))} – exp(–d)tS0{1 – N(d1) – α′(N(d8))}.
Случай 2:K ≤ H.
PUOK ≤ H = K exp(–rt){l – N(d4) – αN(d5)} – exp(–d)tS0{1 – N(d3) – α′N(d6)}.
Ап-ин-путы (PUI). Этот опцион является, естественно, алгебраическим эквивалентом ванильного опциона минус опцион PUO. Если S0>H, то его можно считать включенным и он будет оцениваться точно так же, как и ванильный опцион. В противном случае он будет оцениваться следующим образом.
Случай 1:K ≥ H.
PUIK ≥ H = K exp(–rt){N(d4) – N(d2) + αN(d5))} – exp(–dt)S0{N(d3) – N(d1) + α′N(d6)}.
Случай 2:K ≤ H.
PUIK ≤ H = K{exp(–rt)αN(d5)} – exp(–dt)S0{1 – N(d3)– α′N(d6)}.
Опционы с рибейтами и американские барьерные опционы. Наименьшим разлагаемым фрагментом барьерного опциона с рибейтом является барьерный опцион без рибейта (оцениваемый с помощью вышеприведенных формул) плюс американский бинарный опцион.
Двойные нокаут-коллы (CDB). Геман и Йор (Geman and Yor, 1996) предлагают новую методологию, основанную на теории отклонений, чтобы обеспечить лапласово преобразование двойного барьерного опциона, который можно инвертировать с помощью приема Гемана–Айделанда. Ниже приведена более ранняя модель Кунитомо–Икеды. Обозначим верхний барьер как HH, а нижний барьер – как HL.
Пусть:
Случай 1:HL<K<HH.
где
In(x) = exp(–2nxδ)(N(hh + 2nδ – x) – N(k + 2nδ – x));
Jn(x) = exp{2x(nδ + hh)}(N(2hh – k + 2nδ + x) – N(hH + 2nδ – x)).
Обратите внимание, что суммы быстро сближаются и –∞ можно заменить на –12, а +∞ – на +12.
Случай 2:K ≤ HL.
где (как и в предыдущем случае)
In(x) = exp(–2nxδ)(N(hH + 2nδ – x) – N(hH + (2n – 1) δ – x));
Jn(x) = exp{2x(nδ + hH)}(N(hH + (2n + 1) δ + x) – N(hH + 2nδ + x)).
Случай 1:HL<K<HH.
где
In(x) = exp(–2nxδ)(N(k + 2nδ – x) – N(hh + (2n – 1) δ – x));
Jn(x) = exp{2x(nδ + hh)}(N(hh + (2n + 1) δ + x) – N(2hH – k + 2nδ + x)).
Случай 2:HH ≤ K.
где (как и в предыдущем случае)
In(x) = exp(–2nxδ)(N(hH + 2nδ – x) – N(hH + (2n – 1) δ – x));
Jn(x) = exp{2x(nδ + hH)}(N(hH + (2n + 1) δ + x) – N(2hH + 2nδ + x)).
Ценообразование двойных бинарных опционов. В этой книге автор связал предыдущие формулы для двойных барьерных опционов с ситуациями, когда опционы были глубоко в деньгах (в момент срабатывания триггера выплата становится равной внутренней стоимости). Опционы колл глубоко в деньгах выбирались со страйком, близким к 0.
Моменты остановки и их ожидание. При анализе барьерных опционов автор избегал учета времени остановки, чтобы опираться на интуитивный подход, базирующийся на принципе отражения. В большинстве работ указанное понятие используется при определении цены любого барьерного опциона. Следующая формула представляет собой расчет момента остановки и его математического ожидания.
Пусть, как и раньше, λ = (r – d)/σ – σ/2, а барьер h = 1/σ logH/S0, где H – барьер. Плотность безусловного момента остановки дается без учета дрейфа
и, с учетом дрейфа,
Что касается математического ожидания момента остановки, то это распределение минимума времени выхода τ и времени до экспирации T:
Для двойного барьерного опциона его можно рассчитать так:
h = l/σlogH/S0;
l = l/σlogL/S0.
Следующая формула дает плотность линии остановки (начиная внутри диапазона):
Что касается ее математического ожидания, то пользователь может разбить уравнение:
где
и
Эта программа иллюстрирует общий метод ценообразования опционов, который получает все большее распространение по мере развертывания войны компьютерных чипов. Автор использовал соответствующие методы интеграции, чтобы найти численное ожидание стохастического интеграла.
