В последнее время было много различных предложений по реформе календаря с изменением длительности недель и месяцев, при которых в каждом месяце было бы одинаковое количество недель, но по разным причинам они не были приняты.
КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЭЛЕКТРОННЫЕ
Бурное развитие вычислительной техники в последние десятилетия привело к появлению небольших вычислительных машин – микрокалькуляторов. Их создание стало возможным после появления микросхем, способных заменить сотни полупроводниковых элементов ЭВМ.
Эти изящные машинки сделали ненужными логарифмические линейки, бухгалтерские счеты, толстые тома таблиц разнообразных функций.
В нашей стране выпускаются десятки модификаций микрокалькуляторов. Классифицировать их можно по разным признакам: по назначению – для школьников, продавцов, инженеров, научных работников; по функциональному устройству – без регистров памяти, с небольшим их количеством, программируемые; по логической структуре – с арифметической логикой, с алгебраической логикой, с алгебраической логикой и иерархией операций, с алгебраической логикой и скобками, с обратной бесскобочной (польской) записью операций.
У микрокалькулятора с арифметической логикой отсутствует клавиша со знаком |=|, она совмещена с клавишей |+|, а также с клавишей - .
Операция 8 – 3 на калькуляторе с арифметической логикой производится в следующем порядке: , а в микрокалькуляторе с алгебраической логикой так: |8||-||3||=|. Клавиша |=| в нем обязательно присутствует.
В калькуляторах с иерархией операций в первую очередь производятся операции умножения и деления, а потом уже сложения и вычитания. Так, если вы последовательно нажимаете клавиши со знаками 1×9 + 8×9 =, то в калькуляторах без иерархии операций получите (1·9+8)·9 = 153, а в тех, которые имеют эту иерархию, - (1·9) + (8·9) = 81.
В школах на уроках информатики ребята приобретают навыки работы с компьютерами
Калькуляторы с клавишами для расстановки скобок позволяют производить операции в заданной последовательности. Пар скобок может быть одна или несколько.
Калькуляторы, предназначенные для инженеров и научных работников, имеют клавиши для вычисления различных функций.
Причем, чтобы сильно не увеличивать количество клавиш, каждую клавишу используют для выполнения двух, а иногда и грех, операций. В таком случае имеется специальная клавиша |F| для перехода от одной функции к другой. Как правило, для вычисления функции от заданного аргумента сначала набирают аргумент, а потом нажимают клавишу нужной функции. Так, для вычисления клавиши нажимают в таком порядке: 1989√. Любопытно, что, набрав произвольный аргумент в радианах и затем многократно нажимая клавишу для функции косинус, мы в конце концов придем к числу 0,7390851..., которое потом будет повторяться при дальнейших нажатиях на эту клавишу. Что это за число? Оказывается, что оно является решением уравнения cos x = x, а мы его получили методом последовательных приближений.
Во всех калькуляторах, независимо от логической структуры, имеется по крайней мере два регистра: регистр ввода (и индексации) X и операционный регистр Y. При выполнении арифметических операций происходит следующая процедура. Первое набираемое число попадает в регистр ввода и одновременно появляется на индикаторе. При нажатии на операционную клавишу оно переносится и в регистр Y. В результате в обоих разрядах находится одно и то же число. Если теперь ввести второе число, то оно появится в регистре X (и на индикаторе), а в регистре Y останется первое число. Если теперь нажать одну из клавиш со знаками +, -, ×, ÷, =, то в регистре X (и на индикаторе) появится результат первой операции, а в регистре Y окажется второе число, и т.д.
Если же вычисляется функция одного переменного ( √, sin, ln и т. д.), то она вычисляется для аргумента, находящегося в регистре X (и на индикаторе), а содержание регистра Y при этом не меняется. Если же вычисляется функция yx, то число y вводится первым и при вычислении будет находиться в регистре Y, а число x - в регистре Y.
Кроме этих регистров в микрокалькуляторах часто бывают дополнительные ячейки – регистры памяти, в которых можно запоминать результаты промежуточных вычислений или необходимые константы.
Дальнейшее увеличение количества ячеек памяти дает возможность вводить в микрокалькулятор целые программы вычислений, как в больших ЭВМ. Такие калькуляторы называются программируемыми. В ряде моделей такие программы записываются на специальном языке, и в таких калькуляторах можно программировать уже на обычном для ЭВМ алгоритмическом языке «Бейсик», правда несколько урезанном. Программируемые калькуляторы можно подключать к дисплеям (или телевизорам) и печатающим устройствам.
