ы, падая на землю, будут постепенно ускорять свое движение, причем одинаково — каждую секунду их скорость будет увеличиваться на 9,8 м/с. Одинаковое ускорение всех падающих предметов может быть подтверждено в любых других подобных экспериментах, и именно такую одинаковость, разумеется, после того, как она замечена и точно описана, можно называть законом природы.
Закон Ома не относится к числу фундаментальных законов природы. Он рассказывает о довольно узком круге явлений в достаточно скромной системе — в электрической цепи. Рассказывает о том, как электрический ток в этой цепи зависит от действия генератора (э.д.с.) и от свойств самой цепи (сопротивление). Зависимости эти, утверждает закон Ома, очень просты: ток прямо пропорционален электродвижущей силе генератора и обратно пропорционален сопротивлению цепи (Р-16).
Р-16
То, что ток должен возрастать с увеличением э.д.с., в принципе понятно, и то, что он должен уменьшаться с ростом сопротивления, тоже не вызывает сомнений. Но заметьте, закон Ома не просто устанавливает характер зависимости, ее качественную сторону, не просто утверждает, что с ростом э.д.с. ток растет, а с ростом сопротивления уменьшается. Немецкий физик Георг Ом полтора столетия назад подметил и описал точную количественную связь между э.д.с., током и сопротивлением. Он подметил, что во сколько раз возрастает э.д.с., во столько же раз возрастает ток; во сколько раз возрастает сопротивление, во столько же раз ток уменьшается. Никаких общих соображений, точно и определенно — «во сколько раз… во столько же раз…». В этой точной количественной связи — главный смысл закона Ома и его важное практическое значение.
Т-32. Формулы — короткий и удобный способ записи влияния одних величин на другие. Все, о чем говорит закон Ома, можно записать в виде короткого алгебраического выражения, так называемой формулы. Для этого прежде всего введем условные обозначения — э.д.с. обозначим буквой Е, ток — буквой I и сопротивление буквой R. Краткая алгебраическая запись, формула закона Ома, приведена на рисунке Р-16;4.
Р-16;4
Из формулы видно, что ток I зависит от двух величин: от электродвижущей силы Е и сопротивления R. В этой зависимости Е находится в числителе дроби, и, значит, с увеличением Е ток I возрастает. Так записывается прямая зависимость тока I от э.д.с. Е. Величина R стоит в знаменателе, а значит, с увеличением R ток I уменьшается.
Как видите, зависимость, для записи которой словами понадобилась чуть ли не сотня букв, на языке математики записана всего тремя буквами.
Формула не только очень короткий, лаконичный способ записи различных зависимостей, но еще и удобный способ. Удобство его, во-первых, состоит в том, что, одним взглядом окинув формулу, часто можно сразу же почувствовать, какая величина от какой зависит. И как зависит. Если какая-либо величина в числителе, она работает на увеличение результата (как Е в формуле закона Ома), если в знаменателе, работает на уменьшение (как R в этой же формуле). Извинившись перед читателями, хорошо знающими алгебру, мы сейчас напомним некоторые типичные зависимости одних величин от других. Это микроотступление в математику очень пригодится нам в дальнейшем.
На рисунке Р-17 приведено несколько возможных зависимостей между тремя величинами, обозначенными буквами A, В и С.
Р-17
Зависимость 1 —точная копия закона Ома: А возрастает с увеличением В и падает с увеличением С. В зависимости 2 все наоборот: величина С уже старается увеличить величину А, а величина В старается ее уменьшить. Зависимость 3 говорит о том, что А совершенно одинаково зависит от В и С, причем с увеличением любой из них А тоже увеличивается. В зависимости 4 обе величины В и С тоже одинаково влияют на А, но, в отличие от предыдущего примера, обе они стоят в знаменателе, и поэтому с ростом В и С величина А уменьшается.
В формуле 5 величина А равна сумме В и С; увеличьте любую из них, и А возрастет, правда, не так резко, как в зависимости 3.
А вот в зависимость 6 величина С входит со знаком «минус», и чем она больше по абсолютной величине, тем меньше А.
Во все предыдущие формулы В и С входили в первой степени, в следующую формулу 7 одна из них входит во второй степени, в квадрате. Это значит, что А особо сильно зависит от В: увеличьте В в 2 раза, и А увеличится в 4 раза, увеличьте в в 10 раз, и А возрастет в 100 раз.
Зависимость 8 уже не квадратичная, а кубическая: В входит в нее в третьей степени и еще сильнее влияет на А: если В возрастает в 2 раза, то А увеличивается в 8 раз, если В растет в 10 раз, то А — в 1000 раз.
