Δ наибольшего из промежутков [ti-1;ti], на которые разбит промежуток [a;b].
Значит, искомая нами величина перемещения есть предел
(5)
сумм вида (4), когда величина Δ стремится к нулю.
Суммы специального вида (4) называются интегральными суммами для функции v(t) на промежутке [a;b], а их предел (5), получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом (или определенным интегралом) от функции v(t) на промежутке [a;b]. Интеграл обозначается символом
,
в котором числа a,b называются пределами интегрирования, причем a - нижним, a b - верхним пределом интегрирования; функция v(t), стоящая под знаком ∫ интеграла, называется подынтегральной функцией; v(t)dt - подынтегральным выражением; t - переменной интегрирования.
Итак, по определению,
. (6)
Значит, искомая величина перемещения тела за временной промежуток [a;b] при известной скорости v(t) движения выражается интегралом (6) от функции v(t) по промежутку [a;b].
Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению:
, (7)
если v(t) = s'(t). Равенство (7) называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел (6) интеграл, а в правой – разность значений (в концах b и a промежутка интегрирования) функции s(t), первообразной подынтегральной функции v(t). Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл (6) и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: вычислять интеграл, найдя первообразную, или получать приращение первообразной, найдя из соотношения (6) интеграл. Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.
Интеграл (6) и формула (7) в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Так, если v(t) = gt (как это имеет место в случае свободного падения, начинающегося из состояния покоя, т.е. с v(0) = 0), то, найдя первообразную s(t) = gt2/2 + C функции v(t) = g·t по формуле (7), получаем величину
перемещения за время, прошедшее от момента a до момента b.
На основе разобранной только что физической задачи, приведшей нас к интегралу и формуле Ньютона-Лейбница, обобщая сделанные наблюдения, можно теперь сказать, что если на некотором промежутке a ≤ x ≤ b задана функция f(x), то, разбивая промежуток [a;b] точками a = x0< x1<...
f(ξ1)·Δx1 + f(ξ2)·Δx2 + ...+f(ξn)·Δxn, (4')
где ξ∈ [xi-1; xi], Δxi = xi - xi-1, и переходя к пределу при Δ→ 0, где Δ = max{Δx1, Δx2,...,Δxn}, мы получаем по определению интеграл
(6')
от функции f(x) по промежутку [a;b]. Если при этом F'(x) = f(x) на [a;b], т.е. F(x) - первообразная функции f(x) на промежутке [a;b], то имеет место формула Ньютона-Лейбница:
. (7)
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
(1707-1783)
Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.
Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ – первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.
В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4 (см. Ферма великая теорема). Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия.
Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих n, и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики П. Л. Чебышев и Ж. Адамар.
Эйлер много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно пользуется комплексными числами. Его имя носит формула eix = cos x + i sin x, устанавливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел.
Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.
В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку – топологию.
Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: B - P + Г = 2.
Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердой точки или твердой пластины.
Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.
Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.
Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.
------------------------------------------
Итак, определены важнейшие понятия интегрального исчисления и получена формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегрирование и дифференцирование.
Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.
Пусть требуется найти площадь S изображенной на рис. 1 фигуры aABb (называемой криволинейной трапецией), верхняя «сторона» AB которой есть график заданной на отрезке [a;b] функции y=f(x). Точками a = x0< x1<...
. (8)
Рис. 1
Попробуем теперь вслед за Архимедом выяснить, в каком отношении парабола y=x2 делит площадь изображенного на рис. 2 единичного квадрата. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы (8), площадь S нижнего параболического треугольника. В нашем случае [a;b] = [0;1] и f(x) = x2. Нам известна первообразная F(x) = x3/3 функции f(x) = x2, значит, можно воспользоваться формулой (7') Ньютона-Лейбница и без труда получить
.
Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2:1.
Рис. 2
При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что a = φ(α), b = φ(β), с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что
,
и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:
. (9)
С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию aABb вращать вокруг оси Ox, то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде πf2(ξi)·Δxi (произведение площади πf2(ξi) основания на высоту Δxi). Сумма πf2(ξ1)·Δx1 + πf2(ξ2)·Δx2 + ... + πf2(ξn)·Δxn дает приближенное значение объема V рассматриваемого тела вращения. Точное значение V получится как предел таких сумм при Δ→ 0. Значит,
. (10)
Рис. 3
В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) a = 0, b = h и f(x) = kx, где k - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную k2x3/3 функции f2(x) = k2x2 и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем
,
где S = π(kh)2 площадь круга, лежащего в основании конуса.
Рис. 4
В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.
