Рис. 1
Одинаковый способ получения различных конических сечений влечет и сходство уравнений, описывающих эти кривые. В секущей плоскости можно так выбрать систему координат, чтобы уравнение конического сечения имело вид y2=2px+λx2, где p и λ - постоянные. Если p ≠ 0, то это уравнение определяет параболу при λ=0, эллипс – при λ< 0, гиперболу – при λ> 0. Геометрическое свойство конических сечений, содержащееся в приведенном уравнении, было известно древнегреческим ученым и послужило для Аполлония Пергского (примерно II в. до н.э.) поводом присвоить отдельным типам конических сечений названия, сохранившиеся до наших дней: греческое слово «парабола» означает «приложение» (так как в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади y2 в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2p называлось приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово «эллипс» означает «недостаток» (приложение с недостатком), слово «гипербола» - «избыток» (приложение с избытком).
Очень похожи уравнения конических сечений в полярных координатах. Если за полюс взять фокус кривой, а за полярную ось – ось кривой, проходящую через фокус, то получим уравнение
.
Оно будет уравнением эллипса при 0≤ε≤1 (при ε=0 получим окружность). Парабола будет описываться этим уравнением при ε=1, а гипербола при ε>1. Число ε называется эксцентриситетом конического сечения, а p - его фокальным параметром.
Математики Древней Греции рассматривали только сечения, перпендикулярные какой-либо образующей конуса, а различные типы кривых получали путем изменения угла раствора конуса. В частности, они обнаружили, что для любого коническою сечения, кроме окружности, в его плоскости существует такая прямая, для которой отношение расстояний точек на кривой до фокуса к расстоянию до этой прямой равняется эксцентриситету этого конического сечения (рис. 2). Такая прямая была названа директрисой этой кривой.
Рис. 2
Математический интерес к коническим сечениям во многом обусловлен тем, что если записать уравнение такого сечения в произвольной декартовой системе координат на секущей плоскости, то оно всегда будет алгебраическим уравнением второго порядка, т.е. будет иметь вид:
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0.
И наоборот, кривая, описываемая таким уравнением, является коническим сечением, за исключением случаев, когда коэффициенты этого уравнения связаны определенными соотношениями.
Все тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллипсам. Небесные тела, попадающие в Солнечную систему из других звездных систем, движутся вокруг Солнца по гиперболической орбите и, если на их движение не оказывают существенного влияния планеты Солнечной системы, покидают се по этой же орбите. По эллипсам движутся вокруг Земли ее искусственные спутники и естественный спутник – Луна, а космические корабли, запущенные к другим планетам, движутся по окончании работы двигателей по параболам или гиперболам (в зависимости от скорости) до тех пор, пока притяжение других планет или Солнца не станет сравнимо с земным притяжением (рис. 3).
Рис. 3
КОНУС
Прямой круговой конус (от греческою слова konos - «сосновая шишка») – это фигура, получающаяся при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рис. 1 треугольник ABC вращается около катета AC; точка A называется вершиной конуса, прямая AC - его осью, отрезок AC (и его длина) – высотой конуса. Конус ограничен боковой поверхностью, образующейся при вращении гипотенузы AB, и основанием – кругом, получающимся при вращении второю катета BC.
Рис. 1
С глубокой древности рассматриваются также конические поверхности, составленные из всех прямых пространства, пересекающих данную прямую (ось) в одной точке (вершине), и образующие с осью данный, отличный от прямого, угол. Составляющие коническую поверхность прямые называются ее образующими – они получаются из одной образующей вращением около оси, и поэтому такую коническую поверхность часто называют конусом вращения (рис. 2). Вершина A разделяет конус вращения на две полости. Прямой круговой конус можно определить как часть пространства, ограниченную одной полостью конической поверхности и пересекающей эту полость плоскостью, перпендикулярной оси (рис. 2, вверху). Часть пространства, ограниченная полостью конуса и двумя такими плоскостями, называют усеченным (прямым круговым) конусом (рис. 2, внизу). В пересечении конической поверхности с плоскостью, кроме окружности, могут получиться эллипс, парабола, гипербола (см. Конические сечения). Плоскость, проходящая через вершину конуса A, в сечении может дать пару образующих или единственную образующую (в этом случае плоскость называется касательной к конусу), или же единственную точку A.
