Экономические истоки диктатуры и демократии (Экономическая теория). 2015 — страница 46 из 107

^f и о' — лучшие ответы друг на друга для всех д. Совершенные равновесия по Маркову представляют собой подмножество совершенных на подыграх равновесий, потому что они исключают любые совершенные на подыграх равновесия, содержащие немарковские стратегии.

Преимущество идеи марковского совершенного равновесия в том, что оно включает проблему обязательства простым образом: учитывая состояние системы (здесь значение ц₍), каждая сторона разыгрывает наилучшую стратегию для себя, независимо от любых обещаний, сде-ланых ранее, или того, как игра разыгрывалась в прошлом. Поэтому в данное понятие равновесия уже встроена проблема обязательств: все игроки знают, что каждый будет разыгрывать все, что в его интересах в будущем. Другая удобная вещь в этом равновесии — то, что оно легко поддается анализу с помощью уравнений Веллмана (т.е. простых динамических программируемых аргументов; хорошие введения в динамическое программирование и его применение в экономической науке см.: [Sargent, 1987; Stokey et al., 1989]).

Начнем с выигрышей, когда есть революция. Мы определяем V^P(R, |i^s) как поступления бедным гражданам, если есть революция, начинающаяся в состоянии угрозы, p^s е {ц, 1}. Вспомним, что во время революции важно только значение |i^s; после этого доля p^s производственных мощностей экономики уничтожена навсегда. Из этого следует, что цена революции, начинающейся в состоянии цА исчисляется как:

V^P(R, p^s) = ~^²⁴ + р⁽¹ ^²⁴- + р^{2 (1}- - ^

1-0 1-0 1-0

+ •

(V.19)

что соединяет все будущие доходы, принимая во внимание, что будущее дисконтируется с фактором дисконтирования р < 1. Мы получаем, что

(1-д⁵)у (1-SX1-P)'

Чтобы четко видеть это, можно записать (V.19) как:

V^p(R,ii^s)=^{±_T^^y +$

1 — о

1-5

1-5

и затем заметить, что член в квадратных скобках в правой стороне этого выражения есть не что иное, как само V^P(R, ц⁵). Таким образом, (V.19) можно записать как произошла, мы заглядываем в будущее, чтобы суммировать блага революции для граждан. Выражение (V.20) утверждает, что взгляд в бесконечное будущее с позиций завтрашнего дня выглядит идентично взгляду в бесконечное будущее с позиций сегодняшнего дня.

Также, поскольку богатые элиты теряют все, V^r (i?, (X^s) — 0. Далее вспомним, что мы исходили из того, что p^L = 1; граждане никогда не делают попытку революции: когда р₍ = p^L. Следовательно, единственной релевантной ценностью будет та, что начинается в состоянии р^н = р:

V^P(R, р^н) =

(1~Д)У

(1-5Х1-Р)

(V.21)

Далее давайте перейдем к решению элит. Сначала рассмотрим состояние р₍ = p^L, где нет угрозы революции, и попытаемся вычислить выгоды для элит и для граждан в этом состоянии, обозначаемом V^r(N, p^L) и V^P(N, p^L). Мы сохраняем Н и Lb верхнем индексе после р в функциях ценности для облегчения изложения. Понятие марковского совершенного равновесия предполагает, что, независимо от обещаний, сделанных в прошлом, в этом состоянии элиты избирают любую политику, которая лучше всего служит их интересам в данный момент. Поскольку отсутствует угроза революции, этой политикой будет установить x^N = т^г и не заниматься никаким перераспределением. Однако состояние р₍ = р^ в недемократии не является постоянным. В следующий период оно может измениться на р, = р^н, ив этом случае элитам, возможно, придется заняться перераспределением, а иначе «может случиться революция».

Обозначим ценности для элит и для граждан в состоянии р₍ = р^н как V^r(N, р^н) и V^P(N, р^н). Это предполагает, что соответствующие уравнения Веллмана, определяющие ценности V^r(N,[l^L) и V^p(N, p^L), могут быть записаны как:

(V.22)

V^r(N, р^L) = /+$[qV^r(N, р^н) + (1 -q)V^r(N, р¹)], V^p(N,yi^L) = y^p +$\qV^p(N, р^н) + (1 -q)V^p(N, p^L)'.

Эти функции ценности имеют форму, постоянно появляющуюся в динамическом анализе в этой книге, так что важно понять ход рассуждений, лежащий в их основе. Для большей конкретности мы сосредоточим внимание на элитах.

