собственные значения были положительными. В нашем примере аберрации матрицы 2 × 2 можно увидеть невооруженным глазом, но аберрации матрицы 20 × 20 потребуют компьютерной обработки.
В следующем примере существуют ограничения на один из элементов матрицы (если считать ее симметричной с ковариацией 1, 2 = ковариация 2, 1). Предположим, что волатильность USD-DEM составляет 14 %, а DEM-FRF (встречная позиция) – 4 %. Тогда ограничение для USD-FRF должно составлять от 10 % до 18 %. За пределами этого диапазона возможен арбитраж. Ниже 10 % оператор может купить волатильность USD-FRF и DEM-FRF и продать USD-DEM. Он будет полностью ограничен, поскольку эта операция эквивалентна короткой корреляции на уровне 1. Любое снижение корреляции двух валют в любое время будет выгодно трейдеру.
Аналогичным образом корреляцию покупки на уровне –1 можно улучшить путем покупки USD-DEM на уровне 14 %, покупки DEM-FRF на уровне 4 % и продажи USD-FRF на уровне 18 %. Любое повышение корреляции выше –1 приведет к прибыли.
Более сложную матрицу можно создать, добавив ценную бумагу. Теперь увидеть невооруженным глазом последствия ситуации без арбитража гораздо труднее.
Пусть актив 1 = USD-DEM, актив 2 = USD-FRF, актив 3 = USD-СHF, активы 12 и 21 = DEM-FRF, активы 13 и 31 = DEM-CHF, а неликвидные активы 23 и 32 = FRF-CHF. При волатильности USD-DEM на уровне 15 %, USD-FRF – 12 %, USD-CHF – 18 % и встречных позиций USD-FRF – 4 %, CHF-FRF – 6 % и DEM-CHF – 5 %, одно из собственных значений становится отрицательным числом, которое вызывает сигнал компьютера. Матрица, приведенная выше, неправильная. Арбитраж может быть построен с помощью комбинации опционов.
Помните, что существует достаточно валют, чтобы допустить какой-либо арбитраж или по крайней мере построить сделку с высокой ожидаемой доходностью.
Предупреждение. Правило положительных собственных значений не работает при сравнении подразумеваемых волатильностей опционов, не являющихся форвардными опционами при деньгах.
Следующие несколько правил вытекают из принципа загрязнения.
На предыдущих примерах нетрудно понять, что структура, нацеленная на короткую высокую корреляцию (близкую к 1), т. е. такая, которая должна выигрывать от снижения корреляции, или на длинную низкую корреляцию (близкую к –1), сильнее структуры с корреляцией, которая ближе к 0 (при прочих равных условиях). Скажем, в мире трех активов трейдер платит 11 % за USD-FRF и 4 % за DEM-FRF и продает USD-DEM по 14 %. В действительности он заплатит эквивалент одной волатильности или продаст корреляцию на уровне 97 %. Здесь применима следующая формула:
с помощью которой получаем корреляцию ρ на уровне 0,97.
В реальном мире корреляции нестабильны. Поэтому сделка, у которой больше шансов выиграть на изменении корреляции, чем потерять от него, имеет более высокий рейтинг, чем сделка, имеющая обратные характеристики.
Правило управления рисками: ценная бумага, являющаяся выпуклой по отношению к непостоянному параметру, будет при прочих равных условиях стоить дороже ценной бумаги, не являющейся столь же выпуклой по отношению к тому же параметру.
В среде с плоской кривой доходности и при условии, что дальние сроки исполнения имеют одинаковую волатильность, предпочтительно владеть облигацией с самой сильной выпуклостью.