Для юных физиков — страница 14 из 19

1 1/2 х 2.400.000.000 = 3.600.000.000 сантиметров.

Так как в одном километре 100x1000, т. е. 100.000 сантиметров, то полученное нами число составляет 36.000 километров. Это чуть не втрое больше поперечника земного шара! Немного не хватает, чтобы окружить этим столбом всю землю по экватору (для этого понадобилось бы 40.000 километров).

Еще более внушительные числа получаются, если подсчитать число отдельных спичек, изготовляемых в нашем Союзе в течение года. Будем считать, ради удобства расчета, что в каждом коробке 50 спичек (обычно бывает немного больше). Тогда имеем:

50x2.400.000.000 = 120.000.000.000 спичек.

Как прочесть это число? Единица с 6-ю нулями есть миллион; единица с 9-ю нулями – миллиард. Значит, наше число читается так: сто двадцать миллиардов.

Выложенные в одну линию, конец к концу, эти 120 миллиардов спичек имели бы в длину 5x120.000.000.000 = 600.000.000.000 сантиметров, или 6.000.000 километров!

Для такого длинного ряда спичек не нашлось бы места не только на всем земном шаре, но даже в пределах от Земли до Луны, потому что расстояние от нас до ночного светила составляет «только» 400.000 километров. Наша спичечная линия в 15 раз длиннее этого расстояния, – как наглядно показано на рис. 43.

Рис. 43.

Интересно еще подсчитать, какой объем занимают все эти спички, вместе взятые. Умножив длину спички – 50 миллиметров – на ее толщину (2 мм) и ширину (2 мм), получаем объем одной спички 50x2x2=200 куб. миллиметров. Затем остается перемножить

200x120.000.000.000=24.000.000.000.000 куб. мм.

Так как в одном куб. метре заключается

1.000x1.000x1.000=1.000.000.000 куб. мм,

то объем получается в 24.000 куб. метров! Образовалась бы прямая горка примерно таких размеров: 100 метров в длину, 24 метра в ширину и 10 метров в высоту (потому что 100x24x10=24.000).

Миллион спичек Задача 31-я

Сейчас мы забрели в мир чисел-великанов, которые с трудом охватываются нашим воображением. Правда, по отношению к спичкам такой числовой исполин, как миллион – довольно подходящая числовая мера: фабрика, вырабатывающая в одни сутки миллион спичек – не редкость. А между тем, чтобы только отсчитать этот миллион спичек одну за другой, откладывая ежесекундно по спичке, потребовалось бы времени больше суток. Сколько же именно?

Решение

В сутках 24x60x60=86.400 секунд. Поэтому, если заниматься счетом спичек без перерыва день и ночь, то в течение одних суток удалось бы отсчитать всего 86.400 штук. А чтобы отсчитать миллион спичек, потребовалось бы почти 12 суток беспрерывного счета!

Биллион и триллион

Иному читателю покажется, пожалуй, что вырабатывая по миллиону спичек в сутки, фабрика довольно скоро доберется до такого числового великана, как биллион, т. е. миллион миллионов. Думать так – значит не понимать, что такое биллион.

В самом деле. Мы сейчас видели, что годовая производительность всех спичечных фабрик нашего Союза не превышает 120 миллиардов, т. е. 120.000 миллионов штук. Значит, чтобы изготовить 1.000.000 миллионов (т. е. биллион) спичек, потребовалось бы более 8 лет! А одна фабрика, выделывающая по миллиону спичек в сутки, справилась бы с этим только в миллион суток, т. е. примерно в 3.000 лет!

Следующий числовой исполин, триллион,  – в миллион раз больше биллиона [24] . Если триллион спичек выложить, конец к концу, в один прямой ряд, то знаете ли, как далеко вытянется этот ряд? На 5 триллионов сантиметров, т. е. на 50 биллионов (50.000.000.000.000) километров! Световой луч, пробегающий 300.000 километров в секунду, делает в год 9 1/2 биллионов километров; следовательно, вдоль нашей спичечной линии луч света будет скользить от одного конца до другого 5 лет! Это значит, что триллион спичек можно было бы протянуть от нашей планеты дальше звезды альфы в созвездии Центавра!

Не думаю, чтобы таким сопоставлением я заметно облегчил вам понимание огромности триллиона: звездные расстояния едва ли не труднее представлять себе, чем исполинские числа. Но полезно знать, по крайней мере, что оба представления – триллиона и звездных расстояний – одного порядка трудности.

5. Немного геометрии на спичках

Горизонтально и вертикально

Задача 32-я

Попросите товарища положить на стол одну спичку горизонтально. Он положит, разумеется, так:

Рис. 44.

Затем попросите его положить возле первой спички вторую спичку вертикально. Сделает он это примерно так:

Товарищ ваш и не подозревает, что вы его «поддели». Боюсь, что вы и сами этого не подозреваете.

Ведь задача-то решена неверно!

Решение

Обе спички (рис. 45) горизонтальны! Вы удивлены? Но подумайте: спичка, лежащая на горизонтальной поверхности стола, может ли иметь вертикальное направление? Вертикальное направление – это направление сверху вниз, к земле (точнее, к центру земного шара), – а как бы вы ни положили спичку на стол, она не будет направлена к земле.

