удвоение и деление пополам, как особые арифметические действия, сохранялись в европейских школьных учебниках еще и в XVII веке.
Понятия 1/2 и 1/4 возникли в практике людей довольно рано, но не как дроби, а как самостоятельные категории половины, четверти. Дроби типа целого числа с половиной образовывались как разность между следующим целым числом и половиной: 21/2 называлась полтретья. Обратите внимание, в русском языке половина и два – слова разного корня. А когда нас спрашивают, который час, мы отвечаем полтретьего.
Так постепенно и неуклонно развивалась математика. Она росла, как цветок, как дерево, как общество, развиваясь и укрупняясь соответственно нуждам людей. Земледельцу для ориентации в своей работе нужны математика и астрономия, астрономии, в свою очередь, нужна более сложная математика. Не позже и не раньше потребного для астрономии времени появился и математический аппарат.
Со временем математика получила возможность быть «самостоятельной». Уже она сама становится законодательницей, предлагая свои решения смежным и дальним дисциплинам: географии, землеустройству, астрономии, становясь важным фактором их развития. Хрестоматийный пример: открытие математическими методами планеты Нептун, путем расчета гравитационных возмущений в движениях других планет Солнечной системы. Математика перестала быть подсобной наукой для астрономов, она сама стала диктовать им, куда направлять телескопы.
Такой путь проходят ВСЕ науки. Чтобы уничтожить знание, нужно уничтожить людей. Если люди продолжают жить, остается знание. Посмотрите: десятилетиями преследовались в нашей стране такие науки, как астрология, хиромантия и прочие «нетрадиционные» учения. Столетиями изводили колдунов. И что же? Как ни включишь телевизор, сплошной «Третий глаз».
Наука впрок
Рассказывая о Месопотамии (ныне Ирак), К. Керам с восторгом пишет о вавилонском клинописном тексте, конечный итог которого выражается числом 195 955 200 000 000, «то есть такими числами, которыми не могли оперировать даже во времена Декарта и Лейбница». И тут же рассуждает о более ранних жителях Месопотамии, шумерах (черноголовых). Это они, пишет он, принесли сюда «более высокую, в основном вполне сформировавшуюся культуру, которую они навязали семитам. Но где сформировалась их культура? Этот вопрос затрагивает одну из больших, до конца еще неясных проблем археологии».
Вся древняя месопотамская история бесконечно порождает вопросы. Например, каким чудом смогла исчезнуть здесь достигшая колоссальных успехов математика?… Но вот вопрос еще более удивительный: откуда она тут взялась?
Ведь получается, что шумеры «принесли» культуру в Месопотамию, предварительно «унеся» ее целиком и полностью из своих родимых мест, не оставив нигде более на Земле никаких следов своего существования. Мы видим, во-первых, культуру Древней Месопотамии, принесенную неизвестными людьми неизвестно откуда и когда и впоследствии непонятно почему исчезнувшую, причем не только здесь, но и в тех местностях, откуда пришельцы были родом. Во-вторых, средневековую культуру, достигшую тех же высот и привившуюся повсеместно, в том числе в Месопотамии. Но между «Месопотамиями» древней и средневековой многовековая научная пустыня!
Не проще ли сделать вывод, что это одна культура, одно время, одна и та же история, повторенная дважды?…
Система счисления у шумеров, вавилонян и ассирийцев Месопотамии была шестидесятеричной, а цифры десятичными. Тут одновременно использовались две системы счета так же, как в Англии, использующей наряду со своей исконной двенадцатеричной и привнесенную со стороны десятичную.
Смешанный счет, когда единицы и десятки записываются в шестидесятеричной системе, очень удобен для астрономии. Для небесных вычислений приходится работать с окружностью, которую легко делить пополам (диаметр), на шесть частей (отсекая точки циркулем, разведенным на радиус), на три части (соединяя через одну точки, полученные при предыдущем делении)… Климат Месопотамии чрезвычайно подходит для наблюдений за небом. И большинство месопотамских текстов, в самом деле, именно астрономического содержания.
Здесь было только два значка для обозначения чисел, единица и десять, и несколько дополнительных значков для их группировки. Для записи чисел старших разрядов пользовались теми же значками, что и для низших, но более крупными по размеру. Запись групп аналогична нашей позиционной записи чисел. В поздних текстах появляется «пустой разряд», ноль. Ясно, что если в дальнейшем местные жители отказались от позиционной записи и ноля, то они сделали огромный шаг назад, а был ли он? Не перепутаны ли здесь «умные» предки и «глупые» потомки местами?
