Как уже отмечалось, логика понимается нами очень широко. С одной стороны, мы понимаем её во фрегеанско-платоновском смысле как структуру мира вообще. Иными словами, это означает, что всё существующее каким-то образом логично. А если это так, то логика может быть представлена не только как формализованная форма мышления, но и как схема всего существующего вообще. В этом смысле познание с помощью логики может быть в какой-то степени тем самым платоновским «припоминанием». Хотя, выражаясь современным языком, речь идёт лишь о мысленных экспериментах.
С другой стороны, мы понимаем логику и более узко, как способ формализации разных типов мышления. С этой точки зрения, как уже было указано, мы считаем возможным создание иерархии логик с различными критериями, среди которых критерий «истинность» пригоден только для одного из типов логик – логик истинности. То есть таких логик, где решается вопрос об истинности либо ложности различных выражений или высказываний.
Ранее мы кратко охарактеризовали одну из версий такой иерархии логик. Приведём её в виде перечисления таких логик.
1. Логика существования. Основной критерий – «существует» («действительно») или, в упрощённом варианте, «наблюдаемо». Неопределённый наблюдатель (Демон Лапласа, Бог, абсолютный наблюдатель). Суждения основываются на терминах возможности.
2. Логика приемлемости. Основной критерий – «приемлемо», «допустимо». Чувствительный наблюдатель. Суждения формируются с помощью терминов потребления или шире – чувствительности.
3. Логика каузальности, или сравнения. Основной критерий – «связно», «каузально». Сравнивающий наблюдатель. Суждения формируются с помощью терминов причинения.
4. Логика управляемости. Основной критерий – «управляемо». Волевой наблюдатель. Основные термины суждений – «способность», «качество».
5. Логика истинности (знания или доказательства). Основной критерий – «истинно». Лживый (знающий) наблюдатель. Основной термин – «гипотетическое существование».
6. Логика убеждённости. Основной критерий – «убедительно». Сомневающийся или убеждённый наблюдатель. Основной термин высказываний – «знание».
7. Логика надежды. Основной критерий – «имеет надёжные основания». Надеющийся наблюдатель. Основной термин высказываний – «убеждённость».
Перечисленные логики являются в какой-то степени и модальными. Однако в модальных логиках основным критерием выступает всё-таки истинность. Поэтому данная иерархия, строго говоря, формализуется иначе и не может быть причислена к модальным логикам. Но этот вопрос остаётся открытым. Далее мы приводим один из подходов, который мог бы использоваться для формализации логики убеждённости. Однако это достигается несколько иными средствами, а именно за счёт расширения операции отрицания до бинарного вида. Тем не менее приведённый далее подход – один из возможных вариантов логики убеждённости.
Четверичная логика как логика убеждённости для сильного ИИ[102]
Понятие «неопределённость», принятое в троичной логике, весьма неудачно, так как не несёт полезного содержания. Считается, что неопределённость сама по себе ничего не значит и должна преодолеваться за счёт дополнительных действий, достигая значения либо «истина», либо «ложь». В троичной, или тернарной, логике принято, что суждения или высказывания могут характеризоваться как истинные, ложные или неопределённые. Однако подход к неопределённости, выбранный в троичной логике, изначально противоречив, так как приводит к ошибке при операции отрицания. Покажем это.
