"(») > 0 так, что эти затраты строго выпуклы, т.е. они увеличиваются быстрее с повышением налоговых ставок (тем самым гарантируя, что удовлетворяется условие второго порядка задачи максимизации); и наконец, С'(0) = 0 и С'(1) = 1 так, что внутреннее решение гарантировано: первое говорит, что предельные затраты малы, когда налоговая ставка низка, и второе предполагает, что затраты быстро увеличиваются при высоких уровнях налогообложения. Вместе с допущением о выпуклости, оба они правдоподобны: они подчеркивают, что подрывающие стимулы последствия налогообложения становятся существенными, когда ставки налогов становятся очень высоки. Подумайте, к примеру, о стимулах работать и производить, когда имеется налог в 100% на заработанное вами!
Из этого следует, что ограничение государственного бюджета следующее:
| T = i ^%у' -С(т)пу =(т-С(т))у, |
|---|
(IV.4)
где используется определение среднего дохода, данное выше (IV.3). Это уравнение подчеркивает, что имеются пропорциональное налогообложение доходов и равное распределение сборов, так что более высокие налоги более редистрибутивны. Например, более высокий т увеличивает единовременный трансфер, и поскольку богатые и бедные агенты получают один и тот же трансфер, но платят налоги пропорционально своим доходам, более богатые агенты несут большее бремя налогов.
Все индивиды в этом обществе максимизируют свое потребление, равное их доходу после выплаты налогов и обозначаемое у' (т) для индивида i при уровне налогообложения т. Применяя ограничение государственного бюджета (IV.4), мы получаем, что, когда ставка налога — т, косвенная полезность индивида — i и его доход после выплаты налогов суть:
(IV.5)
= (1-т)У +Т = (1-т)У + (х-С(х))у.
Функция косвенной полезности обусловливается только одной переменной политических мер, т, потому что мы элиминйровали единовременный трансфер Г, используя (IV.4). Мы также делаем его обусловленным у', потому что в оставшейся части книги полезно сохранять этот доход явным. Таким образом, мы используем обозначение V(y' |т) вместо V'(x).
В более общем плане индивиды также осуществляют экономический выбор, зависящий от переменных мер государственной политики. В этом случае, для того чтобы сконструировать V(y‘ | т), сначала необходимо найти для индивида / оптимальные экономические решения, учитывая значения переменных мер государственной политики, и затем определить индуцированные предпочтения относительно этих мер при данных оптимально принятых решениях [Persson, Tabellini, 2000, р. 19-21].
Вывести идеальную ставку налога для каждого индивида / из этой функции косвенной полезности просто. Вспомним, что она определяется как ставка налога т', которая максимизирует V(y' |т). При допущениях, сделанных относительно С(т), V(y\\ т) строго вогнута и дважды последовательно дифференцируема. Эта ставка налога тогда может быть выведена просто из задачи неограниченной максимизации, так что нам нужно установить производную от V(y' |т) по отношению к т, равному нулю. Другими словами, т' должен удовлетворять условию первого порядка:
(IV.6)
или
у’ + (l-C'(x'))y <0 ит' =0,
что мы написали, открыто подчеркивая дополняющую нежесткость (т.е. т’ может быть в углу). В оставшейся части книги мы не будем полностью выписывать такие условия, пока это не вызывает никакой путаницы.
Допущение о том, что С"(*) > 0 обеспечивает то, что условие второго порядка для максимизации удовлетворено и что (IV.6) дает максимум. Более явным образом условие второго порядка (выводимое дифференцированием (IV.6) по отношению к т) есть —С"(т‘ )у < 0, что всегда истинно при С"(») > 0. Это условие второго порядка также предполагает, что V(y' | т) является строго вогнутой функцией, которое является достаточным условием для того, чтобы она была однопиковой.
Мы записали условие первого порядка (IV.6) в форме Куна — Такера [Blume, Simon, 1994, р. 439-441], чтобы допустить возможность того факта, что предпочитаемая агентом i ставка налога может быть равна нулю. В этом случае у нас есть угловое решение, и условие первого порядка не остается в силе как равенство. Если т1> 0, то (IV.6) говорит о том, что идеальная ставка налога избирателя i имеет то свойство, что ее предельные издержки для i равны ее предельной выгоде. Предельные издержки измеряются у, собственным доходом индивида /, потому постепенное увеличение ставки налога ведет к снижению полезности индивида I пропорционально его доходу (потреблению). В то же время выгода есть (1-С'(т'))у, что вытекает из того факта, что с большими налогами будет больше перераспределения доходов. Элемент (l-C'(T’))y есть добавочное перераспределение доходов, за вычетом затрат, порожденное небольшим увеличением ставки налога.
Из условий в (IV.6) вытекает тот интуитивно понятный результат, что богатые предпочитают более низкие налоги и меньшие перераспределения, чем бедные. Для богатого индивида соотношение у’ I у выше, чем оно было бы для бедного. Это означает: чтобы (IV.6) оставалось в силе, 1 — С"(х') должно быть выше, так что С'(т') должно быть ниже. Поскольку С'(т') есть возрастающая функция (в силу выпуклости С(»)), из этого следует, что предпочитаемая ставка налога должна быть ниже. На самом деле модель дает и более конкретное предсказание. Для лица с доходом среднего уровня (IV.6) становится 0 = - С'(т'), из чего следует, что для него т‘ = 0. Более того, для каждого индивида с доходом / > у условия Куна — Такера предполагают, что есть угловое решение. Поэтому люди с доходом выше среднего предпочитают, чтобы не было никакого перераспределения доходов вообще, в то время как люди с у'< у одобряют строго положительную ставку налога, почему мы и используем формулировку Куна — Такера.
Чтобы вывести эти сравнительные статические результаты более формальным образом, допустим, что т’ > 0, и применим теорему о неявной функции [Blume, Simon, 1994, р. 341], чтобы записать оптимальную ставку налога индивида i как функцию его собственного дохода, т(/). Это удовлетворяет (IV.6). Теорема говорит нам о том, что производ-ная неявной функции, обозначаемая х'(У), существует и выражается следующим образом:
В этой книге мы часто обращаемся к теореме о неявной функции, для того чтобы предпринимать сравнительный статический анализ изучаемых нами моделей. Мы применяем два типа сравнительной статики. Прежде всего это тип, который был только что проанализирован. Здесь мы используем условия равновесия, чтобы выразить ту или иную эндогенную переменную (например, ставку налога) как функцию различных экзогенных переменных или параметров модели, таких как масштаб неравенства. Сравнительная статика в этом случае изучает влияние изменений экзогенных переменных или параметров, таких как неравенство, на значение эндогенной переменной. (Увеличивается ли ставка налога, когда неравенство выше?) Мы часто используем ответы на такие вопросы не только для того, чтобы выводить предсказания о событиях внутри одной страны, если неравенство увеличится, но и делать межстрановые сравнения: будет ли страна с более высоким неравенством иметь более высокий уровень налогов, чем страна с меньшим неравенством?
Мы также осуществляем и другой вид сравнительной статики. В моделях теории игр различные виды поведения могут находиться в равновесии при различных обстоятельствах. Например, в повторяющейся дилемме заключенных сотрудничество может всегда оставаться равновесием, если игроки достаточно ценят будущее. Мы выводим условия, при которых конкретные виды поведения — например, создание демократии — будут равновесными. Затем мы осуществляем сравнительную статику этих условий для изучения того, какие факторы делают создание демократии более или менее вероятным. Когда это делается, мы, однако, не исследуем прямо, как изменение экзогенной переменной меняет (плавно) равновесное значение эндогенной переменной. Мы скорее изучаем то, как изменения экзогенных переменных влияют на «размеры пространства параметров» создания демократии. В сущности демократия может быть создана только при определенных обстоятельствах, и мы хотим знать, что делает такие обстоятельства более вероятными.
Теперь можно представить себе игру, равновесие (Нэша) в которой определит уровень перераспределительного налогообложения. Мы можем сделать это в контексте либо прямой демократии, либо представительной демократии, но наиболее интуитивно понятный подход тот, который мы разрабатывали, постепенно подводя к теореме IV.2. Этот результат предполагает, что равновесием в игре для обеих политических партий было бы предложить идеальную точку медианного избирателя, которая устанавливала бы уровень налогов, избранный в демократии. Модель делает это предсказание, невзирая на наличие политического конфликта. Бедные предпочли бы высокие налоги и существенное перераспределение; богатые, люди с доходом, выше среднего, являются противниками любого перераспределения. Как можно агрегировать эти конфликтующие предпочтения? ТМИ говорит о том, что результатом является уровень налогов, предпочитаемый медианным избирателем и при большинстве распределений доходов доход медианного индивида
меньше среднего дохода (т.е. ум<у). В этом случае медианный изби-
- м
ратель предпочитает строго положительный уровень налогов т , что удовлетворяет условию первого порядка:
Vм
^ = 1-С'(тм).
У
Сравнительная статика этого условия следует из обсуждения уравнения (IV.6). Если у" уменьшается относительно у, то медианный избиратель, становящийся беднее по отношению к среднему, предпочитает более высокий уровень налогов и большее перераспределение.
4.2. Двухгрупповая модель перераспределительной политики Хотя многие из результатов в этой книге вытекают из предыдущей модели, в которой доходы каждого индивида различны, полезна более простая модель, в которой есть всего два уровня доходов. Рассмотрим поэтому общество, состоящее из двух типов индивидов: богатых, с фиксированным доходом у