й.
Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины l, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей? (Рис. 2.)
Рис. 2
В некоторых частных случаях задача Дидоны имеет простое решение. Например, если береговая линия есть прямая и ограничиваемый участок прямоугольной формы (рис. 3), то наибольшую площадь будет иметь прямоугольник с длинами сторон l/4 и l/2, примыкающий большей стороной к береговой линии. Решать задачу можно, используя, например, свойства квадратного трехчлена.
Рис. 3
В общем случае, когда береговая линия – кривая Г – произвольной формы, задача Дидоны очень сложна и решается с привлечением понятий и методов математического анализа (см. Дифференциальное исчисление). Решение ее относится к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению.
Заметим, что в математическом анализе разработаны очень сильные общие способы решения задач на экстремум (нахождение экстремумов функций). Геометрические задачи на экстремум могут быть сведены к алгебраическим и также решены методами математического анализа. Однако иногда эти задачи удается решить элементарными методами, при этом решения бывают весьма изящны и поучительны.
Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремум является применение неравенств, в частности неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (см. Средние значения). Для примера рассмотрим такую задачу: каких размеров должен быть ящик (прямоугольный параллелепипед), чтобы при заданной площади поверхности его объем был наибольшим? Пусть a,b,c - длины трех ребер (рис. 4), S - площадь полной поверхности, V - объем. Очевидно, что S = 2(ab+bc+ac), а V = abc. Если заметить, что сумма трех величин ab,bc,ac равна S/2, а их произведение равно V2, и применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, то будем иметь:
, т.е.
V2/3≤ S/6 или V ≤ (S/6)3/2.
Рис. 4
Как следует из теоремы о среднем, знак равенства достигается лишь в случае ab = bc = ac, т. е. при a = b = c, и при этом значение объема V принимает наибольшее возможное значение. Отсюда заключаем, что среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы.
Назовем еще метод симметрии, эффективный при решении некоторых геометрических задач на экстремум. Суть его применения станет ясна, если мы рассмотрим такую простую задачу: на прямой a требуется найти такую точку M, чтобы сумма расстояний от нее до точек A и B, лежащих по одну сторону от прямой, имела наименьшее возможное значение (рис. 5).
Рис. 5
Пусть точка A' симметрична точке A относительно прямой a, а точка M - точка пересечения прямых A'B и a. Точка M и будет искомой. Действительно,
|AM| + |MB| = |A'M| + |MB| = |A'B|.
Для любой другой точки P прямой a справедливо неравенство:
|AP|+|PB|=|A'P|+|PB|>|A'B|
(последнее следует из того, что ломаная длиннее отрезка, соединяющего ее концы).
Решение этой задачи приписывают Герону Александрийскому, жившему в I в. Решал он, правда, физическую задачу: если в точке A находится источник света, а в точке B - глаз, то в какой точке M отразится от плоского зеркала выходящий из точки A световой луч, если известно, что угол падения равен углу отражения? (Последний факт был известен задолго до Герона Александрийского).
Как легко заметить, построенная выше точка M как раз такова, что угол между прямыми AM и a равен углу между прямыми MB и a, т.е. точка M и будет точкой отражения светового луча.
Из решения этой задачи Герон сделал такой вывод: отражаемый луч света выбирает кратчайший возможный путь между источником света и глазом. Заметим, что это один из первых примеров в истории науки, когда при описании физического явления использовался «принцип минимума», согласно которому природа всегда стремится избрать наиболее экономный способ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
Построения с помощью циркуля и линейки. Назначение циркуля и линейки известно всем школьникам: линейкой проводят прямые (точнее, отрезки), а циркулем – окружности, им откладывают и отрезки заданных длин (правда, для этого в наши дни чаще используют его разновидность – измеритель).
В школе изучают ряд простейших построений циркулем и линейкой (односторонней, без делений): построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной или параллельной данной прямой, деление отрезка на несколько равных частей, деление пополам заданного угла.
А вот пример уже более сложной задачи: «Построить треугольник по высоте, биссектрисе и медиане, выходящим из одной его вершины».
