«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу (1 бу = 1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» Обозначим сторону квадрата через x. Из подобия треугольников BED и ABC (рис. 1) получим
.
Рис. 1
Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение
x2 + (k+l)x - 2kd = 0.
В данном случае уравнение имеет вид
x2 + 34x - 71000 = 0,
откуда x = 250 (бу).
Отрицательных корней (в данном случае x = -284) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами.
Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рис. 2 (он рассматривает уравнение x2 + 10x = 39). Площадь большого квадрата равна (x + 5)2. Она складывается из площади x2 + 10x фигуры, закрашенной голубым цветом, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом,
(x+5)2 = 39 + 25; x + 5 = ±8; x1 = 3; x2 = -13.
Рис. 2
К квадратным уравнениям сводятся многие уравнения путем замены переменной. Приведем некоторые примеры.
1. Биквадратное уравнение
ax4 + bx2 + c = 0
сводится к квадратному заменой x2 переменной y.
2. Уравнение (x+1)2 - 6/(x2 + 2x) = -4 заменой y = x2 + 2x сводится к квадратному уравнению y2 + 5y - 6 = 0, корни которого y1 = 1, y2 = -6. Из двух уравнений x2 + 2x = 1 и x2 + 2x = -6 действительные решения имеет только первое: x = -1±√2.
3. Уравнения
4x - 2x+1 - 3 = 0, cos 2x = sin x + 1, lg2(x2) + lg x = 1
сводятся к квадратным заменами соответственно y = 2x, y = sin x и y = lg x.
4. Уравнение
x2/3 + 48/x2 = 10(x/3 + 4/x)
сводится к квадратному уравнению заменой
y = x/3 + 4/x (здесь x2/3 + 48/x2 = 3(x/3 + 4/x)2 - 8 = 3y2 - 8; 3y2 - 10y - 8 = 0; y1 = - 2/3, y2 = 4).
Из получаемых уравнений
x/3 + 4/x = -2/3 и x/3 + 4/x = 4
корни имеет только второе: x = 2(3±√6). Вообще, замена y = x + k/x - одна из наиболее часто встречающихся замен. Например, с помощью такой замены к квадратному уравнению (после деления обеих частей уравнения на x2) сводится уравнение вида
ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0. (2)
Уравнение (2) обычно называют возвратным или обобщенно – симметрическим.
5. Однородные уравнения
9x = 6x + 2·4x и 2sin2 x + 5 sin x cos x + 2 cos2 x = 0 сводятся к квадратным уравнениям относительно y заменами соответственно y = (3/2)x и y = tg x после деления обеих частей первого уравнения на 4x, второго – на cos2x. Для второго уравнения предварительно проверяется, удовлетворяют ли уравнению те значения x, для которых cos x = 0.
6. Уравнение
x4 + (x+2)4 = 82,
«симметричное» относительно x + 1, сводится к биквадратному уравнению y4 + 6y2 = 40 заменой y = x + 1; аналогично уравнение (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40, «симметричное» относительно x + 3, сводится к биквадратному уравнению (y2 - 1)(y2 - 4) = 40 заменой y = x + 3. Отметим, что для второго уравнения годится и замена y = x2 + 6x, тогда (x+1)(x+5) = y+5; (x+2)(x+4) = y + 8.
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Так называют многочлен, определяемый формулой ax2+bx+c a≠0. Числа a,b и c - коэффициенты квадратного трехчлена, они обычно называются: a - старший, b - второй или средний коэффициент, c - свободный член. Функция вида y=ax2+bx+c называется квадратичной функцией.
После линейной функции квадратичная функция – простейшая и важнейшая элементарная функция. Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростью v0, находится в момент времени t на расстоянии
s(t) = -(g/2) t2 + v0t
от земной поверхности (здесь g - ускорение силы тяжести); количество тепла Q, выделяемого при прохождении тока в проводнике с сопротивлением R, выражается через силу тока I формулой Q = RI2.
Простейший частный случай квадратичной функции есть функция y=ax2. На рис. 1 изображены графики функций y=ax2 при разных значениях a. График функции y=ax2 называется параболой.
Рис. 1
У всех этих парабол вершина находится в начале координат; при a > 0 это наинизшая точка графика (наименьшее значение функции), а при a < 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.
Как видно, при a > 0 парабола направлена вверх, при a < 0 - вниз.
Существует простой и удобный графический способ, позволяющий строить любое число точек параболы y=ax2 без вычислений, если известна точка параболы, отличная от вершины. Пусть точка M(x0,y0) лежит на параболе y=ax2 (рис. 2). Если мы хотим построить между точками O и M дополнительно еще n точек, то делим отрезок ON оси абсцисс на n + 1 равных частей и в точках деления проводим перпендикуляры к оси Ox. На столько же равных частей делим отрезок NM и точки деления соединяем лучами с началом координат. Искомые точки параболы лежат на пересечении перпендикуляров и лучей с одинаковыми номерами (на рис. 2 число точек деления равно 9).
Рис. 2
График функции y=ax2+bx+c отличается от графика y=ax2 лишь своим положением и может быть получен просто перемещением кривой на чертеже. Это следует из представления квадратного трехчлена в виде
ax2 + bx + c = a(x + b/2a)2 - (b2 - 4ac)/4a,
откуда легко заключить, что график функции y=ax2+bx+c есть парабола y=ax2, вершина которой перенесена в точку
,
а ось ее симметрии осталась параллельной оси Oy (рис. 3). Из полученного выражения для квадратного трехчлена легко следуют все его основные свойства. Выражение D=b2-4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена ax2+bx+c и дискриминантом связанного с ним квадратного уравнения ax2+bx+c=0. От знака дискриминанта зависит, пересекает ли график квадратного трехчлена ось абсцисс или лежит по одну сторону от нее. Именно, если D <0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a > 0, то парабола лежит выше оси Ox, а если a < 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D > 0 график квадратного трехчлена пересекает ось абсцисс в двух точках x1 и x2, которые являются корнями квадратного уравнения ax2+bx+c=0 и равны соответственно
x1 = 1/2a (-b - √D), x2 = 1/2a (-b + √D).
При D=0 парабола касается оси Ox в точке .
Рис. 3
Рис. 4
Свойства квадратного трехчлена лежат в основе решения квадратных неравенств. Поясним это на примере. Пусть требуется найти все решения неравенства 3x2 - 2x - 1 < 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D > 0, то соответствующее квадратное уравнение 3x2 - 2x - 1 = 0 имеет два различных корня, они определяются по формулам, приведенным ранее:
x1 = - 1/3 и x2 = 1.
В рассматриваемом квадратном трехчлене a = 3 > 0, значит, ветви его графика направлены вверх и значения квадратного трехчлена отрицательны лишь в интервале между корнями. Итак, все решения неравенства удовлетворяют условию
-1/3 < x < 1.
К квадратным неравенствам могут быть сведены разнообразные неравенства теми же самыми заменами, какими различные уравнения сводятся к квадратному.
КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ
Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Однако три задачи не поддавались их усилиям. Прошли тысячелетия, и только в наше время, наконец, были получены их решения.
Вот эти задачи: построение квадрата, равновеликого данному кругу (или, сокращенно, квадратура круга); деление произвольно заданного угла или дуги на три равновеликие части (или трисекция угла), и построение куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба (или удвоение куба).
История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой