оторые впервые видят эту головоломку, не могут поверить в результат. Почему? Какой интуитивный нерв им защемили?
Таблица 5. Три сочетания дверей и коз в «Заключим сделку» показывают, что вариант сменить дверь вдвое привлекательнее
Вероятно, на это есть 10 тысяч разных причин, по одной на каждого читателя, но я считаю самым убедительным аргументом такой: нам кажется, что решение вос Савант принуждает верить в телепатию. Если я должен изменить выбор независимо от того, какую дверь предпочел в начале, значит, продюсеры каким-то образом читают мои мысли. А иначе как им удастся расположить машину таким образом, чтобы она с большей вероятностью оказалась за дверью, которую я не выбрал?
Ключевой элемент для разрешения этого парадокса состоит в том, что необходимо принять в расчет не только данные (т. е. факт, что ведущий открыл конкретную дверь), но и процесс генерации данных, другими словами, правила игры. Они сообщают кое-что об информации, которую можно было бы получить, только мы этого не сделали. Неудивительно, что именно статистикам было так трудно понять решение головоломки. Они привыкли к тому, что Р. Э. Фишер в 1922 году назвал сокращением данных, и традиционно игнорируют процесс их генерации.
Для начала давайте немного поменяем правила игры и посмотрим, как это повлияет на наш выбор. Представьте альтернативную игру с ведущим по имени Хонти Молл. Он открывает одну из дверей, на которую вы не показывали, но его выбор абсолютно случаен, т. е. он может открыть и ту дверь, за которой находится автомобиль. Такая вот незадача!
Чтобы рассмотреть этот вариант, составим таблицу, похожую на предыдущую, и примем во внимание факт, что расположение машины (три возможности) и выбор двери, которые сделает Хонти Молл (две возможности) — два случайных и независимых обстоятельства. Таким образом, в таблице должно быть шесть строк, каждая из которых равновероятна, потому что обстоятельства независимы друг от друга (табл. 6).
Что же произойдет, если Хонти Молл откроет дверь и за ней окажется коза? Так у нас появится важная информация: вероятно, мы находимся на второй или четвертой строке таблицы. Сосредоточившись только на второй и четвертой строках, мы увидим, что отказ от изначального выбора больше не дает нам никакого преимущества — в любом случае вероятность выигрыша будет равна одной второй. Таким образом, применительно к шоу Хонти Молла критики Мэрилин вос Савант были бы правы! Однако в двух этих случаях мы имеем дело с разными данными. Урок здесь довольно прост: то, как мы получаем информацию, не менее важно, чем сама информация.
Таблица 6. Варианты в программе с Хонти Моллом
Давайте воспользуемся нашим любимым приемом и нарисуем диаграмму причинности, которая сразу же покажет, чем отличаются две телеигры, реальная и воображаемая. Во-первых, на рис. 32 показана диаграмма для настоящей игры «Заключим сделку», где Монти Холл должен открыть дверь, за которой нет машины. Отсутствие стрелки между вашей дверью и местонахождением автомобиля означает, что ваш выбор двери и выбор продюсера, где поставить машину, не зависят друг от друга. Так мы явно исключаем возможность чтения мыслей со стороны продюсеров (или с вашей стороны!). Но еще важнее две стрелки, присутствующие на диаграмме. Они показывают, что на открывшуюся дверь повлиял и ваш выбор, и выбор продюсеров. Дело в том, что Монти Холл должен открыть дверь, отличную и от «вашей двери», и от «местонахождения автомобиля» — ему необходимо принять в расчет оба фактора.
Рис. 32. Диаграмма причинности для шоу Монти Холла
Как следует из рис. 32, открытая дверь — это коллайдер. Как только у нас появляются данные об этой переменной, все наши вероятности становятся зависимыми от полученной информации. Но, если учитывать только коллайдер, создается ложная зависимость между его родителями. Зависимость подкрепляется вероятностями: если вы выбрали дверь 1, то вероятность присутствия автомобиля за дверью 2 будет в два раза выше, чем шанс найти его за дверью 1; если вы выбрали дверь 2, то в два раза выше вероятность его присутствия за дверью 1.
Это определенно странная зависимость, к которой большинство из нас не привыкло. У этой зависимости нет причины. Она не связана с физическим общением между продюсерами и нами. Она не подразумевает телепатию. Это чистый эффект байесовской обусловленности: волшебная передача информации без причинности. Наш разум восстает против такой возможности, потому что с раннего детства мы научились связывать корреляцию с причинностью. Если машина позади нас делает те же повороты, что и мы, сначала мы думаем, что она следует за нами (причинно-следственная связь!). Потом нам приходит в голову, что она просто едет в то же место (т. е. за каждым поворотом стоит общая причина). Но беспричинная корреляция противоречит здравому смыслу. Таким образом, парадокс Монти Холла подобен оптической иллюзии или фокусу: он использует наши собственные когнитивные механизмы, чтобы обмануть нас.