В логике С. Клини[103],[104], например, имеет место следующий вид отрицания:
Рис. 1. Отрицание в логике Клини
Здесь F – это ложь, U – неопределённость, T – правда. То есть отрицанием истины является ложь, отрицанием лжи – истина, а отрицанием неопределённости – сама же эта неопределённость. При такой форме отрицания получается, что неопределённость как бы зацикливается сама на себе, тогда как истина и ложь переходят при отрицании друг в друга. Фактически в таком подходе использована калька закона двойного отрицания классической двоичной логики, где двойное отрицание тождественно утверждению. Скажем:
Не (Не (Истина)) = Истина
Не (Не (Ложь)) = Ложь
Это совершенно верно для двоичной логики, но уже в троичной двойное отрицание не должно быть тождественно утверждению. Таким свойством должно обладать тройное отрицание. А именно:
Не (Не (Не (Истина))) = Истина
Не (Не (Не (Ложь))) = Ложь
Не (Не (Не (Неопределённость) = Неопределённость
Почему это необходимо? Точнее, почему такой подход к отрицанию имеет основания? Есть основания полагать, что мерность логики определяет её предельные возможности внутреннего развития. В двоичной логике истинное развивается в ложное, а ложное, наоборот, в истинное. Цикл развития оказывается очень коротким. Однако в троичной и более мерных логиках число звеньев цикла необходимо растёт, в противном случае дополнительные звенья теряют целесообразность. Покажем, что к такому пониманию отрицания был близок Гегель, но не формализовал её для своей логики.
Анализируя Спинозу, Гегель писал: «”Определённость есть отрицание” – таков абсолютный принцип спинозовской философии; этим истинным и простым взглядом обосновывается абсолютное единство субстанции. Но Спиноза не идёт дальше отрицания как определённости или качества; он не переходит к познанию отрицания как абсолютного, т. е. себя отрицающего, отрицания; тем самым спинозовская субстанция сама не содержит абсолютной формы; и познание этой субстанции не есть имманентное познание»[105].
Гегель критикует Спинозу за то, что онтология последнего не подразумевает отрицания как развития познания. Его онтология как бы статична для Гегеля. В то же время закон диалектики немецкого философа подразумевает, что двойное отрицание приводит к тождеству, но не к простому возвращению в исходную точку, а к возвращению с новым качеством: «Отрицания отрицания закон, один из основных законов диалектики, характеризующий направление процесса развития, единство поступательности и преемственности в развитии, возникновения нового и относительной повторяемости некоторых моментов старого»[106].
Это означает, что, следуя посылке Гегеля, мы могли бы получить несколько иной вывод, чем он сам получил. А именно мы могли бы дополнить его соображение идеей, что само отрицание зависит от мерности логики. Далее из изложения и рассмотрения этой идеи, однако, будет понятно, что для этого требуется, чтобы логика была полной (кратной двум). Рассмотрим это.
Таблица при операции отрицания в тернарной логике может выглядеть так:
Рис. 2. Отрицание в тернарной логике (вариант 1)
Или так:
Рис. 3. Отрицание в тернарной логике (вариант 2)
Возможны две симметричные тернарные логики. В одной из них (в последнем примере) отрицание лжи суть истина, а отрицание истины суть неопределённость, тогда как отрицание неопределённости суть ложь. Во второй происходит симметричное смещение. Впрочем, уже здесь видно, что тернарная логика является неполной, так как неопределённость не имеет противоположности, так как у чего-то логически бессмысленного её просто не может быть. Однако покажем это более чётко, введя неопределённость в модель естественным образом.
Рассмотрим это так. Что на самом деле означает характеристика «неопределённость»? Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что троичная логика – это расширение двоичной и в какой-то степени менее строгая система суждений. В этом смысле ни одна из перечисленных характеристик суждений не должна использоваться в тернарной логике. Действительно, под истиной здесь следует понимать «истинно, что А», а под ложью – «истинно, что не-А». Соответственно, неопределённость тогда становится «неистинно, что А». Но здесь обнаруживается неполнота такой системы, так как возможно ещё «неистинно, что не-А». Именно поэтому возникает неопределённость, которая в троичной логике непреодолима.
Распишем это подробнее и покажем, как происходит расширение от двоичной логики к троичной. Например, если мы в классической логике считаем, что выражение А истинно, то мы на самом деле утверждаем «истинно, что А» (заимствуя такую подмену в модальной логике[107]). Теперь оказывается, что отрицание как будто может иметь два вида: 1) «неистинно, что А» и 2) «истинно, что не-А». Но какой из вариантов будет соответствовать классической характеристике «ложно, что А»? При должной осмотрительности мы признаем, что искомым отрицанием исходной посылки могут являться оба выражения, в зависимости от выбранного нами определения, чтó есть отрицание. Это создаёт неопределённость или вариативность. Собственно говоря, именно это обстоятельство и даёт возможность для расширения логики до троичной и далее, до четверичной.