Зависимость 9 тоже квадратичная, но В находится в знаменателе и со всей своей силой старается уменьшить А.
В формуле 10 влияние величины, попавшей под знак корня, резко уменьшается: величина В влияет на А значительно слабее, чем в формуле 3: если увеличить В в 4 раза, то в зависимости 3 величина А возрастет в те же 4 раза, в зависимости 10 — всего в 2 раза.
Мы лишь несколькими словами коснулись нескольких простейших математических зависимостей. Но даже наши простейшие примеры демонстрируют одно из удобств математического языка, показывают, как много важной информации можно легко и быстро извлечь из записей, сделанных в виде формул.
Другое удобство математического языка заключается в том, что, используя известные способы преобразования алгебраических выражений, можно из одной зависимости получить другую, в каком-то отношении более удобную. Причем делается это быстро и, можно сказать, просто, механически, без рассуждений о том, какие конкретные величины обозначены той или иной буквой. И во всех случаях, если делать преобразования правильно и исходная формула верна, новая формула тоже будет правильной.
Разные способы преобразования математических зависимостей глубоко и в большом объеме в течение нескольких лет изучаются в школе, в курсе алгебры. Мы же приведем одно простое правило, которое в некоторых случаях может оказаться полезным для того, чтобы преобразовать какую-нибудь формулу и получить из нее другую, более удобную. Правило это можно изложить так: «Если из формулы, которая показывает, как величина а зависит от величины b, с, d, е и так далее, вам нужно получить другую формулу, которая показывала бы, как от всех этих величин зависит, например, величина Ь, то нужно одновременно с обеими частями формулы производить любые полезные, по вашему мнению, операции до тех пор, пока величина b не будет отделена от всех других величин и не останется в одиночестве». Слова «одновременно с обеими частями формулы» выделены потому, что это важнейшее условие, нарушение которого может привести к совершенно неверному результату.
Т-33. Из закона Ома можно получить две удобные расчетные формулы: для вычисления э.д.с. и сопротивления цепи. На Р-17;11 приведены примеры применения нашего «самодельного» правила для преобразования формул. Пользуясь этим же правилом, можно из формулы закона Ома (Р-16. Р-17;12) получить две новые формулы (Р-17;13 и Р-17;14). Первая получается, если в формуле закона Ома обе части умножить на R, вторая— если обе части одновременно умножить на R и разделить на I. Обе эти формулы получены нами с помощью математических фокусов и физического смысла не имеют, их нельзя читать так, как первую, основную формулу закона Ома: «Ток в цепи зависит от…» и так далее. Действительно, было смешно прочитать вторую формулу так: «Электродвижущая сила зависит от сопротивления цепи…» Электродвижущая сила — это есть характеристика генератора, и от сопротивления цепи она никак не зависит. Но несмотря на все это, полученные нами из закона Ома две новые формулы очень полезны. Это расчетные формулы, которые позволяют при необходимости подсчитать неизвестную э.д.с. Е по известным I и R или подсчитать неизвестное сопротивление R по известным Е и I.
Т-34. Принципиальная схема — чертеж, на котором условными обозначениями показаны элементы электрической цепи и их соединения. До сих пор мы считали, что электрическая цепь состоит всего из двух элементов — из генератора и нагрузки. Но чаще всего такого не бывает. Хотя бы потому, что нагрузка несколько удалена от генератора и в цепи появляется еще один элемент — соединительные провода. По этим проводам электроны идут на работу и с работы (Р-18) и, естественно, теряют в проводах некоторую часть своей энергии. Иными словами, соединительные провода обладают некоторым сопротивлением, которое входит в общее сопротивление цепи и которое иногда необходимо учитывать.
Р-18
Кроме того, некоторым сопротивлением обладает и сам генератор: внутри генератора, между его электродами, тоже идет ток, тоже движутся заряды. Они, как обычно, сталкиваются с атомами среды и, как обычно, теряют какую-то часть энергии. Так что если рисовать полную схему даже самой простой цепи, то в нее нужно включить несколько новых элементов, в которых отражалось бы сопротивление проводов и внутреннее сопротивление генератора.
Можно нарисовать упрощенный чертеж электрической цепи, не вдаваясь в то, как устроен тот или иной элемент, а лишь показав условными знаками, что есть в цепи такие-то элементы и соединены они таким-то образом. Такой чертеж называется принципиальной схемой. Условные обозначения, принятые при составлении принципиальных схем, показаны на К-3 и К-4. Элемент, обладающий электрическим сопротивлением, независимо от того, что это за элемент (лампочка, электроплитка, кусок провода), в некоторых случаях на принципиальной схеме изображают в виде небольшого прямоугол