Таким образом, для бесконечно малых приращений, используя расширение Ито, получаем:
–∂C/∂t dt – ∂C/∂S dS – ½∂2C/∂S2dS2 + ∂C/∂S × dS + dB = 0,
где
dS = S(μdt + σdW);
dS2 = S2(μdt + σdZ)2 = S2σ2dt из таблиц умножения Ито;
dB = rB, полученные проценты по портфелю облигаций (или уплаченные, если значение отрицательное);
dB = (rC – ∂C/∂S Sr – ∂C/∂S Sd)dt = rCdt – ∂C/∂S S(r – d)dt.
Следовательно,
–∂C/∂tdt – ½∂2C/∂S2S2σ2dt + rCdt – ∂C/∂S S(r – d)dt = 0.
Таким образом:
∂C/∂t + ½∂2C/∂S2S2σ2 – rC + ∂C/∂S S(r – d) = 0 (10).
Мы видим, что dS исчезает из уравнения, как и μ. Остаются только безрисковая ставка и ставка выплаты.
С этого момента мы будем называть μ риск-нейтральным дрейфом, эквивалентным r – d. Оператор может продолжить и оценить дифференциальное уравнение (10) в граничных условиях. Или он может проинтегрировать диффузию, чтобы получить те же результаты, что и в уравнении (7), но с (r – d) вместо μ:
где x – центрированная гауссова случайная величина. Далее решение для интеграла становится утомительным, но требует лишь незначительных манипуляций. В итоге пользователи получают стоимость опциона колл, для простоты используя значение t0 = 0:
C = exp(–dt)S0N(dl) – exp(–rt)KN(d2),
где
d1 = [log (S0 / K) + (r – d)t] / [σ] + σ / 2;
d1 = [log (S0 / K) + (r – d)t] / [σ] – σ / 2.
Изменив расчетную единицу, мы без труда получим стоимость опциона пут. Рассчитать ее можно также, используя правила паритета пут-колл (она будет зеркальным отражением стоимости опциона колл).
Ниже представлены формулы и методы, используемые в книге. Основное внимание уделяется численным методам, поскольку автору (благодаря чипу Pentium, полученному в подарок на день рождения) не было нужды искать лаконичные решения для многих экзотических опционов и стохастической модели волатильности.
Большинство применяемых нами численных методов базировалось на функции Nintegrate системы MathematicaTM, основанной на методе квадратур Кронрода. Можно брать интеграл от –5 до 5, а не от –∞ до +∞, поскольку погрешность в пределах этих значений становится ничтожно малой. Эти методы прекрасно работают в тех случаях, когда исключается досрочное исполнение, они очень подходят для опционов, частично оцененных с помощью аналитических методов. Автор по-прежнему остается трейдером и не стремится к академической элегантности, полностью полагаясь на компьютерные решения.
Предположим, что и ценная бумага, и волатильность находятся в броуновском движении. Мы делаем это, чтобы продемонстрировать влияние гетероскедастичности на цены опционов. Процесс используется для простой цели: оценить стоимость портфеля на момент экспирации при условии, что оператор хеджировал как дельту, так и гамму опционов. Мы опирались на стохастические модели волатильности, такие как модель Халла и Уайта (Hull and White[230], 1987), нацеленные на риск-нейтральную репликацию волатильности (посредством покупки и продажи опционов), и похожие на модель Блэка–Шоулза для самого актива. Эта формула предполагает, что существует риск-нейтральная репликация, позволяющая оценить окончательную выплату по модели Фейнмана–Каца. Поскольку приведенная ниже модель исходит из независимости доходности активов от волатильности, предлагается числовой трюк: процесс волатильности в квадратичной форме
может быть рассчитан с помощью числовых методов как единичная эволюция между t0 и t.
где r – безрисковая ставка, d – встречная ставка (курс иностранной валюты, ставка дивиденда по акции и т. д.), St – цена актива на момент времени t, σ(t) – волатильность актива в момент времени t, V – стандартное отклонение волатильности, z и z′ – винеровские процессы, каждый из которых независим, имеет нормальное распределение и среднее значение 0, а также единичную дисперсию.