Фактически троичная и четверичная логики могут содержать следующие характеристики как расширение классической логики:
Рис. 4. Расширение набора критериев от двоичной логики до четверичной
Как видно из таблицы, троичная логика является неполной и в ней невозможно построить непротиворечивую интерпретацию характеристик истинности. В ней присутствуют истинное утверждение, неистинное утверждение и истинное отрицание. Более полной, очевидно, является четверичная логика, которую мы назвали бы логикой убеждённости. В ней отрицание в общем виде имеет несколько иной смысл, чем в двоичной логике. Отрицание здесь есть переход одной границы логического пространства. Проще всего это можно изобразить как переход границы на следующей диаграмме, но, так же как в примере с троичной логикой, здесь нужно выбрать направление (по часовой или против часовой стрелки).
Рис. 5. Двухмерное логическое пространство
Допустим, выбрано направление по часовой стрелке для отрицания (в обратную сторону – антиотрицание). Отрицание в такой логической модели будет означать пересечение границы по часовой стрелке. Легко заметить, что всё пространство здесь разделено на четыре зоны двумя линиями – осями: осью степени убеждённости и осью степени утвердительности. Вертикальная ось в данном случае делит пространство на две зоны: «убедительно» слева и «неубедительно» справа. Горизонтальная ось делит пространство на «А» (утверждение) сверху и «не-А» (отрицание или антиутверждение) снизу. Фактически это эквивалентно следующим характеристикам по часовой стрелке: «убедительное утверждение», «неубедительное утверждение», «неубедительное отрицание» и «убедительное отрицание».
Например, есть исходное выражение: «если наступает утро, то встаёт солнце». Допустим, что это надёжное утверждение. Тогда его отрицание «если не наступает утро, то встаёт солнце» будет ненадёжным утверждением. В свою очередь, его отрицание «если наступает утро, то не встаёт солнце» окажется ненадёжным отрицанием, а его отрицание «если не наступает утро, то не восходит солнце» будет надёжным отрицанием. Следующее отрицание приведёт к исходному выражению. Очевидно, что в такой логике само отрицание имеет специальное значение, отличное от классического. К счастью, в полной логике ему можно подобрать математическую интерпретацию.
В троичной логике (в силу её неполноты) нам не удалось найти математическую интерпретацию смысла указанных характеристик, но для четверичной логики это возможно. В частности, можно было бы придать этим характеристикам следующие математические значения: «убеждены, что А» = 1, «не убеждены, что А» = i, «не убеждены, что не-А» = —i и «убеждены, что не-А» = —1, где i – мнимая единица. В этом случае логическое отрицание можно расценивать в математическом смысле как умножение на мнимую единицу. Тогда получится следующая таблица, показывающая, что четверное отрицание в данной логике равносильно одному утверждению. То есть:
Не (Не (Не (Не (А)))) = А
Рис. 6. Отрицание в четверичной логике
Рассмотрим основные логические операции для такой математической интерпретации.
Рис. 7. Конъюнкция в четверичной логике
Рис. 8. Дизъюнкция в четверичной логике
Конъюнкция и дизъюнкция в такой логике имеют классический вид минимума (min) и максимума (max) соответственно, однако импликация заметно отличается от классической.
