M, не имеют ничего общего с теми, кто предпочитает уровни q большие, чем qM. Поэтому никакая подгруппа людей, предпочитающих низкое q не может когда-либо объединиться с какой-либо подгруппой предпочитающих q, для того чтобы составить альтернативное большинство. Именно такие «периферийные» большинства препятствуют формированию определенного социального выбора, и они не могут формироваться в условиях однопиковых предпочтений.
Таким образом, ТМИ делает четкие предсказания о том, какие меры государственной политики победят, когда предпочтения однопиковы и общество является прямой демократией с открытой повесткой дня.
На данном этапе полезно представить себе модель, лежащую в основе теоремы IV. 1 как игру в расширенной форме. В такой игре есть три элемента [Osborne, Rubinstein, 1994, р. 89-90]: 1) множество игроков — здесь п индивидов; 2) описание дерева игры, определяющее, когда и какие игроки играют и какие действия доступны им на каждом узле дерева в ситуации выбора; 3) предпочтения индивидов, выраженные в виде V'(q). (В теории игр предпочтения и функции полезности часто называются выигрышами и функциями выигрышей (payoffs and payoff functions); мы используем эти термины как взаимозаменяемые.) Игрок избирает какую-либо стратегию, для того чтобы максимизировать эту функцию, где стратегия есть функция, определяющая, какое действие предпринимать на каждом шагу, на котором игрок должен принять решение17. Стратегия здесь просто то, как голосовать при различных парных сравнениях. Основная идея решения для такой игры — равновесие Нэша, которое является множеством п стратегий, когда у каждого игрока одна стратегия, так что ни один игрок не может увелйЧить свой выигрыш, односторонне сменив стратегию. По-другому это можно сказать так: стратегии игроков должны быть взаимными лучшими ответами. Мы также широко используем усовершенствование равновесия Нэша — понятие равновесия Нэша, совершенного на подыграх, в котором стратегии игроков должны быть лучшими взаимными ответами на каждую должную подыгру, а не только на всю игру. (Соотношение этих двух понятий обсуждается в главе V.) Тем не менее в сравнении с рассматриваемыми сейчас моделями, допущение об открытой повестке дня затрудняет более тщательное описание игры. Чтобы сделать это, нам нужно было бы точнее сформулировать, кто и какие может предлагать альтернативы и когда и как принимаются такие решения.
3.3. Соревнование партий по Даунсу и конвергенция политики Предыдущий пример исходил из прямой демократии, институционального устройства, в котором индивиды прямо голосуют по поводу политических мер. На практике большинство демократических обществ приближается к модели представительной демократии, где индивиды голосуют на выборах за партии, и победитель на выборах затем осуществляет меры государственной политики. Что значит ТМИ для партийных платформ?
Чтобы ответить на этот вопрос, представим себе общество с двумя партиями, конкурирующими на выборах, предлагая политические меры в одной плоскости. Индивиды голосуют за партии, и мера, предложенная победившей партией, воплощается в жизнь. Эти две партии заботятся только о том, чтобы прийти к власти. В сущности, такова модель, рассмотренная в основополагающем исследовании Даунса [Downs, 1957], хотя его аргументация была в значительной степени предвосхищена Хоутллингом [Hotelling, 1929].
Как проголосуют избиратели? Они ожидают, что при приходе к власти любой из партий будет реализована предлагаемая ей политика. Таким образом, представим ситуацию, в которой две партии, А и В, предлагают две альтернативные политические меры (например, ставки налога) — Q и Q — в том смысле, что они дали убедительное обязательство относительно реализации ставок налога qA и qB, соответственно. Пусть Р (qA, qB) будет вероятность того, что партия А завоевывает власть, когда партии предлагают политическую платформу (qA, qB). Вероятность победы партии В, естественно, 1 - Р (qA, qB). Теперь мы можем ввести простую объективную функцию для партий: каждая партия получает ренту или выгоду R > 0, когда она приходит к власти, и 0 в противном случае. Ни одна из партий не заботится о чем-либо еще. Более формально можно сказать, что партии выбирают политические платформы, для того чтобы решить следующую пару проблем максимизации:
партия A: maxP(qA,qB)R; (IV.1)
партия В: max(l-P(qA,qB))R.