Функции ценности в (V.22) говорят о том, что ценность для члена элиты в недемократии и в состоянии р₍ = p^L состоит из двух элементов: (1) что происходит сегодня, первый член, у^г; и (2) что ожидается завтра, или ценность продолжения, представленная вторым членом, $[qV^r(N, р^н) + (1 -q)V^r(N, p^L)]. Сегодня, учитывая решение x^N=x^r, нет перераспределения, и член элиты получает у^г, что является первым

членом. Второй член умножается на (В, поскольку начинается завтра и, следовательно, дисконтируется по отношению к сегодня с фактором дисконтирования (В. Завтра происходит новая жеребьевка на основе распределения р. и с вероятностью 1 - q возвращается состояние р/, так что мы получаем р₍₊₁ = ji^L. В этом случае из точно такого же хода рассуждений, как сегодня, следует, что ценность для какого-либо агента из элиты с этого момента и далее выражается V^r(N, р/); следовательно, этот член умножается на 1 - q и включается как часть будущей ценности. Ценность V^r(N, р⁷) повторяется,

, потому что мир, когда мы заглядываем вперед в бесконечное будущее из состояния р₍ = p^L, выглядит идентично миру, когда мы заглядываем вперед в бесконечное будущее из состояния р₍₊₁ = p^L (вспомним уравнение (V.20)). С остающейся вероятностью q происходит изменение в состоянии, и мы получаем р₍₊₁ = р^н; в этом случае, мы получаем иную ценность для члена элиты завтра, обозначаемую V^r(N, р^н).

Та же самая аргументация применима и для граждан и дает соответствующее выражение для V^P(N, р/), опять же состоящее из двух элементов: то, что они получают сегодня, у^р, и то, что они получат завтра, $[qV^p(N, р^н) + (1 -q)V^p(N, р*)].

Приятной особенностью функций ценности в (V22) является их «рекурсивная» структура. По существу, будущее во многом похоже на настоящее, так что та же ценность, что сегодня имеет место в состоянии р⁷, будет и завтра, если состояние окажется р⁷.

Естественно, уравнения V.22 недостаточно для характеристики равновесия, поскольку мы не знаем, что происходит в состоянии р₍ =р^н, или, иными словами, мы не знаем, что есть V^r(N, р^н) и, аналогично, что есть V^P(N, р^н). В этом состоянии может быть эффективная угроза революции. Так что мы должны сначала проверить, связывает ли ограничение революцией действия элит. Чтобы это сделать, мы определяем V^r(N) и V^P(N) как выигрыши, которые будут иметь место, если общество остается недемократическим все время (т.е. революции нет) и элиты никогда не перераспределяют блага в пользу граждан (т.е. x^N = т^г). Очевидно, что мы получаем:

V"(N) = /+p/+pV + -=^-,

потому что элиты всегда получают доход у^г, так как отсутствует налогообложение, и этот будущий поток доходов дисконтируется к настоящему с фактором дисконтирования р. Аналогичным образом:

^(V23)

Мы говорим, что ограничение революцией связывает, если бедные граждане предпочитают революцию в состоянии u_t = при недемо-кратии без всякого перераспределения, т.е. если

V4R,yi^H)>V4Ni

где V^P(R, |i^H) задано (V.21). Используя определения из (IV.7), ограничение революцией эквивалентно

0 > Ц. (V.24)

Другими словами, неравенство должно быть достаточно высоким (или 0 достаточно высоким), для того чтобы ограничение революцией связывало. Если неравенство не настолько высоко, так что 0 < р, угрозы революции нет даже в состоянии ji₍ = ji'^f, без какого-либо перераспределения когда-либо. В этом случае элиты всегда устанавливают свою ничем не ограниченную лучшую ставку налога, x^N = т^г, и революции на пути равновесия нет.

Полезно вспомнить анализ нашей «статической» модели в предыдущем разделе. Формула ограничения революцией в динамической модели (V.24) идентична таковой в статической модели (V.4). В обоих случаях они просто увязывают неравенство с ценой организации революции. Это основа параллели, которую мы проводим между статической и динамической моделями.

Более интересен тот случай, когда ограничение революцией (V.24) связывает действия элит.

Если в этом случае элиты устанавливают x^N = Х^г в состоянии угрозы р₍=|1^н, то будет революция. Так что элиты делают некоторые уступки, устанавливая ставку налогов |i^N = т > 0. Мы обозначаем ценности для элит и для граждан в состоянии = р^н, когда элиты устанавливают ставку налога т и ожидается, что они будут делать так же и в будущем, и здесь не будет революции, поскольку V^r(N, |i^H, x^N = т) и V^р (N, |1^Н, х^н - X). При этой ставке налога, агент типа i имеет чистый доход (1 —т)у, вдобавок к этому он получает единовременный трансфер Т. Из ограничения государственного бюджета этот единовременный трансфер есть Т = (