Рис. 9. Импликация в четверичной логике
Рассмотрим импликацию сужений «я не получил зарплату» и «я купил машину». Допустим, что «я не получил зарплату» есть неубедительное отрицание, а «я купил машину» есть неубедительное утверждение. Тогда выражение «если я не получил зарплату, то я купил машину» окажется убедительным утверждением (см. рис. 9). Аналогично и любое другое неубедительное отрицание в начале импликации приводит к убедительному утверждению в результате. Заметим, однако, что если мы выберем другое направление для отрицания (против часовой стрелки), то окажется, что неубедительное утверждение как первый член импликации всегда приводит к убедительному утверждению в его результате. В этом случае отрицание было бы эквивалентно умножению на мнимую единицу со знаком минус.
Подобная четверичная логика, несомненно, не может использоваться для выведения строгих логических суждений об истинности или ложности чего-либо, но может быть базой для моделирования поведения в ситуации оценки некоей характеристики убеждённости, например субъективной убеждённости в чём-то. В этом смысле очень важно учитывать, что каждый человек имеет свои представления о критериях убедительности получаемых сведений, поэтому логика убеждённости – это инструмент математического описания более сложных интуитивных суждений, нежели классические бинарные.
Важно отметить, что четверичная логика по сути двухмерна. А это означает, что она допускает более сложные модели, чем нечёткая вероятностная логика, оперирующая в рамках одной оси, например, оси истинности (вероятности) от 0 до 1. В четверичной логике, как отмечалось, есть ось степени убеждённости и ось степени утвердительности. Суждения здесь могут быть не только убедительными или неубедительными, но и утверждающими и отрицающими, или антиутверждающими. (Поэтому здесь, в частности, открывается путь для разработки двухмерной нечёткой вероятностной логики.)
Ранее мы привели пример суждения «я не получил зарплату» как суждения антиутверждающего типа, однако его отрицательная форма была выбрана только для наглядности. По сути, антиутверждением в смысле характеристики «отрицательность» может обладать любое суждение, в том числе и «я получил зарплату». Отрицательность суждения здесь означает, что оно, например, внутренне противоречиво или обладает интонацией смысла. В целом введение второй логической оси связано с расширением интуитивных описательных возможностей для формальной логики. Например, говоря «да» или «конечно», с помощью интонации человек может обогащать смысл этих суждений вплоть до «нет», «никогда», «ни в коем случае».
Интересно заметить, что четверичная логика является полной в том смысле, что допускает естественную математическую интерпретацию. Здесь имеет место полнота набора интерпретаторов, в отличие, например, от тернарной логики. При этом каждое измерение задаётся парой полюсов «убедительно – неубедительно», «утвердительно – антиутвердительно» (или, скажем, «противоречиво – непротиворечиво»). Классическая двоичная логика тоже полна и определена на оси «истинно – ложно», но, например, троичная логика не обладает полнотой. Следующей полной логикой, которая бы ещё больше приблизила математику машин к математике интуитивных логических суждений человека, была бы, видимо, восьмеричная (или трёхмерная). Мы бы назвали её, например, логикой надежды в соответствии с идеями развития форм человеческого мышления, изложенными в статье[108].
Не вызывает сомнений тот факт, что человек, в отличие от машины, использует более гибкие математические модели. Причём не только для решения тех или иных общих задач (artificial general intelligence), которые сегодня успешно решает компьютер с помощью нейронных сетей и систем машинного обучения, но и для формирования собственной мотивации. В конечном счёте машина пока ещё не может «чувствовать», так как мы не знаем о математической природе чувствительности. В этом смысле развитие полных (в терминах данной статьи) логик: четверичной (двухмерной), восьмеричной (трёхмерной), шестнадцатеричной (четырёхмерной) и т. д. – выглядит как возможный путь повышения гибкости искусственных логических систем и приближения их к реальным.
Идея двухмерной и более-мерной логики, обсуждаемая в статье, пересекается с двухаспектной теорией Дэвида Чалмерса или с двумерной семантикой в модальной логике[109]. Однако обе концепции обладают слабостью, а точнее, необходимостью выводить связь двух аспектов или измерений. Логика, обсуждаемая в данной статье, вводит оба измерения органически, поэтому их связь является здесь исходной позицией.