Как это сделать?
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 91-100
Решение задачи № 91
Рис. 89.
Решение задачи № 92 Рис. 90.
Решение задачи № 93 Рис. 91.
Решение задачи № 94
Способ сложения силуэтов показан на приложенных чертежах (рис. 92).
Рис. 92.Решение задачи № 95
Все фигуры, изображенные на таблице 85-й, можно сложить из танграммов (см. таблицу 94-ю), – за исключением одной – лебедя. Здесь, на рис. 93-м показано, какие очертания имеет фигура лебедя, если ее правильно составить из танграммов.
Рис. 93.Рис. 94.
Решение задачи № 96
Все силуэты имеют одинаковую площадь, так как составлены из одних и тех же частей. Как бы ни различались между собою силуэты, все они представляют собою видоизменения первоначального квадрата и, конечно, равны ему по площади.
Решение задачи № 97 Рис. 95.Решение задачи № 98
Каждый из больших треугольников составляет по площади 1/4 квадрата; средний треугольник вдвое меньше и, следовательно, составляет 1/8 долю квадрата. Каждый из маленьких треугольников вдвое меньше среднего, и, значит, площадь каждого = 1/16 доле площади квадрата.
Параллелограмм и квадратик можно составить из двух маленьких треугольников; следовательно, каждая из этих фигур = 1/8 площади первоначального квадрата.
Решение задачи № 99На прилагаемом чертеже 96-м показано, как составлены обе фигуры.
Первая, безногая фигура чуть-чуть толще второй, – именно на узкую полоску, отрезаемую линией АВ. Зато вторая фигура имеет ногу, и площадь этой «ноги» в точности равна упомянутой избыточной полоске.
Рис. 96.Решение задачи № 100 Один из двух квадратов составляется двумя большими треугольниками. Сделав это, нетрудно уже из остальных 5 танграммов составить второй квадрат.
Вторая сотня головоломок
Предисловие
Выпущенный мною в 1915 году первый сборник головоломок для юных математиков («Веселые задачи») получил применение и распространение гораздо более обширные, чем можно было ожидать [9] . Успех первой книжки побудил меня наряду с ее переизданием, выпустить еще один сборник подобного же характера, чтобы дать юным любителям математики более обширное поле для изощрения своих способностей. Книжка эта лежит перед читателем. Несмотря на подзаголовок (вторая сотня головоломок), она не стоит в необходимой связи с первой. Это просто серия других упражнений, в общем не труднее и не легче предложенных в первом сборнике. Материал умышленно подобран здесь не однородный по трудности, чтобы каждый из юных читателей мог найти упражнения, соответствующие его силам. Значительная часть задач (около половины общего числа) придумана мною, большинство остальных принадлежит к мало использованным и в русском сборнике появляется впервые. Как и первая книжка, этот сборник не преследует учебных целей, а имеет лишь в виду приятной умственной гимнастикой изощрить сообразительность и тем подготовить юный ум к более серьезной работе в будущем [10] .
Я. П.
Глава I Задачи из «Путешествий Гулливера»
Рис. 1.
Самые удивительные страницы в «Путешествиях Гулливера по многим отдаленным странам» – без сомнения, те, где описаны его необычайные приключения в стране крошечных лилипутов и в стране великанов «бробдиньягов». В стране лилипутов размеры – высота, ширина, толщина – всех людей, животных, растений и вещей были в 12 раз меньше, чем у нас. В стране великанов, наоборот, – в 12 раз больше. Почему автор «Путешествий» избрал именно число 12, легко понять, если вспомнить, что это как раз отношение фута к дюйму (автор «Путешествий» – англичанин). В 12 раз меньше, в 12 раз больше – как будто не очень значительное уменьшение или увеличение. Однако отличие природы и жизни в этих фантастических странах от тех, к каким мы привыкли, оказалось поразительным. Зачастую различие это настолько озадачивает своей неожиданностью, что дает материал для головоломной задачи. Десяток подобных головоломок мы и хотим здесь предложить читателям. ЗАДАЧА № 1 Паек и обед Гулливера
Лилипуты, – читаем мы в «Путешествиях», – установили для Гулливера следующую норму отпуска пищевых продуктов:
«Ему будет ежедневно выдаваться паек съестных припасов и напитков, достаточный для прокормления 1724 подданных страны лилипутов».
«Триста поваров, – рассказывает Гулливер в другом месте, – готовили для меня кушанье. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, а человек 100 прислуживало с пола: одни подавали кушанье, остальные приносили боченки с вином и другими напитками на шестах, перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие наверху по мере надобности поднимали все это на стол при помощи веревок и блоков».
Не объясните ли вы, из какого расчета получили лилипуты такой огромный паек? И зачем понадобился столь многочисленный штат прислуги для прокормления одного человека? Ведь он всего лишь в дюжину раз выше ростом, нежели лилипуты. Соразмерны ли подобный паек и аппетит с относительной величиной Гулливера и лилипутов?