Как нетрудно убедиться, построение возможно лишь в том случае, если длины высоты h, биссектрисы b и медианы m либо одинаковы, либо удовлетворяют соотношению h < b < m; в противном случае искомого треугольника не существует.
Если провести на плоскости произвольную прямую l и восставить из некоторой ее точки H перпендикуляр к этой прямой, а затем отложить на нем отрезок AH длины h, то можно считать, что точка A - одна из вершин искомого треугольника, а прямая l будет содержать его основание. Отметив точки K и M пересечения прямой l с окружностями радиусов b и m, центры которых находятся в точке A (рис. 1), и проведя их радиусы AK и AM, находят биссектрису и медиану нашего треугольника. (Заметим, что биссектриса всегда лежит между медианой и высотой.)
Рис. 1
Дальнейшее построение основано на довольно простом, но редко отмечаемом факте: биссектриса угла треугольника и серединный перпендикуляр к стороне, противолежащей этому углу, пересекаются в точке D, лежащей на окружности, описанной вокруг рассматриваемого треугольника, поскольку оба они делят пополам дугу этой окружности, стягиваемую указанной стороной (хордой) и не содержащую вершины A (рис. 2).
Рис. 2
Окончательное построение теперь уже просто. Через точку M проводят перпендикуляр к прямой l и продолжают биссектрису AK до пересечения с ним в точке D (рис. 3). Итак, точки A и D лежат на окружности, описанной вокруг искомого треугольника, а ее центр O, очевидно, находится на серединном перпендикуляре к хорде BC и на серединном перпендикуляре к отрезку AD, являющемуся также одной из ее хорд. Построив точку O как точку пересечения указанных срединных перпендикуляров, можно провести окружность, описанную вокруг искомого треугольника, поскольку известны центр O и радиус OA. Точки пересечения этой окружности с прямой l являются недостающими вершинами B и C искомого треугольника. Остается лишь соединить концы отрезка BC с точкой A.
Рис. 3
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Одна из труднейших задач на построение, которую уже тогда умели выполнять, - построение окружности, касающейся трех данных окружностей. Эта задача называется задачей Аполлония – по имени греческого геометра Аполлония из Перги (ок. 200 г. до н.э.).
Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба, а именно построение квадрата, равновеликого данному кругу, деление произвольного угла на три равные части и построение стороны куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба.
Эти три задачи привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении столетий, и лишь в середине прошлого века была доказана их неразрешимость, т.е. невозможность указанных построений лишь с помощью циркуля и линейки. Эти результаты были получены средствами не геометрии, а алгебры, что еще раз подчеркнуло единство математики. Однако до сих пор еще встречаются люди, которые пытаются найти решения указанных задач при помощи циркуля и линейки.
Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и пятнадцатиугольник, а также все многоугольники, которые получаются из них удвоением числа сторон, и только их.
Новый шаг в решении поставленной задачи был сделан лишь в 1801 г. немецким математиком К. Гауссом, который открыл способ построения правильного семнадцатиугольника при помощи циркуля и линейки и указал все значения n, при которых возможно построение правильного n-угольника указанными средствами. Этими многоугольниками оказались лишь многоугольники, у которых количество сторон является простым числом Ферма (т.е. простым числом вида ) (см. Ферма малая теорема) или произведением нескольких различных простых чисел Ферма, а также те, которые получаются из них путем удвоения числа сторон. Таким образом, с помощью циркуля и линейки оказалось невозможным построить правильный семиугольник, девяти-, одиннадцати-, тринадцатиугольник и т.д.
Другие геометрические построения. Однако в практических построениях нас никто не ограничивает в выборе математических инструментов, которых со времен древнегреческих математиков было создано великое множество. Чтобы выполнить большинство построений с нужной точностью, достаточно линейки с делениями и транспортира. Заметим, что точка, нанесенная карандашом на бумаге, отнюдь не является идеально математической точкой, а имеет определенные размеры, как и точка, полученная пересечением двух прямых, проведенных карандашом, особенно если угол между ним