(*гомоскедаcтичные составные опционы*)
(*Нассим Талеб*)
gauss[x_]: = Exp[–x^2/2]/(Sqrt[2*Pi]);
Gauss[x_]: = (1 + Erf[x/Sqrt[2]])/2;
St[S_, x_, tl_, sig_]: = S Exp [sig Sqrt[tl] x]
(*вычисление значения по формуле Блэка–Шоулза без дрейфа*)
dl[S_, k_, sig_, tl_]: = (Log[S/k] + sig^(tl)/2)/(sig*Sqrt[tl]);
d2(S_, k_, sig_, tl_]: = (Log[S/k] – sig^2(tl)/2)/(sig*Sqrt[tl]);
call[S_, k_, sig_, tl_]: = S*Gauss[dl[S,k,sig,tl]] – k*Gauss[d2[S,k,sig,tl]]
put[S_, k_, sig_, tl_]: = call[S,k,sig,tl] – (S – k)
(*составной опцион*)
callcallpayoff[S_, k_, kopt_, sig_, x_, tl_, tint_]: = Max[call[S Exp[sig
Sqrt[tint] x], k,sig,(tl – tint)] – kopt,0]
callcall[S_, k_, kopt_, sig_, tl_, tint_]: = NIntegrate[callcallpayoff[S,k,kopt,
sig,x,tl,tint] gauss[x], {x, – 4,4}]
(*любители точных расчетов могут выполнить интегрирование в интервале от –6 до 6*)
(*добавляем дрейф и вперед*).
Литература
Основные книги для трейдеров
Cox, J., & Rubinstein, М.[232] (1985). Option Markets, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.
Это лучшая из всех книг об опционах. Даже через много лет после выхода в свет она остается актуальной. Эту книгу обязательно должен прочесть каждый, кто входит в торговый зал.
Natenberg, S. (1995). Option Volatility and Pricing Strategies (2nd ed.), Chicago: Probus.
Эта книга не перегружена теорией, торговля опционами рассматривается в ней с точки зрения самого обычного биржевого трейдера. Это хороший вводный курс для букраннера и риск-менеджера.
Baird, A. (1994). Option Market Making, New York: Wiley.
Эта работа сложнее книги Натенберга, она предназначена для маркетмейкеров. Читатель найдет в ней основы риск-менеджмента.
Hull, J. (1993). Option Futures and Other Derivative Securities (2nd ed.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.
Ясная, полезная и актуальная книга.
Рекомендуемые книги
Abramowitz, M., & Stegun, N. C. (1970). Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover.
Bachelier, L. (1990). Theorie de la speculation, Annales de l'Ecole Normale Superieure, Paris: Gauthier-Villars.
Beck, P., & Sydsaeter, K. (1991). Economist's Mathematical Manual (2nd ed.), Heidelberg, Germany: Springer Verlag.
Billingsley, P. (1986). Probability and Measure, New York: Wiley.
Bloomfield, P. (1976). Fourier Analysis of Time Series: An Introduction, New York: Wiley.
Brock, W., Hsieh, D., & LeBaron, B. (1991). Nonlinear Dynamics, Chaos and Instability, Boston: MIT Press.
Burghardt, G., Belton, T., Lane, M., Luce, G., & McVey, R. (1991). Eurodollar Futures and Options, Chicago: Probus.
Dana, R. A., & Jeanblanc-Pique, M. (1994). Marchés financiers en temps continu, Paris: Economica.
DeRosa, D. (1992). Options on Foreign Exchange, Chicago: Probus.
DeRosa, D. (1996). Managing Foreign Exchange Risk (2nd ed.), Homewood, IL: Irwin.
Dixit, A., & Pyndick, R; (1994). Investment Under Uncertainty, Princeton, NJ: Princeton University Press.
Dothan, M. (1990). Prices in Financial Markets, New York: Oxford University Press.
Dubins, L., & Savage, L. (1965). How to Gamble If You Must, New York: McGraw-Hill.
Duffie, D. (1988). Security Markets Stochastic Models, New York: Academic Press.
Duffie, D. (1996). Dynamic Asset Pricing Theory, Princeton, NJ: Princeton University Press.
Durett, R. (1991). Probability: Theories and Examples, Pacific Grove, CA: Wadsworth and Brooks/Coles.