Сложение и вычитание месопотамцы производили поразрядно, так же как и умножение, но для этого им надо было знать таблицу умножения от 2 × 2 до 59 × 59, состоящую из 1711 произведений. Это не стало препятствием к распространению математики, так как здешние ученые широко пользовались готовыми таблицами вычислений. Имелись также таблицы обратных величин, квадратных и кубических корней и тому подобного.
Среди сохранившихся вавилонских глиняных табличек с расчетами многие – на отдачу денег в рост, то, что мы теперь назвали бы задачами «на проценты». Разница лишь в том, что ростовщики пользовались не единицей от сотни (процент), а единицей от шестидесяти. А ведь предоставление кредитов предполагает хорошо развитую систему финансов, что, в свою очередь, может быть лишь в обществе с высокотехнологичным хозяйствованием и торговлей. Действительно, в этих местностях, как записано в одной из табличек, «купцов было больше, чем звезд на небе». С кем же они торговали и, главное, чем, если окружающие народы лишь через тысячелетия начали выбиваться из дикости?
Еще одна большущая загадка, возникающая, если мы желаем остаться на позициях традиционной истории. В математике Древнего Востока мы не находим попыток дать то, что называется теперь доказательством! Здесь есть только предписания в виде правил. Ситуация подобна той, что возникает в техническом вузе, когда студенту дают готовые правила для выполнения стандартных вычислений, не вдаваясь в дебри обоснований. Это возможно только в том случае, если учителя такого студента (или учителя учителей) ранее уже обосновали, доказали правильность положений своей науки.
Во многих других частях планеты ситуация сходная. Китайцы пользовались позиционной десятичной системой с девятью символами, но когда ее начали применять? Неведомо. Ноль появился, как полагают, в XIII веке (позже, чем в Европе). Несомненно, здесь была и шестидесятеричная система тоже, что следует хотя бы из китайского календаря с 60-летним циклом.
Ранняя индийская система, по мнению специалистов, была десятичной, с отдельными знаками для чисел от 1 до 9, для 10, 20…90, 100, 200…1000 и 2000.
Историк математики Э. Кольман отмечает, что мы хорошо знаем математику Месопотамии, хуже – Египта и совсем плохо – Индии и Китая. Потому что в Месопотамии писали на глиняных табличках, а они со временем только твердеют; в Египте использовали папирус, материал, сохраняющийся лишь в сухом климате. А в Индии и Китае для записей использовали совсем нестойкие материалы, древесную кору и бамбук. Э. Кольман – специалист, он знает о чем пишет: «… Застойный характер всей культуры этой эпохи ставит перед историками весьма трудную задачу. Нередко трудно или даже невозможно установить время, когда было сделано то или другое открытие, ибо раз установившийся прием передавался по традиции неизменным в течение столетий, а иногда и тысячелетий; документы чаще всего не датированы, и о времени их происхождения приходится судить по косвенным данным».
Официальная датировка существующих математических текстов Индии и Китая не опускается ниже первых веков нашей эры (линии № 7–9 «синусоиды Жабинского»).
Как и в Месопотамии, и в Индии, и в Китае наблюдается уже упомянутый нами феномен: математические тексты и правила зазубривали наизусть. Учение передавалось из поколения в поколение в неизменном виде. Но ведь знания вызываются определенными общественными и экономическими потребностями! Лишь если они получены со стороны «впрок» на будущее, они становятся каноническими, неизменными, застывшими. Есть правила, но нет доказательств; наука превращается во что-то вроде «священного писания», когда надо верить и исполнять, а не рассуждать. Понятно, что это не может быть плодом естественного развития науки в данном обществе.
Между тем историки утверждают, что современную десятичную позиционную систему арабы позаимствовали именно в Индии и позже распространили в Европе. Это неправда; позже мы покажем, что в Европе реальную Индию довольно долго вообще не знали, предполагая ее существование как минимум в пяти разных местах планеты.
Теперь ознакомим читателя с нашими краткими выводами.
Математика зародилась в Египте наряду с появившимся там же первичным земледелием. Затем она бурно развивалась в Ромейской (Византийской) империи авторами по имени Аристотель, Архимед, Евклид, Птолемей… Аристотель значит «Наилучший завершитель», Архимед – «Высшее знание», это скорее не имена, а названия научных альманахов. Эта наука, применяясь в земледелии, металлургии, строительстве, астрономии, получала также теоретическое обоснование у арабских ученых, носителей той же европейской культурной традиции, но живших и творивших не в Багдаде, а в Испании, откуда в Западную Европу и попадали тексты на арабском языке.
Уже достигнув больших высот, математика вместе с миссионерами Византии и с крестоносцами попала в местность, называемую ныне Месопотамией, получила дальнейшее развитие в трудах среднеазиатских мыслителей, а далее с купцами и миссионерами проникла в Индию и Китай, стимулируя развитие этих стран в мере, обусловленной их экономическими потребностями.