Перспектива принятия таких решений на основе чисто математических средств должна показаться заманчивой любому, кто понимает дороговизну и сложность проведения рандомизированных контролируемых исследований даже в тех случаях, когда они возможны с точки зрения физики и законодательства. Я тоже был вдохновлен этой идеей в начале 1990-х, не как экспериментатор, а как ученый в области информатики и заодно философ. Несомненно, одно из самых радостных событий в жизни ученого — обнаружить, что, не выходя из-за своего стола, вы способны определить, что возможно или невозможно в реальном мире — особенно, если решаемая проблема важна для общества, а тех, кто пытался ее решить до вас, она ставила в тупик. Могу себе представить, что нечто подобное испытывал Гиппарх из Никеи, когда обнаружил, что в состоянии вычислить высоту пирамиды по ее тени на земле, не взбираясь на нее. Это была явная победа разума над материей.
В самом деле, используемый мной подход во многом был вдохновлен учеными Древней Греции (включая Гиппарха) и изобретенной ими формальной логикой геометрии. В центре древнегреческой логики — набор аксиом, или самоочевидных истин, допустим: «Между двумя точками можно провести одну и только одну прямую». С помощью этих аксиом древним грекам удалось создать сложные структурированные утверждения — теоремы, истинность которых уже очень далека от очевидной. Возьмем, к примеру, утверждение, что сумма углов треугольника равна 180° (или двум прямым углам) вне зависимости от его размера и формы. Истинность этого утверждения ни в какой мере не очевидна; однако философы-пифагорейцы V века до н. э. сумели доказать его универсальную истинность, используя самоочевидные аксиомы в качестве деталей конструктора.
Если вы постараетесь вспомнить школьные уроки геометрии, хотя бы в первом приближении, вы вспомните, что доказательства теорем всегда состоят из вспомогательных построений: скажем, прямой, параллельной стороне треугольника, отмечающей равенство определенных углов; окружности с радиусом, равным данному сегменту, и т. д. Эти вспомогательные построения рассматриваются как временные математические предложения, которые содержат допущения (или требования), касающиеся свойств изображенных фигур. Каждое новое построение опирается на уже существующие, так же как и на аксиомы и на ранее доказанные теоремы. Например, начертание прямой, параллельной одной из сторон треугольника, определяется пятой аксиомой Евклида, о том, что возможно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой через точку, не лежащую на этой прямой. Начертание этих вспомогательных конструкций — всего лишь операция механического манипулирования символами: в ходе него предложение, написанное ранее (или ранее начертанное изображение), переписывается в новом формате, если это переписывание допускается аксиомой. Великая заслуга Евклида в том, что он определил минимальный набор из всего пяти аксиом, из которого возможно вывести все остальные истинные утверждения геометрии.
Теперь давайте вернемся к нашему центральному вопросу: в каких случаях модель может заменить эксперимент или когда данные, полученные в результате действия, можно заменить просто наблюдаемыми данными. Вдохновившись геометрами Древней Греции, мы хотели бы свести задачу к манипуляции символами и таким образом свергнуть причинность с Олимпа и сделать ее доступной обычному исследователю.
Для начала перефразируем задачу нахождения воздействия X на Y, используя язык доказательств, аксиом и вспомогательных построений, язык Евклида и Пифагора. Начнем с нашего итогового предложения P (Y | do (X)). Задача будет считаться выполненной, если нам удастся удалить из него do-оператор, оставив только классические выражения для вероятностей, вроде P (Y | X) или P (Y | X, Z, W). Конечно, мы не вправе манипулировать нашим итоговым, целевым выражением так, как нам вздумается; операции должны соответствовать тому, что do (X) означает как физическая интервенция. Таким образом, необходимо провести наше выражение через последовательность законных манипуляций, каждая из которых разрешена аксиомами и допущениями нашей модели. Эти манипуляции будут сохранять значение выражения, которое им подвергается, изменяя только формат, в котором оно записывается.
Пример преобразования, сохраняющего значение, — алгебраическое преобразование, превращающее y = ax+ b в ax = y — b. Отношения между X и Y остаются прежними, меняется только формат.
Мы уже знакомы с некоторыми легитимными преобразованиями do-выражений. Так, правило 1 гласит, что, когда мы наблюдаем переменную W, которая не имеет отношения к Y (возможно, является условной по отношению к другим переменным Z), вероятностное распределение Y не изменится. В главе 3 мы видели, что переменная пожар нерелевантна для состояния переменной тревога, если мы знаем состояние переменной-медиатора (дым). Это утверждение о нерелевантности переводится как символическая манипуляция: P (Y | do (X), Z, W) = P (Y | do (X), Z). Постулированное выше уравнение правомерно, если набор переменных Z блокирует все пути от W к Y после того как мы удалили все стрелки, ведущие к Х. В примере пожар → дым → тревога W = пожар, Z = дым и Y = тревога, а Z блокирует все пути от W к Y (в этом случае у нас нет переменной X).
