Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которую можно понимать так: сколько бы мы ни выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу. Противоречивая аксиоматика не может служить основой построения содержательной теории.
Чтобы объяснить подробнее, как в современной математике рассматриваются вопросы непротиворечивости, приведем пример. Несколько школьников решили организовать шахматный турнир по упрощенной схеме: каждый должен сыграть ровно три партии с кем-либо из остальных участников (а белыми или черными фигурами – по жребию). Составить расписание турнира никак не удавалось, и мальчики обратились за помощью к учителю. По просьбе учителя юные шахматисты подсчитали общее число участников:
оно оказалось нечетным. Тогда учитель предложил сформулировать требования, которые ученики предъявили к турниру, в виде аксиом. Для этого потребовалось ввести три первоначальных (неопределяемых) понятия: «игрок», «партия», «участие игрока в партии». Аксиом получилось четыре:
Аксиома 1. Число игроков нечетно.
Аксиома 2. Каждый игрок участвует в трех партиях.
Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока.
Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной партии, в которой они оба участвуют.
Из этих аксиом можно вывести ряд теорем.
Рис. 1
Первую из них предложил для примера сам учитель.
Теорема 1. Число игроков не меньше пяти.
Доказательство. Так как нуль – четное число, то по аксиоме 1 число игроков не равно нулю, т.е. существует хотя бы один игрок A. Этот игрок в силу аксиомы 2 участвует в трех партиях, причем в каждой из этих партий, кроме A, участвует еще один игрок (аксиома 3). Пусть B, C, D - игроки, отличные от A, которые участвуют в этих партиях. По аксиоме 4 все игроки B, C, D различны (если бы, например, было B=C, то оказалось бы, что имеются две партии, в которых участвуют игрок A и игрок B=C). Итак, мы нашли уже четырех игроков: A, B, C, D. Но тогда по аксиоме 1 число игроков не меньше пяти.
Следующую теорему доказал один из учеников. Для этого он определил новое понятие: если q - некоторая партия и A - один из участвующих в ней игроков, то пару (q,A) назовем выступлением игрока.
Теорема 2. Число всех выступлений игроков четно.
Доказательство. Если в партии q участвуют игроки A и B, то мы получаем два выступления игроков: (q,A) и (q,B), т.е. каждая партия дает ровно два выступления игроков (аксиома 3). Значит, число всех выступлений игроков четно, так как оно вдвое больше числа всех партий.
Однако другой ученик доказал теорему, противоречащую предыдущей.
Теорема 3. Число всех выступлений игроков нечетно.
Доказательство. По аксиоме 2 игрок A участвует ровно в трех партиях, скажем q1, q2, q3. Это дает три выступления игрока: (q1,A), (q2,A), (q3,A). Отсюда следует, что число всех выступлений игроков равно 3n, где n - число игроков. Так как n нечетно (аксиома 1), то и 3n нечетно.
Таким образом, взятая аксиоматика позволяет доказать ряд теорем, однако среди них имеются две, противоречащие друг другу. Это означает, что такая аксиоматика противоречива, т.е. требования, выдвинутые организаторами турнира, несовместимы (рис. 1). Не удивительно, что мальчики не сумели составить расписание турнира: такого расписания просто не существует.
Рис. 1
После этого учитель предложил другую систему организации турнира, при которой каждый из участников должен сыграть не три, а четыре партии с кем-либо из остальных участников. Иначе говоря, он предложил рассмотреть «теорию», в которой те же первоначальные понятия, а аксиомы формулируются следующим образом:
Аксиома 1. Число игроков нечетно.
Аксиома 2. Каждый игрок участвует в четырех партиях.
Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока.
Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной партии, в которой они оба участвуют.
«Так называемые аксиомы математики – это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта». Ф. Энгельс
Однако ученики не спешили выводить теоремы из этих аксиом: вдруг опять обнаружится противоречие. Учитель же заверил мальчиков, что, сколько бы теорем они ни выводили из этих аксиом, никогда противоречий не будет. Вот как он убедил их в этом.
