В процессе становления математических наук возникала необходимость в точных, ясных и сжатых формулировках, требовалось устранить громоздкость словесных описании математических фактов, многозначность в математических выражениях.
Первыми математическими знаками были цифры. В работах древнегреческих математиков, например в «Началах» Евклида, отрезки и другие геометрические объекты обозначались буквами. Зачатки буквенного обозначения величин появились в III в., когда Диофант ввел обозначения для неизвестной величины и ее степеней, предложил особые знаки для операции вычитания и для обозначения равенства. Буквенные обозначения для неизвестных применяли индийские математики в VII в., однако создание развернутого буквенного исчисления относится к XIV-XVII вв. В конце XV в. француз Н. Шюке и итальянец Л. Пачоли впервые написали знаки сложения и вычитания и (от латинского plus и minus), а немецкие математики ввели современные обозначения + и -.
В XVI в. математики применяли смешанные записи, содержавшие слова и некоторые математические знаки. Например, уравнение x3 + 5x = 12 имело бы у Дж. Кардано (1545) вид
I. cubus positionibus aequantur 12 (cubus - «куб», positio - «неизвестная», aequantur - «равно»); у итальянского математика Р. Бомбелли (1572) – вид
13p.51 equale а 12
(3 - «куб неизвестной», 1 «неизвестная», equale а - «равно»); у французского ученого Ф. Виета (1591 г.) – вид
IC+5N aequantur 12
(C - cubus - «куб», N - numerus - «число»). Но постепенно слова заменялись символами, и уже в 1631 г. англичанин Т. Гарриот записал бы это уравнение в виде
aaa + 5·a=12.
В начале XVII в. вошли в употребление знак равенства и скобки: квадратные предложил итальянский математик Р. Бомбелли, круглые – итальянский математик Н. Тарталья, фигурные – Ф. Виет.
Важным шагом в развитии алгебраической символики оказалось введение Ф. Виетом математических знаков для произвольных постоянных величин. Он обозначал их прописными согласными буквами латинского алфавита, а неизвестные величины – гласными буквами. Виет создал и алгебраические формулы.
В 1637 г. Р. Декарт придал знакам алгебры современный вид. Он изображал неизвестные величины при помощи последних букв латинского алфавита x,y,z, а данные величины – начальными буквами a,b,c. Предложенные Декартом символы скоро стали употреблять повсеместно. Ему же принадлежит обозначение показателя степени.
Более 500 лет длилась эволюция знака радикала. Современное обозначение √ состоит из двух частей – знака - модифицированной буквы r (от radix-«корень») и черты, заменявшей ранее скобки.
В конце XVII в. в связи с созданием дифференциального и интегрального исчислений Г. В. Лейбниц ввел знаки для обозначения производной, дифференциала и интеграла. Его символика оказалась наиболее удобной и вытеснила знаки, предложенные другим создателем математического анализа – И. Ньютоном. Например, знак ∫ydx отражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции можно условно представлять как сумму бесконечно тонких полосок с основанием dx и высотой y ( ∫ - стилизованная буква s от латинского слова summa - «сумма»), знак же dx (от латинского differentia - «разность») отражает связь дифференциала функции и ее приращения.
Современная символика для обозначения функций была введена Л. Эйлером, который в 1734 г. использовал обозначение f(x) для произвольной функции, ввел современные обозначения для тригонометрических, обратных тригонометрических, показательной, логарифмической и иных функций. В настоящее время в математике применяется множество специальных функций (функции Лежандра, Бесселя, эллиптические и т.д.), каждая из которых обозначается своим математическим знаком. Эйлер ввел обозначение e для основания натуральных логарифмов (1736), π - для отношения длины окружности к длине ее диаметра (тогда же), i для и т.д. В XIX в. были введены обозначения |x| для модуля (К. Вейерштрасс, 1841), для вектора (О. Коши, 1853),
для определителя (А. Кэли, 1841) и многие иные.
«Так называемые арабские цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – одно из прекраснейших открытий, состоящее в том, чтобы записывать, пользуясь ими, самые большие числа с помощью нуля и указания определенного места, пришло через арабов в Европу в 10-м или 11-м столетии». К. Маркс
Все математические знаки можно разделить на знаки объектов (например: π,i и т.д.), знаки операций (например: +; : и т.д.), знаки отношений (например: =, >) и вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков (скобки).
Только на основе разработанной системы математических знаков стало возможным выразить математические умозаключения по определенным формальным правилам.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.
Даты возникновения некоторых математических знаков Знак | Значение | Кто ввел | Когда знак введен, год |
Знаки объектов
∞ | бесконечность | Дж. Валлис | 1655 |
π | отношение длины окружности к диаметру | У. Джонс Л. Эйлер | 1706 1736 |
i | корень квадратный из -1 | Л. Эйлер | 1777 |
x,y,z | неизвестные или переменные величины | Р. Декарт | 1637 |
вектор | О. Коши | 1853 |
Знаки операций
+ | сложение | немецкие математики | конец XV в. |
- | вычитание | » | » |
× | умножение | У. Оутред | 1631 |
∙ | умножение | Г. Лейбниц | 1698 |
: | деление | Г. Лейбниц | 1684 |
a2,a3,...,an | степени | Р. Декарт | 1637 |
корни | X. Рудольф А. Жирар | 1525 1629 | |
Log, log | логарифм | И. Кеплер | 1624 |
sin | синус | Б. Кавальери | 1632 |
cos | косинус | Л. Эйлер | 1748 |
tg | тангенс | Л. Эйлер | 1753 |
arcsin | арксинус | Ж. Лагранж | 1772 |
dx,ddx,...,d2x,d3x | дифференциал | Г. Лейбниц | 1675 |
∫ydx | интеграл | Г. Лейбниц | 1675 |
dy/dx | производная | Г. Лейбниц | 1675 |
определенный интеграл | Ж. Фурье | 1819-1822 | |
∑ | сумма | Л. Эйлер | 1755 |
! | факториал | X. Крамп | 1808 |
предел | У. Гамильтон многие математики | 1853 начало XX в. | |
φ(x) f(x) | функция | И. Бернулли Л. Эйлер | 1718 1734 |
Знаки отношений
= | равенство | Р. Рекорд | 1557 |
> < | больше меньше | Т. Гарриот | 1631 |
≡ | сравнимость | К. Гаусс | 1801 |
|| | параллельность | У. Оутред | 1677 |
перпендикулярность | П. Эригон | 1634 |
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).
Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.
В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интеграл