ЗАДАЧА № 2 Бочка и ведро лилипутов«Наевшись, – рассказывает далее Гулливер о своем пребывании в стране лилипутов, – я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты с большой ловкостью подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера, подкатили ее к моей руке и выбили крышку. Я выпил все одним духом. Мне подкатили другую бочку. Я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, – но больше у них не было».
Рис 2. Обед Гулливера в стране лилипутов.В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были «не больше нашего большого наперстка».
Такие крошечные бочки и ведра могли ли быть в стране, где все предметы меньше нормальных только в 12 раз?
ЗАДАЧА № 3 Животные страны лилипутов«Пятьсот самых больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу», – рассказывает Гулливер о стране лилипутов.
Не кажется ли вам, что 500 лошадей – чересчур много для этой цели, даже принимая во внимание относительные размеры Гулливера и лилипутских лошадей?
О коровах, быках и овцах лилипутов Гулливер рассказывает не менее удивительную вещь, – что, уезжая, он попросту «посадил их в свой карман».
Возможно ли это?
ЗАДАЧА № 4 Жесткая постельО том, как лилипуты приготовили ложе своему гостю-великану, читаем в «Путешествии Гулливера» следующее:
«Шестьсот тюфяков обыкновенных лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные принялись за работу. Из полутораста тюфяков, сшитых вместе, вышел один, на котором я мог свободно поместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка положили один на другой, – но даже и на этой постели мне было так же жестко спать, как на каменном полу».
Почему же Гулливеру было на этой постели так жестко? И правилен ли весь приведенный здесь расчет?
ЗАДАЧА № 5 Триста портных«Ко мне было прикомандировано 300 портных-лилипутов с наказом сшить мне полную пару платья по местным образцам».
Неужели нужна такая армия портных, чтобы сшить один костюм на человека, ростом всего в дюжину раз больше лилипутского?
ЗАДАЧА № 6 Лодка ГулливераГулливер покинул страну лилипутов на лодке, которую случайно прибило к берегу. Лодка эта казалась лилипутам чудовищным кораблем, далеко превосходящим размеры самых крупных судов их флота.
Не можете ли вы рассчитать приблизительно, сколько лилипутских тонн водоизмещения [11] имела эта лодка, если исходить из того, что она могла поднять груз в 20 пудов?
ЗАДАЧА № 7 Исполинские яблоки и орехи«Один раз, – читаем мы в «Путешествиях Гулливера» к бробдиньягам (великанам), – с нами отправился в сад придворный карлик. Улучив удобный момент, когда я, прохаживаясь, очутился под одним из деревьев, он ухватился за ветку и встряхнул ее над моей головой. Град яблок, величиной каждое с хороший боченок, шумно посыпался на землю; одно ударило меня в спину и сбило с ног»…
Рис. 3. Яблоки страны великанов.В другой раз – «какой-то каверзный школьник запустил орехом прямо мне в голову и едва не попал, – а брошен был орех с такою силой, что неминуемо размозжил бы мне череп, так как был немногим меньше нашей небольшой тыквы».
Сколько примерно могли, по вашему мнению, весить яблоко и орех страны великанов?
ЗАДАЧА № 8 Кольцо великановВ числе предметов, вывезенных Гулливером из страны великанов, было, говорит он, – «золотое кольцо, которое королева сама мне подарила, милостиво сняв его со своего мизинца и накинув мне через голову на шею, как ожерелье».
Возможно ли, чтобы колечко с мизинца хотя бы и великанши годилось Гулливеру как ожерелье? И сколько, примерно, должно было такое кольцо весить?
ЗАДАЧА № 9 Книги великановО книгах в стране великанов Гулливер сообщает такие подробности:
«Мне разрешено было брать из библиотеки книги для чтения, – но для того, чтобы я мог их читать, пришлось соорудить целое приспособление. Столяр сделал для меня деревянную лестницу, которую можно было переносить с места на место. Она имела 25 футов в вышину, а длина каждой ступеньки достигала 50-ти футов. Когда я выражал желание почитать, мою лестницу устанавливали футах в 10-ти от стены, повернув к ней ступеньками, а на пол ставили раскрытую книгу, прислонив ее к стене. Я взбирался на верхнюю ступеньку и начинал читать с верхней строки, переходя слева направо и обратно шагов на 8 или на 10, смотря по длине строк. По мере того, как чтенье подвигалось вперед и строки приходились все ниже и ниже уровня моих глаз, я постепенно спускался на вторую ступеньку, на третью и т. д. Дочитав до конца страницы, я снова поднимался вверх и начинал новую страницу таким же манером. Листы я переворачивал обеими руками, что было не трудно, так как бумага, на которой у них печатают книги, не толще нашего картона, а самые большие их фолианты имеют не более 18–20 футов в длину».
Соразмерно ли все это?