Если большинство населения предпочитает qA в сравнении с qB, то они проголосуют за партию А и мы получим Р (qA, qB) = 1. Если они предпочитают qB в сравнении с qA, то изберут партию В и мы получим P(qA, qB) = 0. И наконец, если одно и то же число избирателей предпочитает одну меру другой, можно думать, что будет избрана одна из этих партий с вероятностью 1/2, так что P(qA,qB) = ll2 (хотя точное значение Р (qA, qB) в этом случае неважно для предсказываемых моделью результатов).
Поскольку предпочтения однопиковы, из теоремы IV. 1 мы знаем, что выбор избирателей ставки налога qA или qB зависит от предпочтений медианного избирателя. Говоря более конкретно: пусть медианный избиратель снова будет обозначен буквой М. Тогда из теоремы IV. 1 немедленно вытекает, что, если VM(qA) > VM(qB), мы получим большинство в пользу партии А, а не В. Противоположный исход имеет место, когда VM(qA) < VM{qB). Наконец, если VM(qA) = VM(qB), одна из партий придет к власти с вероятностью 1/2. Таким образом, мы имеем
(IV.2)
p(qA, qB)='
1, если Vм (qA)> VM(qB) если VM(qA) = VM(qB) О, если VM(qA)
Разработанную нами модель можно проанализировать как игру более явным образом, чем модель прямой демократии в предыдущем разделе. Эта игра состоит из следующих трех стадий.
1. Две политические партии, не сотрудничая, избирают свои платформы (qA, qB).
2. Индивиды голосуют за ту партию, которую предпочитают.
3. Любая из этих партий, победив на выборах, приходит к власти и реализует ту меру, которую она обещала на первой стадии.
В этой игре п + 2 игрока: п граждан с функциями выигрыша V’(q) и две политические партии с функциями выигрыша, данными в (IV1). Индивидуальные избиратели не предлагают политические платформы, зто делают только партии одновременно на первой стадии игры. Партии должны выбрать действие q е Q для j = А,В, и граждане опять-таки должны голосовать. Таким образом, в этой модели равновесие Нэша, совершенное на подыграх, было бы множеством п + 2 стратегий, по одной для каждой из политических партий и по одной для каждого из п избирателей, что определило бы, какие политические меры предложили партии и как проголосовали бы избиратели. Если такое множество стратегий составило бы равновесие, то ни одна из партий и никто из избирателей не мог бы улучшить свой выигрыш, изменив стратегию (например, предложив иную меру — для партий или проголосовав по другому — для избирателей).
Однако в настоящей модели мы можем упростить описание равновесия Нэша, совершенного на подыграх поскольку, учитывая вектор политических мер (qA, qB) е Q х Q, избиратели просто голосуют за партию, предлагающую меру, ближайшую^ их идеальной точке, и поскольку предпочтения однопиковы, то из ТМИ следует, что победитель на таких выборах определяется (IV.2). Поэтому единственное интересное стратегическое взаимодействие осуществляется между партиями. Более формальным образом игру можно решить обратной индукцией. Чтобы осуществить это, мы начинаем с конца игры и идем назад. Партии привержены платформам, так что, какая бы партия ни победила, она осуществляет ту меру, которую предлагала на выборах. Тогда (IV.2) определяет, какая партия победит, и, учитывая это на начальной стадии игры, партии избирают меры для того, чтобы максимизировать свой выигрыш (IV. 1).
Из этого следует, что равновесие Нэша, совершенное на подыграх, сводится к паре мер (qA,q*B), таких что q*A максимизирует P{qA,qB)R, принимая как данность равновесный выбор партии В, и одновременно q*B максимизирует (l -P{q\, qBj)R, принимая как данность равновесный выбор партии А. В этом случае ни одна из партий не может улучшить свой выигрыш, избирая альтернативную стратегию (или, на языке теории игр, «отклоняясь от стратегии»).
Формальным образом, следующая теорема характеризует уникальное равновесие Нэша, совершенное на подыграх в этой игре.
Теорема IV.2 (Теорема Даунса о конвергенции политики). Рассмотрим вектор выбора мер государственной политики (qA, qB) е Q х Q, где Q с R, и две партии А и В, которые заботятся только о приходе к власти и могут связать себя политическими платформами. Пусть М будет медианным избирателем с идеальной точкой qM. Если все индивиды имеют однопиковые предпочтения относительно Q, то в равновесии Нэша, совершенном на подыграх, обе партии выберут платформы * * м
qA=(iB=q •
Иными словами, обе партии сходятся в том, чтобы предложить именно идеальную точку медианного избирателя. Чтобы увидеть, почему существует такая конвергенция политики, представим себе конфигурацию, когда обе партии предложили меры qA и qB, такие что qA