«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям». И. Кеплер
Смысл – там, где змеи интеграла. Меж цифр и букв, меж d и f! В. Я. Брюсов
В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.
Мы хотим вычислить скорость M, до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.
Пусть m - масса тела, M - масса планеты. Кинетической энергии mv2/2, которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии r от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна
,
где G - гравитационная постоянная. Таким образом, эта сила меняется, причем ослабевает по мере удаления от планеты.
Вычислим работу , которую нужно совершить, чтобы тело, находящееся на высоте R0 (считая от центра планеты), поднять на высоту R.
Если бы сила была постоянна, то мы просто умножили бы ее величину на длину R - R0 пройденного вдоль направления ее действия пути и нашли бы совершенную работу. Но сила меняется, поэтому мы разобьем весь промежуток [R0;R] точками R0 = r0< r1<...
на каждом из промежутков [ri-1;ri]; сложив элементарные работы
,
получим приближенное значение искомой работы на промежутке [R0;R], а точнее значение выражается, таким образом, следующим интегралом:
,
в котором роль переменной интегрирования играет r. Величины G,m,M постоянны, а функция r-2 имеет первообразную -r-1, зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим
.
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ
(1801-1862)
М. В. Остроградский – русский математик, один из основателей петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (1830).
Остроградский учился в Харьковском университете, но не получил свидетельства об его окончании из-за своих антирелигиозных взглядов. Для совершенствования математических знаний ему пришлось уехать во Францию, где под влиянием П. Лапласа, Ж. Фурье, О. Коши и других видных французских математиков он начал исследования в области математической физики.
Основополагающие работы И. Ньютона и Г. В. Лейбница дали математический аппарат для исследования тех проблем механики и астрономии, которые сводились к функциям одного аргумента (времени). Но целый ряд вопросов физики приводил к рассмотрению функций, зависящих от многих переменных. Необходимость решать задачи, касающиеся функций многих переменных, привела к созданию новой области математики, получившей название теории уравнений математической физики. Развивая методы решения таких уравнений, предложенные в частном случае еще в XVIII в., Ж. Фурье свел их решение к разложению функций в ряды по тригонометрическим функциям. Остроградский рассмотрел подобные задачи для тел, имевших более сложную форму, чем изученные Фурье. Еще в своей первой работе, посвященной распространению волн в сосуде цилиндрической формы, он решил задачу, на которую объявила конкурс Парижская академия наук. А в 1828г. ученый дал общую формулировку метода Фурье и изучил с его помощью колебания газа, упругих пластинок и т.д. М. В. Остроградскому удалось обобщить формулу интегрального исчисления, выведенную в одном частном случае К. Ф. Гауссом.
Физический смысл формулы Гаусса-Остроградского состоит в том, что поток жидкости через замкнутую поверхность тела равен суммарной производительности находящихся внутри нее источников и стоков.
Плодотворно занимался Остроградский теоретической механикой, математическим анализом и т.д. Многие его работы имели прикладную направленность: ученый занимался внешней баллистикой, статистическими методами браковки изделий, участвовал в комиссиях по реформе календаря, по водоснабжению Петербурга. Он был основателем научной школы русских ученых, работавших в области механики и прикладной математики и воспринявших от своего учителя принцип сознательного сочетания теории с практикой.
Много внимания М. В. Остроградский уделял проблемам преподавания математики. Он считал, что главная задача обучения – заинтересовать ребенка, а элементы наук должны излагаться в наиболее доступной и приспособленной к уму ученика форме. Абстрактное же изложение математики отвращает учеников от изучаемой науки. Эти идеи Остроградского легли в основу движения за реформу математического образования в России, начавшегося во второй половине XIX в.
------------------------------------------
Если R увеличивать неограниченно, т.е., как говорят, удалять тело на бесконечность, то, переходя к пределу при R →∞, получаем
,
где ∞ - символ, читаемый «бесконечность». Если в последней формуле считать, что R0 - радиус планеты, то будет работой, которую надо совершить против сил тяготения, чтобы тело с поверхности планеты ушло в бесконечность.
Полученное для выражение можно упростить, если вспомнить другой закон Ньютона F=ma, связывающий силу F и вызванное ею ускорение a тела массы m. Свободно падающее на планету тело у ее поверхности имеет ускорение a = g, вызванное силой притяжения
,
где R0 - радиус планеты. Значит,
,
откуда следует, что
и, значит, .
Это и есть формула для подсчета работы, необходимой для выхода из ноля притяжения планеты. Для «ухода» с планеты по инерции нужно иметь вертикальную скорость M, при которой кинетическая энергия mv2/2 тела не меньше или, по крайней мере, равна работе , затрачиваемой на преодоление притяжения планеты.
