N в силу того факта, что |iL = 1. Следовательно, при «низком» состоянии, (Is = |lL, элиты не страдают от революции; предвидя это, они не делают уступок и просто устанавливают наиболее предпочтительную для них ставку налога, xN = Хг = 0 (или, используя наши обозначения, TN(|iL) = тг).
Напротив, в состоянии высокой угрозы, S = Н, ограничение революцией может связывать. Как и ранее, мы говорим, что ограничение революцией связывает действия элит, если VP{R, |!н) >VP(N), т.е. если граждане получают от революции больше, чем получили бы, если бы элиты установили наиболее предпочитаемую ими ставку налога в не-демократии. Применяя (IV.7) и (V.12), получаем, что это ограничение революцией снова равно (V.4). Если такое ограничение революцией не связывает, то даже в «высоком» состоянии элиты действуют без принуждения и опять же устанавливают наиболее предпочитаемую ими ставку налога. Предположим все же, что революционное ограничение связывает (т.е. 0 > |i). Что происходит тогда?
Элиты хотели бы предотвратить революцию, если это вообще возможно. Смогут ли они это сделать, зависит от того, сколько они могут пообещать гражданам. Ясно, что наиболее благоприятная ставка налога, которую они могут предложить гражданам, есть xN = Хр, как это дано в (IV.il). Однако это не так хорошо, как наверняка предложить хр, из-за проблемы обязательств. Смогут ли элиты предотвратить революцию, зависит от того, является ли VP(N,XN=XP) большим, чем VP(R, |!н). Подробнее, ключевое условие выражается или как
Ур + р{*Р(у ~УР)~С(хр)у) >
вспомнив, что (1н принимает точное значение ц, или как
ц > 0 - р(хр (0 - 8) - Ц - 8)С(тр)). (V. 14)
Если неравенство ограничено (т.е. 0 относительно низко) или если есть высокая вероятность того, что обещание, данное элитами, будет сдержано (т.е. р относительно высоко), то жизнь в недемократии не так уж плоха для граждан, и условие (V.14) будет оставаться в силе, а революции можно избежать.
Чтобы проанализировать эту модель, определим критическое значение цены революции (!* такое, что (V. 14) является равенством:
|!* = 0-p(xp(0-S)-(l-S)C(xp)). (V.15)
Тогда, когда |! >|i\ мы имеем VP(N, xN = xp)>Vp(R, |!н) или, иными словами, (V.14) будет иметь силу. Тогда мы можем определить некое т < тр, при этом будет следующее равенство — Vр (N, xN = х) = Vp (R, |iH), которое означает, что элиты могут предотвратить революцию установлением (т.е. обещанием) этой ставки налога. Поэтому f удовлетворяет
|! = 0-р(т(0-8)-(1-8)С(т)). (V.16)
Как и ранее, аг и ор у нас относятся к общему вектору действий. Здесь, Gr ={xN(#), tN} и op = {p(v). Стратегии также обусловлены тем, имеется ли состояние высокой или низкой угрозы. Таким образом, стратегия элит есть функция xN : {|iL, |!н} —> [0,1] (мы используем обозначение {(1L, |1Н} вместо {1, |i] для ясности), и стратегия для граждан есть функция p:{|iL,|iH}x[0,l]—>{0,1}. Здесь, xN(|is) — решение элит о налогообложении, когда состояние угрозы есть (Is, и p(|is,xN) — решение граждан относительно революции, когда состояние угрозы есть (Is, и элиты избрали ставку налога x;V. В этой игре элиты могут играть дважды. Если нет революции и природа выбирает V = 1, то элиты начинают менять ставку налога. Однако поскольку при V =Х) элиты не начинают играть снова, мы представляем это в ог выбором XN е [0,1], а не функцией V. Далее равновесие, совершенное на подыграх, есть такая комбинация стратегий — {ог,ор}, что др и ог являются лучшими ответами друг на друга во всех соответствующих подыграх.
Когда 0 < (I, следующий профиль стратегии является единственным равновесием: для элит— xN(|Is) = 0, xN =0; для граждан— p(|is,TN) = 0 для всех (Is. Здесь ограничение революцией не связывает действия элит ни в одном из состояний угроз, элитам никогда не приходится делать никаких уступок, и граждане никогда не находят оптимальным предпринять революцию.
Когда 0 > |! и |! < (I*, следующий профиль стратегии является единственным равновесием для элит — xN (|iL ) = 0 и XN = 0, и для граждан — p(pL,xN) = 0 и p(pH,xN) = l для всех хы. Здесь революция достаточно привлекательна, причем настолько, что уступки не сработают. Словами это можно выразить так: стратегия элит такова, что при состоянии р1, они не предпринимают какого-либо перераспределения (xN =0), а стратегия граждан предполагает, что они не предпринимают революции при р1, какой бы ни была установлена ставка налога (р = 0). Если состояние — рн, то не имеет значения, какую ставку налога устанавливают элиты, потому что в этом случае граждане устраивают революцию, (р = 1) какой бы она ни была. Чтобы видеть, что эти стратегии составляют равновесие, обратите внимание, что ни элиты, ни граждане не могут изменить свою стратегию и увеличить свой выигрыш. Например, так как граждане играют p(pL,xN) = 0, то элиты не могут увеличить свой выигрыш, установив любую ставку налога, отличающуюся от нуля, так что xN(|li) = тг = 0 есть лучший ответ. Аналогичным образом при pL = 1 граждане не могут увеличить свой выигрыш, устроив революцию.
Когда 0 >р и р >р\ следующий профиль стратегий составляет единственное равновесие Нэша, совершенное на подыграх: TN(pL) = 0, xN(pH) = х.где хе[0, хр] определяется тем, что VP(N, xN = х) = -VP(R,рн) и XN=0, и для граждан p(p\xN) = 0 и p(pH,xN) = 0 для Хы> X. Так же как р(рн, XN) = 1 для xN< х вне пути равновесия.
Теперь у нас есть следующая теорема, резюмирующая равновесие этой игры.
Теорема V.3. Имеется единственное равновесие, совершенное на подыграх {6Г,0Р} в игре, изображенной на рис. V.3. Пусть р* и х будут заданы условиями (V.15) и (V.16); тогда настоящее равновесие выглядит так:
• Если 0 < р, то xN (р) = 0, XN = 0, и р(р, xN) = 0 для всех xN и р.
• Если 0 > р, то:
1. Если р <р*, xN(p£) = 0, хы = 0, и p(pi,xN) = 0, но р(рн, xN) = 1 для всех xN.
2. Если р>р*, x‘v(pi) = 0, xN(pH) = i XN = 0, и p(pL,xN) = 0, p(pH,xN) = 0 для xN>х и, вне пути равновесия p(pH,xN) = l для xN< х.
Эта теорема дает полное описание стратегий равновесия, включая действия вне пути равновесия. Во избежание неуклюжих фомулировок теорем, можно записать теорему V.3 в альтернативной, более интуитивно понятной форме, что полезно для последующего изложения. Записывая ее так, мы абстрагируемся от действий вне пути равновесия.
Теорема V.3 (альтернативная форма). Имеется единственное равновесие, совершенное на подыграх {аг, др} в игре, изображенной на рис. V.3. Пусть р* и t будут заданы условиями (V.15)u (V.16); тогда равновесие выглядит так:
• Если 0<|i, то ограничение революцией не связывает, элиты никогда не перераспределяют и граждане никогда не предпринимают революции.
• Если 0>ц, то революционное ограничение связывает в «высоком состоянии». В этом случае:
1. Если ц<|Т, обещания элит недостаточно убедительны для того, чтобы избежать революции. В «низком состоянии» элиты не перераспределяют и революции нет, но в «высоком состоянии» революция происходит, какую бы ставку налога ни установили элиты.
2. Если ц > jo*, элиты не перераспределяют в низком состоянии, а в состоянии высокой угрозы устанавливают ставку налога х, как раз достаточную для того, чтобы остановить революцию. Граждане никогда не восстают.
Самый важный результат нашего анализа состоит в следующем: когда обещание элит перераспределять является только несовершенно правдоподобным, (т.е. р мало), в необычные периоды, когда гражданами решена проблема коллективного действия, будет равновесная революция. Низкое р означает, что обещания, сделанные элитами, не очень правдоподобны, потому что имеется малая вероятность, что они будут их придерживаться; с относительно большой вероятностью элиты будут изменять налог после исчезновения угрозы революции. Следовательно, это тот случай, когда (поскольку элиты обладают политической властью де-юре) их обещания перераспределения в будущем не убедительны. Формально, ц* есть уменьшающаяся функция р. Чем больше р, чем более правдоподобно обещание элит пойти на уступки, тем ниже должна быть цена революции, чтобы она стала привлекательной для граждан.
Также обратим внимание, что ц* возрастает вместе с возрастанием 0. Чтобы убедиться в этом, снова применим имплицитную функцию теоремы и дифференцируем (V.15) по отношению к 0:-
^ = l-px-p((9-8)-(,-8)CW)^>0.
Чтобы понять, почему это выражение положительно, сначала отметим, что по условию первого порядка, которое определяет тр, (IV.11), мы имеем, что (1-8)С