Рис. 2
Обобщенный конус с основанием – произвольной плоской фигурой M – и вершиной – не лежащей в плоскости M точкой A - это фигура, которую заполняют отрезки AX, соединяющие вершину со всеми точками X на основании M (рис. 3). Если M - круг, то получается круговой конус, а если к тому же вершина A проецируется в центр круга M, то мы приходим как раз к прямому круговому конусу. Другой частный случай обобщенного конуса – пирамида, получающаяся в том случае, если M – многоугольник. Сечение обобщенного конуса параллельной основанию M плоскостью – фигура M' – разбивает конус на меньший конус и обобщенный усеченный конус с основаниями M и M' (рис. 4). Объем любого конуса (в том числе прямого кругового и пирамиды) вычисляется по формуле:
V=1/3 SH,
где S - площадь основания, а H - высота конуса, т.е. расстояние от вершины A до плоскости основания. Объем любого усеченного конуса равен
,
где S1 и S2 - площади оснований M и M', а высота H определяется как расстояние между плоскостями оснований.
Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса вычисляется по формуле S6=πRl, где R – радиус основания, l - длина образующей конуса. Для усеченного (прямого кругового) конуса S6=π(R+r)l, где R и r – радиусы оснований, l - длина его образующей.
Рис. 3
Рис. 4
КООРДИНАТЫ
Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.
В XIV в. французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.
Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту. Такую систему координат стали называть декартовой. Точку O пересечения прямых называют началом, а сами направленные прямые – осями координат, ось Ox – осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат. Числа x,y называют декартовыми координатами точки (x;y). Точка плоскости – геометрический объект – заменяется парой чисел (x;y), т.е. алгебраическим объектом. Принадлежность точки заданной кривой теперь соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a;b) удовлетворяют уравнению (x-a)2+ (y-b)2=R2(рис. 1).
Рис. 1
Для определения положения точки в пространстве требуется введение третьей оси – оси аппликат (рис. 2). Таким образом, положение точки в пространстве будет уже задаваться тремя числами.
Рис. 2
Особенно просто описываются в декартовых координатах прямые и плоскости. Так, уравнение любой прямой на плоскости в декартовой системе координат записывается в виде: Ax+By+C=0, и наоборот, всякому такому уравнению, у которого числа A и B одновременно не являются нулями, удовлетворяют точки некоторой прямой.
Числа A и B имеют важный геометрический смысл: вектор с координатами {A,B} перпендикулярен соответствующей прямой (рис. 3). Следует, что если у двух прямых A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 коэффициенты при переменных пропорциональны:
A1/A2 = B1/B2,
то эти прямые параллельны, поскольку параллельны перпендикулярные им векторы {A1,B1} и {A2,B2}. А если эти прямые перпендикулярны, то соответствующие им векторы также будут перпендикулярны, а следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю:
A1A2 + B1B2 = 0.
Рис. 3
В пространстве уравнение Ax + By + Cz + D = 0 описывает плоскость, если не все коэффициенты A,B и C равны нулю. Аналогично вектор {A,B,C} перпендикулярен этой плоскости. Отсюда получаем условия параллельности двух плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0:
и условие их перпендикулярности: A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
Прямая в пространстве может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей и, следовательно, может описываться парой уравнений плоскостей, и, наоборот, точки, удовлетворяющие одновременно двум уравнениям:
,
лежат на прямой, если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е. эти плоскости не параллельны.
Существует и другой способ описания прямой в декартовых координатах. Для этого выбираются точка M0(x0,y0,z0), лежащая на этой прямой, и вектор