Рассмотрим девятиугольник, в котором кроме сторон проведем девять диагоналей, соединяющих вершины через одну (рис. 2). Вершины девятиугольника будем считать «игроками», проведенные отрезки (стороны и диагонали) - «партиями», а концы соответствующего отрезка «игроками», участвующими в некоторой «партии». Мы получаем модель (или схему) интересующего нас турнира. Легко установить, что все четыре аксиомы здесь выполняются. Итак, удается построить модель, в которой выполняются все рассматриваемые аксиомы, причем эта модель построена из «материала» геометрии, т.е. науки, в непротиворечивости которой мы не сомневаемся.
Рис. 2
Предположим теперь, что из рассматриваемых четырех аксиом можно вывести две теоремы, противоречащие друг другу. Тогда доказательства этих двух теорем можно было бы повторить и в построенной модели (ведь в этой модели все четыре аксиомы имеют место). В результате получается, что, рассуждая о правильном девятиугольнике, мы можем получить две противоречащие друг другу теоремы. Но это означало бы, что геометрия - наука противоречивая, чего мы не допускаем. Таким образом, мы должны признать, что двух противоречащих друг другу теорем вывести из рассматриваемых четырех аксиом невозможно.
Вообще, пусть рассматриваются две теории P и Q, причем теория P задается аксиоматически (и в ее непротиворечивости мы заранее не уверены), а Q - это хорошо известная нам теория, в непротиворечивости которой мы не сомневаемся. Если из «материала» теории Q удается построить модель, в которой выполняются все аксиомы теории P, то этим непротиворечивость теории P будем считать установленной.
Именно с помощью построения моделей в современной математике установлена непротиворечивость геометрии в предположении непротиворечивости теории действительных чисел. Далее, установлена непротиворечивость теории действительных чисел – в предположении непротиворечивости теории рациональных чисел; наконец, установлена непротиворечивость теории рациональных чисел – в предположении непротиворечивости теории натуральных чисел.
АЛГЕБРА
Алгебра - часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. Решим задачу: «Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих младших братьев?» Обозначив искомое число лет через x, составим уравнение: 30 + x = (20 + x) + (60 + x), откуда x = 4. Близкий к описанному метод решения задач был известен еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к уравнениям первой степени с одним неизвестным, как в задаче о возрасте братьев, но и задачи, приводящие к уравнениям вида ax2 = b (см. Квадратные уравнения).
Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне: в математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения «типовых» задач, из которых решения аналогичных задач получались заменой числовых данных. В числовой же форме приводились и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный корень из числа a, не являющегося точным квадратом, находили приближенное значение корня x: делили a на x и брали среднее арифметическое чисел x и a/x.
Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI в. до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел – как объем прямоугольного параллелепипеда. Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. С того времени и идут термины «квадрат числа» (т.е. произведение величины на самое себя), «куб числа», «среднее геометрическое». Геометрическую форму приняло у греков и решение квадратных уравнений – они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.
Большинство задач решалось в Древней Греции путем построений циркулем и линейкой (см. Геометрические построения). Но не все задачи поддавались такому решению. Например, «не решались» задачи удвоения куба, трисекции угла, задачи построения правильного семиугольника (см. Классические задачи древности). Они приводили к кубическим уравнениям вида x3 = 2, 4x3 - 3x = a и x3 + x2 - 2x - 1 = 0 соответственно. Для решений этих задач был разработан новый метод, связанный с отысканием точек пересечения конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы).
Геометрический подход к алгебраическим проблемам сковывал дальнейшее развитие науки, так как, например, нельзя было складывать величины разных размерностей (длины и площади или площади и объемы), нельзя было говорить о произведении более чем трех множителей и т.д. Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге «Арифметика» появляются зачатки буквенной символики и специальные обозначения для степеней неизвестного вплоть до 6-й. Были у него и обозначения для степеней с отрицательными показателями, обозначения для отрицательных чисел, а также знак равенства (особо