Таким образом, вторая космическая скорость, получаемая из равенства mv2/2 = mgR0, выражается в виде
.
В частности, для Земли g ≈ 10m/c2, R0≈ 6400000m, поэтому v ≈ 8000·√2 m/c, или v ≈ 11,2 km/c.
Во всех разобранных до сих пор примерах мы использовали первообразную, чтобы по формуле (7') Ньютона-Лейбница вычислить интересовавший нас интеграл. Но та же формула Ньютона-Лейбница наводит на мысль использовать сам интеграл для нахождения первообразной или, по крайней мере, для выяснения принципиального вопроса о ее существовании. Этого вопроса мы уже коснулись в разделе, посвященном первообразной и неопределенному интегралу. Теперь мы рассмотрим его несколько внимательнее.
Пусть на отрезке [a;b] задана функция f, график которой изображен линией AB на рис. 5. Мы знаем, что площадь всей криволинейной трапеции aABb выражается интегралом (8). Обозначим через 𝓕(x) площадь той ее части, которая лежит над отрезком [a;x].
Рис. 5
Тогда
. (11)
Здесь мы обозначили переменную интегрирования через t, чтобы не путать ее с x, являющимся в нашем случае верхним пределом интегрирования.
Величина 𝓕(x), очевидно, зависит от точки x ∈ [a;b].
Покажем, что 𝓕(x) - первообразная функции f(x) на отрезке [a;b], т.е. 𝓕'(x) = f(x) при x ∈ [a;b]. В самом деле, как видно из рис. 5,
𝓕(x+h) - 𝓕(x) ≈ f(x)·h,
что равносильно приближенному равенству
.
При уменьшении величины h точность этого соотношения только улучшается, поэтому
и, значит,
𝓕'(x) = f(x).
Таким образом, интеграл (11) с переменным верхним пределом x дает нам первообразную функции f(x). Среди всех прочих первообразных функции f(x) на отрезке [a;b] эта первообразная выделяется очевидным условием 𝓕(a) = 0. Поскольку интеграл, согласно его определению (6'), можно вычислить с любой наперед заданной точностью, то и значение 𝓕(x) первообразной (11) функции f(x) в любой точке x ∈ [a;b] можно найти сколь угодно точно, даже не интересуясь при этом аналитической записью 𝓕(x) или вопросом о том, является ли 𝓕(x) элементарной функцией.
Существуют простые и очень эффективные численные методы интегрирования – это так называемые квадратурные формулы. Они позволяют на электронных вычислительных машинах за доли секунды получать значения определенных интегралов. Это обстоятельство делает формулу (11) средством отыскания первообразной. Например, современные подводные лодки порой месяцами находятся на большой глубине и перемещаются на огромные расстояния; не имея никакой связи с внешним миром, они тем не менее выходят в точно заданный квадрат. Навигационное оборудование, которое позволяет определять координаты лодки в любой момент, является технической реализацией формулы (11) и основано на таком физическом принципе. Находясь в закрытом движущемся помещении (хорошо звукоизолированном мягком вагоне, самолете и т.д.), мы не ощущаем скорости движения, но зато определенно чувствуем изменение скорости – ускорение. Оно положительно при увеличении скорости, когда масса вдавливает вас в самолетное кресло, и отрицательно при торможении, когда вам могут пригодиться даже пристяжные ремни. Поскольку между ускорением a массы m и вызывающей его силой F имеется прямая пропорциональная зависимость F=ma, величину a ускорения можно объективно измерять, закрепив массу m на свободном конце пружинки, расположенной вдоль направления движения, и соединив жестко второй ее конец, например, с задней стенкой движущегося помещения. Если растяжение и сжатие пружины пропорционально действующей на нее силе, то по величине отклонения массы m от положения равновесия можно узнавать величину a(t) ускорения, происходящего в данном направлении в любой момент времени t.
Если движение начиналось с нулевой начальной скоростью, то, зная a(t), можно по формуле (11) найти сначала скорость v(t) движения, а зная v(t), найти и перемещение s(t) в этом направлении к моменту t, поскольку
, а .
Обработка показаний приборов и вычисление этих интегралов выполняется электронной вычислительной машиной. Если есть три датчика ускорения, удерживаемых (например, гироскопами) в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то вы можете в любой момент знать ваше перемещение по каждому из указанных направлений и тем самым определить все три ваши координаты в некоторой системе координат, началом которой является точка старта – база, аэродром, космодром.