КАСАТЕЛЬНАЯ
Понятие касательной – одно из важнейших в математическом анализе. Изучение прямых, касательных к кривым линиям, во многом определило пути развития математики.
С помощью циркуля и линейки нетрудно построить касательную к окружности в данной ее точке. Несколько труднее провести общую касательную к двум окружностям. В Древней Греции умели строить с помощью циркуля и линейки касательные ко всем коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам, что свидетельствует о высоком уровне развития геометрии в то время.
Интерес к касательным не ослабевал и у математиков последующих поколений. В XVII в. французские ученые Р. Декарт и П. Ферма исследовали касательные к спиралям и циклоиде. (Заметим, что модель касательной к циклоиде можно наблюдать в дождливую погоду: циклоида – кривая, являющаяся траекторией точки на ободе катящегося колеса (рис. 1). По такой траектории движутся и капли воды, находящиеся на колесе, а оторвавшись от колеса, они продолжают двигаться уже по касательной к циклоиде (а не к окружности – ободу колеса). Такие капли образуют грязную полосу на спине велосипедиста-гонщика, мчащегося по шоссе в сырую погоду).
Рис. 1
Р. Декарт на задаче построения касательных к кривым отрабатывал свой аналитический метод в геометрии. Продолжая исследования Декарта, связанные с построением касательных с помощью аналитического метода, Г. В. Лейбниц одновременно с И. Ньютоном пришел к открытию дифференциального исчисления, явившемуся революцией в развитии математики. Понятие производной функции тесно связано с построением касательной к графику этой функции: значение производной в некоторой точке есть тангенс угла наклона касательной в этой точке к оси абсцисс.
Как все основные понятия дифференциального исчисления, понятие касательной строго определяется лишь с помощью предельного перехода (см. Предел). Касательная к кривой в точке M определяется как предельное положение секущей MN при приближении точки N по кривой к точке M (рис. 2). Нетрудно понять, что у непрерывных кривых могут быть точки, в которых касательная отсутствует (рис. 3), но чрезвычайно трудно представить себе, что существуют такие непрерывные кривые, которые не имеют касательных ни в одной своей точке.
Рис. 2
Рис. 3
Первые примеры таких функций были указаны чешским ученым Б. Больцано (1830 г., опубликовано в 1930 г.) и немецким математиком К. Вейерштрассом (1860 г., опубликовано в 1872 г.). Естественно, что функции, графиками которых являются кривые без касательных, не имеют производных ни в одной из своих точек, так как у функции f(x), имеющей в точке x0 производную, касательная к ее графику в этой точке существует и записывается уравнением y = f(x0) + f'(x0)(x-x0) .
Понятие касательной применяется и для определения угла между кривыми в точке их пересечения. За такой угол принимается угол между касательными к кривым в этой точке. На рис. 4 изображено два семейства кривых – эллипсы и гиперболы, фокусы которых находятся в заданных точках F1 и F2. Любые две кривые разных семейств здесь пересекаются под прямым углом. Такая картина часто встречается в физике, в частности эти кривые являются линиями равной напряженности и равного потенциала, если в точках F1 и F2 находятся заряды разного знака.
Рис. 4
Аналогично касательной к кривой определяется касательная плоскость к поверхности (рис. 5), она играет по отношению к поверхности ту же роль, что и касательная к кривой.
Рис. 5
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ
Квадратным называют алгебраическое уравнение 2-й степени, т.е. уравнение вида
ax2+bx+c=0, где a ≠ 0. (1)
Выражение D = b2 - 4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена ax2 + bx + c.
Уравнение (1) имеет два корня:
.
При этом если D > 0, то корни действительные и различные, при D=0 корни совпадают (говорят, что уравнение имеет корень кратности два), при D < 0 корни комплексные (комплексно сопряженные).
Для приведенного квадратного уравнения
x2 + px + q = 0
формула корней имеет вид
,
а для уравнения ax2 + 2bx + c = 0 (с четным коэффициентом при x) – вид
.
Для коэффициентов и корней квадратного уравнения (1) выполняются соотношения:
Эти соотношения называют теоремой Виета, по имени французского математика Ф. Виета (1540-1603).
Особенно удобна эта теорема для приведенного квадратного уравнения:
x1 + x2 = -p, x1x2 = q.
Уравнения 2-й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н. э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Приведем задачу из китайского трактата «Математика в девяти книгах» (приблизительно II в. до н.э.).