Рис. 45.

Девяносто девять человек из ста делают эту ошибку, – не исключая даже и иных математиков. Едва ли ваш товарищ будет тот сотый, который не попадет впросак. Два четырехугольника Задача 33-я

На рис. 46 изображен четырехугольник из 6 спичек, площадь которого вдвое больше площади квадрата со стороною, равною одной спичке.

Рис. 46.

Так как длина спички вам известна – 5 см, то вы легко определите площадь вашего четыреугольника в сантиметрах: 5x10=50 кв. см. Задача состоит в следующем: не изменяя длины обвода [25] этого четырехугольника, изменить форму его так, чтобы площадь его уменьшилась вдвое, т. е. равнялась 25 см. Как это сделать?

Пусть читатель обратит внимание на то, что речь идет о составлении четырехугольной фигуры (а не непременно прямоугольной): углы новой фигуры не обязательно должны быть прямые.

Решение

Надо из 6-ти спичек сложить параллелограмм так, чтобы его высота равнялась одной спичке (рис. 47). Такой параллелограмм, имеющий одинаковые основание и высоту с квадратом, должен иметь и одинаковую с ним площадь.

Рис. 47.

Что больше? Задача 34-я

Из 6-ти спичек сложены прямоугольник и равносторонний треугольник. Обводы этих фигур, конечно, одинаковы. А у какой больше площадь? (рис. 48).

Рис. 48.

Решение

Чтобы решить эту задачу, надо знать, как вычисляется площадь треугольника: умножают длину основания на высоту и полученное произведение делят пополам; или – что то же самое – умножают половину основания на высоту. В нашем треугольнике половина основания = одной спичке, т. е. основанию прямоугольника. Если бы высоты этих фигур были одинаковы, то обе фигуры имели бы равные площади. Но легко видеть, что высота треугольника меньше двух спичек, т. е. меньше высоты прямоугольника. Значит, и площадь треугольника меньше площади прямоугольника.

Фигура с наибольшей площадью Задача 35-я

Сейчас мы составили из 6-ти спичек прямоугольник и равносторонний треугольник. Но из того же числа спичек можно составить еще и другие фигуры, имеющие одинаковый обвод. Некоторые из этих фигур изображены на рис. 49.

Рис. 49.

Площади всех этих фигур различны. Спрашивается, у какой же из них площадь наибольшая? Решение

Мы уже знаем, что площадь фиг. 1 больше площади фиг. 2. Легко сообразить, что она больше также и площади фиг. 3 (сравните их высоты!). Остается, следовательно, сравнить по величине площади фигур 1, 4 и 5. Мы можем рассматривать все три фигуры, как шестиугольники с равными сторонами (у фиг. 1 два угла выпрямлены). В курсах геометрии доказывается, что из всех многоугольников с одинаковым числом сторон и одинаковым обводом наибольшую площадь имеет многоугольник правильный, т. е. такой, у которого равны не только стороны, но и углы. Этому условию удовлетворяет фигура 5; она, следовательно, и имеет наибольшую площадь, какую можно ограничить шестью спичками [26] .

Покажем кстати, как можно сложить из спичек правильный шестиугольник. Для этого нужно примкнуть друг к другу 6 равносторонних треугольников, как показано на рис. 50, и затем вынуть внутренние спички.

Рис. 50.

Мост из двух спичек Задача 36-я

На рис. 51 вы видите остров, окруженный каналом. Ширина канала как раз равна длине одной спички, так что перебросить мостик через канал с помощью одной спички нельзя: невозможно опереться концами о берега канала.

Рис. 51.

Не удастся ли вам перекинуть мост через канаву с помощью двух спичек? Помните, однако, что склеивать или связывать эти две спички не полагается. Решение

Решение этой задачи основано на том, что длина линии, соединяющей противоположные углы квадрата (так называемая диагональ), меньше длины 1 1/2 спичек (см. рис. 52).

Рис. 52.

Зная это, мы можем построить требуемый мост так, как показано на рис. 53, – т. е. одну спичку кладем в положение 5–6, а другую в положение 7–4. Расстояние 2–7 очевидно равно расстоянию 5–7; расстояние 2–4, т. е. диагональ квадрата, меньше длины полутора спичек; а так как расстояние 2–7 равно половине спички, то пролет 7–4 короче длины спички. Отсюда и вытекает возможность сооружения нашего моста. Рис. 53.

Задача эта может оказаться и практически полезной в том случае, когда, имея две одинаковые жерди, нужно перебросить (не связывая их между собою) мост через канаву, ширина которой как раз равна или даже чуть больше длины одной жерди. Возможно это, впрочем только в том месте канавы, где она поворачивает под прямым углом (рис. 54). Рис. 54.

В витрине спичечного треста Задача 37-я

В витрине магазинов спичечного треста нередко выставляют ради рекламы огромные спичечные коробкй, по фасону совершенно подобные обыкновенным; а внутри коробка видны столь же чудовищные спички. Предположим, что такой коробок в 10 раз длиннее обыкновенного. Спрашивается:

1) сколько весит одна исполинская спичка, принимая вес обыкновенной спички в 1/10 грамма?