Следующая легитимная трансформация знакома нам по обсуждению критерия черного хода. Мы знаем, что, если набор переменных Z блокирует все пути черного хода от X к Y, поправка по Z, do (X) эквивалентна see (X).
Следовательно, мы можем написать P (Y | do (X), Z) = P (Y | X, Z), если Z удовлетворяет критериям черного хода. Примем это как правило 2 нашей системы аксиом. Хотя это, вероятно, менее самоочевидное правило, чем правило 1, в простейших случаях это принцип общей причины Ханса Рейхенбаха, измененный таким образом, чтобы мы не путали схождения с конфаундерами. Другими словами, мы говорим, что после того, как введены поправки по достаточному набору переменных, снимающих осложнения, любая оставшаяся корреляция представляет собой истинное каузальное воздействие.
Правило 3 очень простое: оно более-менее сводится к тому, что мы можем убрать do (X) из P (Y | do (X)) в любых случаях, в которых нет каузальных путей от X к Y, т. е. P (Y | do (X)) = P (Y), если нет пути от X к Y, состоящего только из стрелок, направленных вперед. Перефразируем это правило следующим образом: если мы делаем нечто, что не влияет на Y, вероятностное распределение Y не изменяется. Помимо того, что правила 1–3 столь же самоочевидны, как и аксиомы Евклида, их можно также доказать математически, используя наше «бесстрелочное» определение do-оператора и базовые законы вероятности. Обратите внимание, что правила 1 и 2 включают условные вероятности, связанные со вспомогательными переменными Z, отличными от X и Y. Эти переменные допустимо считать контекстом, в котором исчисляется вероятность. Иногда уже само присутствие этого контекста делает преобразования законными. В правиле 3 также могут присутствовать вспомогательные переменные, но я опустил их для простоты.
Отмечу, что у каждого правила имеется простая синтаксическая интерпретация. Правило 1 разрешает добавить или удалить наблюдения. Правило 2 разрешает замену интервенции на наблюдение или наоборот. Правило 3 разрешает добавлять или удалять интервенции. Все эти разрешения действуют при определенных условиях, которые в каждом конкретном случае должны быть подтверждены каузальными диаграммами.
Теперь мы готовы продемонстрировать, как правила 1–3 позволяют нам преобразовывать одну формулу в другую до тех пор, пока (если только мы окажемся достаточно сообразительны) не получим выражение, которое нам нужно. Хотя это займет довольно много места, я думаю, что нужно все-таки наглядно показать вам, как с помощью последовательного применения правил do-исчисления получается формула парадного входа (рис. 44). Вам нет необходимости внимательно следить за каждым шагом, я показываю вам вывод формулы, чтобы вы ощутили вкус do-исчисления.
Наше путешествие начнется с целевого выражения P (Y | do (X)). Мы вводим вспомогательные переменные и трансформируем целевое выражение так, чтобы оно не содержало оператора do и совпадало, конечно, с формулой поправок парадного входа. Каждый наш шаг обосновывается каузальной диаграммой, связывающей X, Y и вспомогательные переменные, или в некоторых случаях субдиаграммами, в которых стерты стрелки, соответствующие интервенциям. Эти обоснования изображаются справа.
К do-исчислению я испытываю особые чувства. С помощью этих трех скромных правил мне удалось вывести формулу парадного входа. Это было первое каузальное воздействие, которое получилось оценить иными средствами, чем поправки по конфаундерам. Я был убежден, что без do-исчисления этого никто не сможет сделать, поэтому представил эту задачу как вызов на семинаре по статистике в Калифорнийском университете в Беркли в 1993 году и даже предложил приз в 100 долларов тому, кто ее решит. Пол Холланд, присутствовавший на семинаре, написал мне, что предложил задачу в качестве проекта своим студентам и пошлет мне решение, когда оно будет готово (коллеги рассказывали мне, что на конференции в 1995 году он таки представил длинное решение, так что, возможно, я должен ему 100 долларов, если найду его доказательство). Экономисты Джеймс Хекман и Родриго Пинто предприняли следующую попытку доказать формулу парадного входа, используя только «стандартные инструменты», в 2015 году. Им это удалось, хотя и ценой восьми страниц сложных выкладок.