Для простоты примем, что t0 = 0. Правила «никаких бесплатных обедов» должны выполняться в уравнении:
где n(z) – функция нормальной плотности от z со средним значением 0 и дисперсией 1.
Сделаем еще одно упрощение: пусть математическое ожидание будет однородным по времени, чтобы не включать временну́ю структуру волатильности. Это позволяет использовать модель только для значений за период t.
Цена европейского опциона рассчитывается следующим образом.
где Ф = 1 для опциона колл и Ф = –1 для опциона пут. Двойной интеграл может быть упрощен путем интегрирования колла Блэка–Шоулза–Мертона по разным σt.
Как правило, используются методы численного интегрирования с помощью пакета Mathematica™, который автор получил на праздник. Таблица результатов была представлена в главе 15.
Возьмем два актива – A и B. Риск-нейтральный процесс будет следующим:
Пусть r – безрисковая ставка; dA – встречная ставка для актива А (процентная ставка по иностранной валюте, ставка дивидендов по акциям и т. д.); SA(t) и SB(t) – цены активов A и B соответственно в момент t; σA и σB – волатильности активов A и B соответственно; z и z′ – винеровские процессы, независимые, имеющие нормальное распределение, среднее значение 0 и единичную дисперсию; ρ – мгновенная корреляция активов A и B.
С помощью следующей модели трейдеры могут оценить несколько разновидностей мультиактивных опционов, используя ожидание окончательной выплаты (спасибо Фейнману и Кацу).
При добавлении третьего актива C будет выполняться тот же процесс, но с C, зависящим от винеровского процесса.
где L – вектор (3, 1), который является третьим рядом C, (3, 3) в нижней части треугольного разложения Холецкого, так что C CT становится матрицей корреляции доходности этих трех ценных бумаг, а Z – вектором, образованным z, z′ и дополнительным z′′′ для актива C.
Это опционы на два актива с одной ценой страйк:
где ФA = 1, если опцион колл, и ФA= –1, если опцион пут, n(z) – функция нормальной плотности со средним значением 0 и дисперсией 1. Для простоты, как и в других разделах данного модуля, примем, что t0 = 0.
где K – цена страйк спреда, определяемая как SA – SB, и Ф = 1, если спред-опцион – это колл, и Ф = –1, если спред-опцион – это пут.
В отличие от предыдущих случаев в уравнения вводятся временны́е параметры волатильности, процентных ставок и стоимости поддержания позиции. Используется тот же одномерный процесс, что и ранее, где:
K2 – цена страйк «материнского» опциона;
Ф2 равно 1, если материнский опцион является путом, и –1, если он является коллом;
t2 – время до экспирации материнского опциона;
K1 – цена страйк «дочерних» опционов;
Ф1 равно 1, если дочерний опцион является путом, и –1, если он является коллом;
t1 – время до экспирации дочернего опциона.
В дополнение к обычным моделям используются следующие параметры:
σ1 и σ2, r1 и r2, d1 и d2, – соответственно текущая волатильности и процентная ставка до экспирации дочернего опциона и форварда (или форвард-форварда) между экспирацией дочернего и материнского опционов.
Эти ставки не являются спот-ставками на рынке, а должны быть получены с помощью формул форвард-форвардной безубыточности, таких как формула форвардной волатильности, о которой шла речь в главе 9.
Цена составного опциона определяется следующим образом.
где BS – ванильный опцион Блэка–Шоулза–Мертона, а
Интегрируем Max(пут, колл), используя обозначение BSP для пута, оцененного по модели Блэка–Шоулза–Мертона, и BSC – для обозначения колла, сохраняя те же значения форвардных процентных ставок и волатильности между датами истечения материнского и дочернего опционов:
где
Оценивать барьерные опционы можно двумя способами. Первый способ, лучше воспринимаемый на уровне интуиции, основан на подходе к опциону через момент остановки и определяющий его как ожидание Фейнмана–Каца при риск-нейтральной вероятности