Почему я говорю, что, когда Монти Холл открыл дверь 3, произошла «передача информации»? Ведь вы не получили никаких подтверждений того, что поступили верно, выбрав дверь 1. Вы заранее знали, что он собирается открыть дверь, за которой спрятана коза, и это случилось. Никто не попросит вас изменить это мнение, поскольку вы стали свидетелем неизбежного. Так почему же вероятность выигрыша за дверью 2 выросла с до?
Дело в том, что Монти не мог открыть дверь 1 после того, как вы ее выбрали, но мог открыть дверь 2. Поскольку этого не произошло, вероятность, что он открыл дверь 3 по необходимости, повышается. Таким образом, мы получаем больше подтверждений того, что автомобиль находится за дверью 2. Это общая тема байесовского анализа: любая гипотеза, выдержавшая какую-то проверку на достоверность, становится вероятнее. Чем больше угроза достоверности, тем выше вероятность после ее преодоления. Вероятность двери 2 могла быть опровергнута (т. е. Монти мог ее открыть), а двери 1 — нет. Таким образом, дверь 2 становится более вероятным местом. Вероятность того, что машина находится за дверью 1, остается.
Для сравнения на рис. 33 представлена диаграмма причинности для альтернативной игры с ведущим Хонти Моллом, который выбирает не ту дверь, что вы, но в остальном делает это наугад. На этой диаграмме все еще есть стрелка, указывающая от вашей двери к открытой двери, потому что он не может выбрать ту же самую. Но стрелка от местоположения машины к открытой двери будет удалена, потому что ведущему неважно, где находится машина. На этой диаграмме открытая дверь никак не влияет на ситуацию: ваша дверь и расположение машины были независимы с самого начала и останутся независимыми, когда мы увидим, что за дверью Хонти. Итак, в телеигре с Хонти Моллом вероятность обнаружить машину за вашей дверью и за другой дверью абсолютно одинакова, что показано в рис. 40.
Рис. 33. Диаграмма причинности для шоу Хонти Молла
С байесовской точки зрения разница между этими двумя играми состоит в том, что в шоу Хонти Молла дверь 1 может быть показана как неверный выбор. Монти Холл мог открыть дверь 3 и показать машину, что доказало бы вашу неправоту. Поскольку ваша дверь и дверь 2 могли быть обозначены как неверные, вероятность для них остается одинаковой.
Хотя это чисто качественный анализ, его можно сделать количественным, использовав правило Байеса или рассматривая диаграммы как простые байесовские сети. Поступая так, мы помещаем эту задачу в общие рамки, которые использовались в подобных случаях. Нам не нужно изобретать метод для решения головоломки; распространение убеждений, описанное в главе 3, даст правильный ответ, а именно P (дверь 2) = для шоу Монти Холла и P (дверь 2) = ½ для шоу Хонти Молла.
Заметьте, что на деле я предложил два объяснения для парадокса Монти Холла. В первом ложная зависимость между вашей дверью и местонахождением автомобиля объясняется с помощью причинно-следственных связей. Во втором используется байесовский подход, чтобы выяснить, почему в «Заключим сделку» повышается вероятность двери 2. Оба объяснения имеют ценность. Байесовский подход объясняет само явление, но не показывает, почему мы воспринимаем его так парадоксально. На мой взгляд, без ответа на этот вопрос нельзя полностью разрешить парадокс. Почему читатели колонки вос Савант были так уверены, что она ошибалась? Ведь это были не только люди, безосновательно убежденные в своей правоте. Пал Эрдёш, один из выдающихся математиков современности, тоже не мог согласиться с ее решением, пока его не подтвердила компьютерная симуляция. О каких недостатках в нашем интуитивном видении мира говорит эта ситуация?
«Наши мозги не слишком приспособлены для решения задач о вероятности, поэтому ошибки в этой ситуации меня не удивляют», — сказал Перси Диаконис, специалист по статистике из Стэнфордского университета в интервью «Нью-Йорк таймс» в 1991 году. Справедливо, только этим дело не ограничивается. Наши мозги действительно не приспособлены для решения задач о вероятности, однако приспособлены для решения задач о причинно-следственных связях. И эта предрасположенность порождает систематические ошибки в оценке вероятностей — такие же, как в случае с оптическими иллюзиями. Поскольку между «моей дверью» и «расположением автомобиля» нет причинно-следственных связей, нам чрезвычайно трудно понять, что здесь существует вероятностная ассоциация. Наши мозги не готовы принимать беспричинную корреляцию, и, чтобы видеть ситуации, где она возможна, требуется специальная подготовка — на примерах вроде парадокса Монти Холла или тех, что мы обсуждали в главе 3. Как только мы «перезарядим» мозги и начнем узнавать коллайдеры, такие парадоксы перестанут сбивать нас с толку.
И снова об «ошибке коллайдера»: парадокс Берксона
В 1946 году Джозеф Берксон, биостатистик из клиники Мэйо, указал на интересную особенность, которую выявили наблюдения в условиях больницы: даже если два заболевания не связаны друг с другом у населения в целом, они могут показаться связанными у пациентов.